二重积分在极坐标下的计算

2
2
乘积，即 4 d d ( 4 d ) ( d) .
0
1
0
1
大家要注意，并不是所有的累次积分都可以看作两次定积分的乘积，只有同时满足下述
两个条件的累次积分才可以——
① 两次定积分的上下限均为常数；
② 被积函数中的两个自变量可以各自分离至两次定积分当中，即被积函数具有形式
f (x, y) f1(x) f2 ( y) .
D {(, ) |1 2, 0 2}（见图 8）.
（直角坐标系里圆的方程 x2 y2 r2 (r 0) ，在极坐标系
图7
里可化为 2 r2 ( 0) ，即简单的常数函数 r .）
再把被积函数 f (x, y) x2 化为“ ( cos ) 2 ”.
因此，原积分可化为
2
d
2 ( cos ) 2 d
0
1
图8
2
d
2 3 cos2 d .
0
1
（说明：由以上几题可以发现——直角坐标在表示直线方程的时候，比极坐标简便；而极 坐标在表示圆形或扇形方程时，比直角坐标简便.）
（5） f (x, y)d x2 y2 4x
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) | x2 y2 4x} （见图 9）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 4cos , } （见图 10）.
2
2
图9
（直角坐标系里的圆的方程 x2 y2 4x ，也即
(x 2)2 y2 4 ，在极坐标系里可化为
2
2
原积分可化为
R2 x2 y2 dxdy
2
d
R cos 0
R2 2 d
D
2
1 2
2
d
2
R cos 0
R2 2 d(R2 2)
凑微分
1 2
2 2
2 (R2 3
3
2)2
d R cos
0
1 3
3
3
2
[(R2
R2
cos2
)2
(R2
0) 2
]d
2
注意：从平方根里开出析： 将本题中的积分区域 D {(x, y) |1 x2 y2 4, y 0, y x}（见图 19），化
为极坐标系里的闭区域 D {(, ) |1 2, 0 } （见图 20）. 4
被积函数 f (x, y) arctan y 可化为 x
“ arctan( sin ) arctan(tan ) ”. cos
2 4 cos ( 0) ，即 4cos ( 0) .）
图 10
再把被积函数 f (x, y) 化为 f ( cos, sin ) .
4 cos
注意不要漏掉
因此，原积分可化为
2
d
0
f ( cos , sin ) d .
2
1
x
（6） dx
x2 y2 d y
0
x2
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
2
这个定积分的时候，“θ”可以提到积分号外面去，即“ d ”. 1
积 出 的 结 果 “ (2 2
2 1
)
” 再 放 入 左 边 的 积 分 中 ， 作 为 “ 被 积 函 数 ”， 即
“
4
(
2
0
2
2 1
)d
4 (2
1 )d
”.
然后再算一次积分，此时，“θ”为积分变量，而“ρ”
0
2
已被代入上下限中的常数，计算出来是一个常数“ 3 ”，这个常数也可以提到积分号外面去， 2
sin 1 ( 0) ， 即 1 csc .
sin
3
csc
4
d
0
f ( cos , sin ) d
4
tan sec
3 d 0
f ( cos , sin ) d .
4
（可以发现，仅从积分区域这个要素来看，本题用直角坐标比极坐标简便. 但是，如果题中 给出了被积函数的具体解析式，还得综合分析“积分区域”和“被积函数”这两个要素， 才能知道应该在哪种坐标系下进行计算.）
（4） ex2 y2 dxdy ，其中区域 D {(x, y) | a2 x2 y2 b2, 0 a b}； D
解析： 将本题中的积分区域 D {(x, y) | a2 x2 y2 b2, 0 a b}（见图 21），化
为极坐标系里的闭区域 D {(, ) | a b , 0 2}（见图 22）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 2 , }（见图 6）.
cos 4
3
（直角坐标系里简单的直线方程 x 2 ，在极坐标系里可化为
cos 2 ( 0) ，即 2 2sec . cos
直线 y x 在第一象限部分，可以看作一条射线，用 表示.） 4
1、将下列累次积分化为极坐标形式： 本题考查以下知识点——
注意不要漏掉
即“ 2 ”
即“ sin tan ”， cos
而 arctan(tan ) .
R
（1） dx
R2x2 f (x2 y2 )d y
0
0
(R>0)
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
0
D
2 d
e1 d()
2 d
1 d(e )
0
0
0
0
2 [(
0
e )
1 0
1 e d ] d
0
2 (e1 e
0
1 0
)d
为了拿指数函数 凑微分，先要把 其指数部分看作
一个整体.
2 (e1 e1 1)d
(2e1 1)
(1 2e1)
.
0
22
图 18
图 17
（3） arctan y dxdy ，其中区域 D {(x, y) |1 x2 y2 4, y 0, y x}；
sin cos2
sin cos
1 cos
tan sec
.）
图 12
再把被积函数 f (x, y) x2 y2 化为“ ”.
因此，原积分可化为
4 d
tan sec
d
4 d
tan sec 2 d .
