二重积分在极坐标下的计算
高等数学：第三讲 极坐标系下二重积分的计算
解：画出积分区域，极点 在区域 D 的外部 区域 D可表示为
D {(r, ) | 2 r 3, 0 2 }
因此Biblioteka ex2y2dxdy 2d
3 er2 rdr
D
0
2
y
2 r 3
4 x2 y2 9
O
x
0 2
例2
2 0
[
1 2
er2
] |32
d
2 ( 1 e9 1 e4 )d
D
o
i1 i
i
r ri1 r ri
x
极坐标系下计算二重积分
再由直角坐标与极坐标的关系
x r cos , y r sin
可得
D f ( x, y)dxdy D f ( x, y)d D f (r cos , r sin )rdrd
D
o
i1
i
r
ri 1
i
r ri
x
极坐标系下计算二重积分
因此
O
x
x2 y2dxdy
d
2sin
r rdr
D
0
0
例3
0
[
1 3
r
3
]
|2sin
0
d
8 sin3 d
30
32 9
y
x2 y2 2y
2 sin
•
0
O
x
谢谢
此时
D f (r cos , r sin )rdrd
r ( )
= d 0 f (r cos , r sin )rdr
r r( )
D
o x
例1
计算
D1
1 x2
利用极坐标系计算二重积分
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
用极坐标计算二重积分
D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x
D1
(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2
( x 2 y 2 4)dxdy
3
0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2
2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2
作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv
2
例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1
a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.
浅谈极坐标系下的二重积分的计算
浅谈极坐标系下的二重积分的计算
极坐标系，又称极座标系，它是在平面直角坐标系的基础上发展而来的一种特
殊坐标系，其参照点被称为极点，并以极点的横纵坐标作为极轴来表示，结合极轴和距离极点的极径，就可以确定任意点的位置。
在极坐标系下的二重积分被广泛地应用于工程和物理学中，以实现集中式物质的分布情况更加准确和快捷地确定。
极坐标系下的二重积分是指把平面上某区域按照极坐标系分界，然后利用积分
计算技术求出该区域内的某三维函数的定积分，其计算公式为：
$$∫_{∞}^{minθ}∫_{θ}^{maxθ} f(r,θ) rdrdθ$$
其中，$f(r,θ)$ 为极坐标系中的函数， $r$ 代表极径， $rdr$ 为微元积分值。
与常用的二重积分计算方法不同，极坐标系中求二重积分时，原函数会抽象为一个两变量函数$f(r,θ)$，其最主要的特点在于函数变换，即把二重积分拆解为两个一重积分计算，从而简化了二重积分的计算过程。
极坐标系下的二重积分由于可以实现更加精确的函数变换，避免了大容量的数
据计算，从而降低了计算难度，使得运算更加迅速。
此外，极坐标系下的二重积分还可以通过设置不同的数值参数，来实现不同的区域计算，更加实用。
极坐标系下的二重积分的计算虽然在某种程度上比普通几何体积计算更加便捷，但由于其计算对精度要求比较高，且变量之间有一定程度的关联，因此使用者在进行计算时要把握好参数的数量及有效性，以避免因缺乏考虑而造成计算结果出错。
二重积分的极坐标计算方法
π
y=x
4
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
D
1
4
D 由直线 y = x , y = 4 , 及 x = 0 围成的平面区域。 D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 4 }
1 x = 1 ⇒ r cos θ = 1 ⇒ r = ≡ f (θ ) cos θ 1 π ⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 cos θ
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（ 下的定积分计算不便或根本无法计算）。 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分
D = { (r,θ )
( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 }
−
π
-0.5
-1
2 2 (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ (r cosθ − 2)2 + r 2 sin2 θ = 4 2 ⇒ r − 4r cosθ = 0 ⇒ r = 4 cosθ ≡ f (θ ) π π ∴ D = { (r , θ ) − ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ 4 cosθ }
2. 二重积分在极坐标系下的形式
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ drdθ
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r = g (θ ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
二重积分的计算极坐标
3 曲线的极坐标方程的求法 法一:根据曲线的几何特征及 与 r 几何含义建立方程
y
如图 圆的极坐标方程为
2R r
x
P , r
r 2R sin
0
O 法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立
圆的直角坐标方程为 x 2 y R 2 R 2 圆的极坐标方程为
0
2 极坐标与直角坐标的关系
若平面上极坐标系与直角坐标系 关系如图. 对平面上的点 P 设其极坐标与直角坐标 分别是 , r 和 x , y 则它们有关系
y
r
O
P , r
x , y
x
x r cos y r sin
D2
D
x
D4
1 2
又如计算
其中 D : x 2 y 2 a 2 .