0
0
0
0
1
1
（7） dx f (x, y)d y
1
x2
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
图 22
（注意：还可利用二重积分的对称性，只算出积分区域 D 在第一象限那部分的二重积
分，再乘以 4，即 ex2y2 dxdy 4 2 d b e2 d .）
0
a
D
（5）
1
dxdy ，其中区域 D {(x, y) | x2 y2 1}；
D {(x, y) | 0 x 1, x2 y x}（见图 11）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 tan sec , 0 }（见图 12）.
4
图 11
（直角坐标系里的抛物线方程 y x2 ，在极坐标系里可化为
sin ( cos )2 ( 0) ， 即
1 3
2
[R3
2
(1 cos2 )3 R3]d
取绝对值，是偶函数
R3 3
2 2
( sin
3
1)d
R3 3
2 2
sin
3 d
R3 3
2
d
2
2R3
2
sin3 d
R3
[
(
)]
2R3
(2 1)
1
R3
30
32 2
33 3
图 15 图 16
4R3 1 R3 1 R3( 4) .
图4
再把被积函数 f (x, y) 化为 f ( cos, sin ) .
2a cos
注意不要漏掉
因此，原积分可化为
2
d
0
f ( cos , sin ) d .
2
2
（3） dx
3x
f(
x2 y2 )d y
0
x
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) | 0 x 2 , x y 3x}（见图 5）.
因此，原积分可化为
原函数和反函数抵消
图 19
arctan y dxdy
4 d
2
d
D
x
0
1
4
(
2
0
2
2 1
)d
3 2 22
4 0
3 2 64
.
图 20
2
注意： 本题计算过程中的累次积分“ 4 d d ”，这个符号的意思是计算两次
0
1
2
定积分，先计算右边的“ d ”，此时，“ρ”为积分变量，“θ”看作常量，因此，算 1
93
3
3
参照上册课本第 163 页例 4.3.16 结论
n 1 n 3
“
2
sinn
xd x
0
n n 1
n2 n3
n n 2
3 1 (n为偶数)
42 2
”.
4 2 1 (n为奇数)
53
（2） e x2y2 dxdy ，其中区域 D {(x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}； D
图2
再把被积函数 f (x2 y2 ) 化为 f ( 2 ) .
因此，原积分可化为
2 d
R f ( 2 ) d .
注意不要漏掉
0
0
2a
2 ax x2
（2） dx
f (x, y)d y
0
2axx2
(a>0)
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) | 0 x 2a , 2ax x2 y 2ax x2 }（见图 3）.
即“ 3
4 d ”.
20
2
综上所述，由于 4 d d 中两次定积分的上下限均为常数，且被积函数中变量
0
1
2
“ρ”和“θ”可以分别单独分离至“ d ”和“ 4 d ”中，因此，在这种特殊情况
1
0
2
下，第一次计算出来的积分“ d ”是一个常数该累次积分也可以看作两次定积分的 1
D {(x, y) | 0 x R , 0 y R2 x2 } （见图 1）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 R , 0 } （见图 2）. 2
图1
（直角坐标系里的圆的方程 x2 y2 R2 ，在极坐标系里可
化为 2 R2 ( 0) ，即常数函数 R .）
3 } ， 4
D3
{(, )
|
0
tan
sec ,
3 4
}
.
图 14 直角坐标系里的简单的直线方程
y 1，在极坐标系里可化为
再把原积分化为 f (x, y)dxdy D
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d
D1
D2
D3
tan sec
4 d
0
0
f ( cos, sin ) d
解析： 将本题中的积分区域 D {(x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}（见图 17），化为极
坐标系里的闭区域 D {(, ) | 0 1, 0 }（见图 18）. 2
原积分可化为
分部积分，“反、对、幂、指、三”
e x2y2 dxdy
2 d
1e d
0
原积分可化为
ex2y2 dxdy
2
d
b e2 d
0
a
D
凑微分
1
2
d
eb 2 d( 2 )
20
a
图 21
1
2
2 (e2
0
b a
)d
1 2
2 (eb2 ea2 ) d
0
1 (eb2 ea2 )
2
d
2
0
1 (eb2 ea2 ) (2 0)
2
(eb2 ea2 ) .
再把被积函数 f ( x2 y2 ) 化为 f () .
2sec
因此，原积分可化为
3
d
0
f () d .
4
图5 图6
（4） x2 d 1x2 y2 4
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) |1 x2 y2 4}（见图 7）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(x, y) | 1 x 1, x2 y 1} （见图 13）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，分成三个部分，再分别 化为极坐标系里的闭区域（见图 14）——
D D1 D2 D3 ，其中
图 13
D1
{(, )
|
0
tan
sec ,
0
}， 4
D2
{(, ) | 0
1 sin
csc , 4
2、利用极坐标计算下列二重积分：
（1） R2 x2 y2 dxdy ，其中区域 D {(x, y) | x2 y2 Rx} ；
D
解析： 将本题中的积分区域 D {(x, y) | x2 y2 Rx} （见图 15），化为极坐标系里
的闭区域 D {(, ) | 0 R cos , } （见图 16）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 2a cos , }（见图 4）.
2
2
图3
（直角坐标系里的圆的方程 x2 y2 2ax ，也即
(x a)2 y2 a2 ，在极坐标系里可化为
2 2a cos ( 0) ，即 2a cos ( 0) .）