由于e x 2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角坐标计算. 本题解法见后面例题8 还可举例
I e
D
x2 y2 2
dxdy, D : x y a
2 2
2
解： e
a
a
x / 2
2
r 2R sin
0
例 如图
R
,r P r
r
2R
P , r
法一 r R
0 2
2 2 2 故 r 2 R 2即 r R x y R 法二: 圆的直角坐标方程为
故圆的极坐标方程为 r R 0 2 例 如图 法一 r 2 R cos 2 2 2 2 2 圆的直角坐标方程为 x R y R 法二: 故圆的极坐标方程为 r 2 R cos 2 2
极坐标下的二重积分的计算
r
I
f ( x , y )d xdy
D
1. 极点不在区域 D 的内部
D: r1 ( ) r r2 ( )
步骤： B
r2 ( )
F
.
1 从D的图形找出 r, 上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd
.
E
r1 ( )
D
A
0
x=y y = 2x
即
即 arctan
D
r = 8 cos
D2
解: D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
D2 {( x , y ) | x y 2 R }
2 2 2
S
D1
D S2 D
R
S {( x , y ) | 0 x R,0 y R}
2R
{ x 0, y 0}
显然有 D1 S D2
例1. 把 f ( x , y )dxdy 变为极坐标形式，
D
D : ( x a )2 y 2 a 2 与 y 0 围成的区域；
解: ( x a) y a
2 2 2
即 r acos ,
x rcosθ 令 代入 y rsin θ
2 2
2
1
D
0
0
1 2 ( 2 ln 2 1)d ( 2 ln 2 1). 2 0
例4. 计算 sin x 2 y 2 dxdy，其中
D
D {( x , y ) | x y 4 };
2 2 2 2
解:
二重积分在极坐标下的计算法
S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式在数学中，积分（integral）是一种非常重要的操作，它可以用来解决很多复杂的数学问题。
它是采用数学中特定的函数把一个复杂的问题转化为求解单变量函数的问题，从而获得解决方法。
其中，极坐标求二重积分是一个重要的应用，它可以用于计算曲面或者曲线的体积和面积。
极坐标求二重积分是指将极坐标表示的二维函数的计算，例如，在极坐标中表示的二重积分公式：$$ int_0^{2pi} int_0^a f(r, theta) ,dr ,dtheta$$ 其中f(r,θ)是指极坐标下的函数，a是极坐标下的半径。
在极坐标求二重积分之前，我们需要将极坐标表示的函数进行变换，也就是把极坐标下的函数f(r,θ)转换为笛卡尔坐标下的函数g(x,y)。
其中，x = r cosθ，y = r sinθ，我们可以得到下面的变换公式：$$ g(x,y) = f(r, theta)cdot r $$根据这个公式，我们可以得到极坐标求二重积分的公式：$$ int_0^{2pi} int_0^a f(r,theta) cdot r ,dr ,dtheta $$ 该公式代表着从极坐标原点到半径a的圆上的积分，积分面积在极坐标系统中表示为ΔA，则ΔA=πa。
在实际应用中，可以用极坐标求二重积分公式来计算出某个曲面或者曲线上面积的数值。
例如，求解这样一个二重积分问题：设函数z=sinθ,θ介于0到2π，求该曲线上的极坐标下的面积：根据极坐标求二重积分公式，我们可以写出：$$ int_0^{2pi} int_0^1 sin theta cdot r ,dr ,dtheta $$ 由于我们只求解该曲线上的面积，而不是体积，所以半径的上限仍然设定为1，而上限设定为2π。
将上式积分之后，我们可以得到面积的数值：$$ S = int_0^{2pi} int_0^1 sin theta cdot r ,dr ,dtheta = pi$$可见，本题求解结果为π，也就是说，在极坐标下，该曲线的面积为π。
极坐标系下的二重积分计算
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2, , n)
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
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例 5 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3( 2 )
3 23
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
r 2 ( )
D
f (r cos , r sin )r d r d
D
d
2 ( )
二重积分极坐标r的范围
二重积分极坐标r的范围在数学中，二重积分是指在二维平面上被限制在一定区域内的函数进行积分运算的过程。
而极坐标系则是常用的描述圆形和对称图形的坐标系之一。
在极坐标系下，点的坐标由距离原点的距离和与x轴正半轴的夹角表示。
因此，在进行二重积分运算时，需将被积函数用极坐标表达式表示，然后计算积分所在的区域在极坐标下的范围。
二重积分在极坐标系下的计算式为：$$\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\int_{\alpha}^{\beta}\int_{\rho_{1}(\theta)}^{\rho_{2}(\theta)}f(\ rho\cos{\theta},\rho\sin{\theta})\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\th eta$$其中，$D$为被积函数的区域，$\alpha$和$\beta$分别是积分的起始角度和终止角度，$\rho_{1}$和$\rho_{2}$分别是极角为$\theta$时的内、外半径。
在极坐标下，被积函数的区域通常为一个圆形、条状或半圆形的部分。
下面分别解释这些情况下极坐标的范围：一、圆形部分若被积函数的区域为圆形部分，那么极角$\theta$的取值范围是$0\leq\theta\leq2\pi$。
而半径$\rho$的取值范围则由圆的方程所决定。
圆方程为$x^2+y^2=r^2$，而在极坐标下，$x=r\cos{\theta}$，$y=r\sin{\theta}$。
因此，圆的方程可表示为$\rho=r$。
因此，圆形部分的取值范围便是$0\leq r\leq a$，其中$a$为圆的半径。
二、条状部分若被积函数的区域为条状部分，那么极角$\theta$的取值范围仍为$0\leq\theta\leq2\pi$。
而半径$\rho$的取值范围则由条状部分在极坐标下的方程所决定。
若条状部分的两边为直线，则可将其表示为$\rho=k_{1}\sec{\theta}$和$\rho=k_{2}\sec{\theta}$，其中$k_{1}$和$k_{2}$分别为条状部分两侧直线与原点的距离。
高等数学随堂讲义二重积分的在极坐标系下的计算
x
交点的极角为θ的上限.
➢将极坐标系下的二重积分化为累次积分
1．积分次序的选择：一般选择先ρ后θ的次序
2．积分限的确定： 以先ρ后θ的次序为例
D
f
(
cos ,
sin
)dd
αβd
2
f
( )
(
c
o
s
,
1 ( )
sin
)d
先定θ的积分限
再定ρ的积分限
1 ( )
在θ的上下限之间作从极点出发的射线，
计算二重积分
➢极坐标系
ρ θ
规定：
极径 极角 极坐标
在极坐标系下：
P
ρ
θ
O
x
极点
极轴
以极点为圆心，ρ0为半径的圆 与极轴夹角为θ0的射线
上述两曲线的交点
➢极坐标与直角坐标的互化
P
ρ
θ
O
x
极点
极轴
➢极坐标与直角坐标的互化
y
1．极坐标化直角坐标
P
极坐标
ρ
直角坐标 2．直角坐标化极坐标
θ
O
x
极轴
直角坐标
d
d d
f ( x, y)d f ( cos , sin ) d d
D
D
二、二重积分在极坐标系下的计算
（一）二重积分计算公式 （二）化为累次积分方法 （三）小结
二、二重积分在极坐标系下的计算
（一）二重积分计算公式 （二）化为累次积分方法 （三）小结
➢将极坐标系下的二重积分化为累次积分
y
D 的极坐标表示 0 2 1 2
比较容易定限！
D3
D1
o
D2
极坐标系下二重积分的计算
直 线 方 程 为 rs i n 1 c o,s
x2 y2 1 xy1
f(x, y)dxdyf(rco,srsin)rdrd
D
D
0 2d1 sAi 1 n c ofs(rco,rsi)n rd .11 r
例 3计 算 e x2y2dx， d 其 中 yD是 由 中 心 在 原 点 ，
A
16
I1II2,
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d ) 2 x ( 1 e 2 R 2 );
4
0
4
当 R 时 , I1
4
,
I2
4
,
故 当 R 时 ,I ,
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所 求 广 义 积 分ex2dx
.
0
2
A
17
例 6 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
A
15
又 Ie x 2 y 2 dxdy
S
Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2;
0
0
0
I 1 e x 2 y 2 dxdy
D 1
2d
Rer2rdr
(1eR2
);
00
4
同 理 I2 D 2e x 2 y 2 dx 4(d 1ey 2R2 );
D
y 1） 2 x2y24
D o 2x
2）
2
y
2
x2y2 4
D o 2x
3）
2
y
2
x2y24 4）
极坐标法求二重积分
极坐标法求二重积分极坐标法是用来求解二重积分的一种常用的方法，特别适用于对称性较强的问题。
本文将详细介绍如何使用极坐标法求解二重积分，以及此方法的优点和适用范围。
首先，我们来了解一下什么是二重积分。
简单来说，二重积分就是对一个函数在一个区域上的积分。
而这个区域可以用直角坐标系下的矩形来表示。
具体公式可以写成：∬f(x, y) dA其中f(x, y)表示要积分的函数，dA表示积分的面积，而(x, y)就是矩形的某个点。
由于矩形的面积可表示为dx*dy，所以二重积分也可以写成：∬f(x, y) dx dy接下来，我们将使用极坐标法来求解二重积分。
极坐标法的基本思想是将直角坐标系下的点(x,y)转换为极坐标系下的点(r,θ)，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与x轴正半轴的夹角。
具体的转换公式如下：x = rcosθy = rsinθ反过来，我们也可以将极坐标系下的点(r,θ)转换为直角坐标系下的点(x,y)，公式如下：r² = x² + y²θ = tan⁻¹(y/x)有了这些基础知识，我们来看一个例子。
假设要求解函数f(x,y) = x²+y²在以原点为圆心，半径为1的圆内的二重积分。
根据极坐标法，我们可以将积分区域转换为极坐标下的区域，即0≤r≤1，0≤θ≤2π。
对于积分式∬f(x, y) dx dy，我们可以将其转换为∬f(rcosθ,rsinθ)r dr dθ，然后按照极坐标下的积分区域进行积分。
具体步骤如下：∬f(x, y) dx dy = ∫₀²π∫₀¹(r²cos²θ + r²sin²θ) r dr dθ此时，我们可以将被积函数中的r²提取出来，得到：∫₀²π∫₀¹r³ dr dθ对于这个积分式，我们可以先对r进行积分，得到：∫₀²π 1/4 dθ = π/2因此，函数f(x,y)在以原点为圆心，半径为1的圆内的二重积分为π/2。
在极坐标系下二重积分的计算
第九节 在极坐标系下二重积分的计算根据微元法可得到极坐标系下的面积微元θσr d r dd = 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为,c o s θr x = ,sin θr y =从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( (9.1)内容分布图示★ 利用极坐标系计算二重积分★ 二重积分化为二次积分的公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-9★ 返回内容提要：一、二重积分的计算1．如果积分区域D 介于两条射线βθαθ==,之间，而对D 内任一点),(θr ，其极径总是介于曲线)(),(21θϕθϕ==r r 之间（图6-9-2），则区域D 的积分限).()(,21θϕθϕβθα≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( .)sin ,cos ()()(21⎰⎰=θϕθϕβαθθθrdr r r f d (9.2)具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间),(βα上任意作一条极角为θ的射线穿透区域D （图6-9-2），则进入点与穿出点的极径)(),(21θϕθϕ就分别为内层积分的下限与上限.2．如果积分区域D 是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当)()(,0)(21θϕθϕθϕ==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,θϕβθα≤≤≤≤r 于是.)sin ,cos (),()(0⎰⎰⎰⎰=θϕβαθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.3)3．如果积分区域D 如图6-9-4所示，极点位于D 的内部，则可以把它看作是第二种情形中当πβα2,0==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,20θϕπθ≤≤≤≤r于是.)sin ,cos (),()(020⎰⎰⎰⎰=θϕπθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.4)注：根据二重积分的性质3，闭区域D 的面积σ在极坐标系下可表示为⎰⎰⎰⎰==DD rdrd d θσσ (9.5) 如果区域D 如图6-9-3所示，则有⎰⎰⎰⎰⎰===βαθϕβαθθϕθθσd rdr d rdrd D )(21)(0 (9.6) 例题选讲：例1（讲义例1）计算⎰⎰++D yx dxdy 221，其中D 是由122≤+y x 所确定的圆域. 例2（讲义例2） 计算⎰⎰++D dxdy y x y x 2222)sin(π, 其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域.例3（讲义例3）计算⎰⎰D dxdy x y 22, 其中D 是由曲线x y x 222=+所围成的平面区域. 例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的二次积分，其中区域}.10,11|),{(2≤≤-≤≤-=x x y x y x D 例5 计算dxdy y x D)(22+⎰⎰,其中D 为由圆y y x y y x 4,22222=+=+及直线03=-y x , 03=-x y 所围成的平面闭区域.例 6 将二重积分σd y x f D⎰⎰),(化为极坐标形式的二次积分,其中D 是曲线,222a y x =+ 42222a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-及直线0=+y x 所围成上半平面的区域.例7（讲义例5）求曲线)(2)(222222y x a y x -=+和a y x ≥+22所围成区域D 的面积.例8（讲义例6）求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+)0(>a 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.课堂练习1.计算⎰⎰--D y x dxdy e22, 其中D 是由中心在原点, 半径为a 的圆周所围成的闭区域.2.计算,|2|22⎰⎰-+D d y x σ 其中3:22≤+y x D .。
用极坐标求二重积分
用极坐标求二重积分在数学中，二重积分是对二维区域上的函数进行求和的一种方法。
在直角坐标系中，我们通常使用矩形来划分区域，并计算每个矩形的面积与函数值的乘积，然后将这些乘积相加以得到积分结果。
然而，当问题的几何形状具有旋转对称性时，使用极坐标系可以更方便地进行计算。
极坐标系是一种二维坐标系，其中点的位置由极径和极角确定。
极径表示点到原点的距离，而极角表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系中，我们可以将一个二维区域表示为一对极径和极角的范围。
要用极坐标求二重积分，我们需要首先将直角坐标系中的函数转换为极坐标系中的函数。
这可以通过使用极坐标变换公式来实现。
对于一个平面上的点(x, y)，它的极坐标表示为(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与正半轴的夹角。
极坐标变换的公式如下：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)然后，我们需要确定在极坐标系中的积分区域。
这可以通过确定极径和极角的范围来实现。
对于一个矩形区域，在极坐标系中的范围通常由极径和极角的最小值和最大值确定。
确定了积分区域后，我们可以计算在极坐标系中的二重积分。
通过将直角坐标系中的积分表达式转化为极坐标系中的积分表达式，我们可以更方便地计算二重积分。
在极坐标系中，积分表达式的形式为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ其中，f(r, θ)表示在极坐标系中的函数，dA表示在极坐标系中的面积元素，r表示极径，θ表示极角。
在计算时，我们需要按照积分区域的范围，分别对r和θ进行积分。
具体的计算步骤如下：1. 将直角坐标系中的函数转换为极坐标系中的函数。
2. 确定积分区域的极径和极角范围。
3. 按照积分区域的范围，先对极径进行积分，再对极角进行积分。
4. 根据积分的结果，得到二重积分的值。
需要注意的是，使用极坐标求二重积分时，积分区域的范围和函数的转换是关键步骤。
在确定积分区域的范围时，需要考虑几何形状的对称性和不连续性等特点。
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2
2
乘积，即 4 d d ( 4 d ) ( d) .
0
1
0
1
大家要注意，并不是所有的累次积分都可以看作两次定积分的乘积，只有同时满足下述
两个条件的累次积分才可以——
① 两次定积分的上下限均为常数；
② 被积函数中的两个自变量可以各自分离至两次定积分当中，即被积函数具有形式
f (x, y) f1(x) f2 ( y) .
D {(, ) |1 2, 0 2}（见图 8）.
（直角坐标系里圆的方程 x2 y2 r2 (r 0) ，在极坐标系
图7
里可化为 2 r2 ( 0) ，即简单的常数函数 r .）
再把被积函数 f (x, y) x2 化为“ ( cos ) 2 ”.
因此，原积分可化为
2
d
2 ( cos ) 2 d
0
1
图8
2
d
2 3 cos2 d .
0
1
（说明：由以上几题可以发现——直角坐标在表示直线方程的时候，比极坐标简便；而极 坐标在表示圆形或扇形方程时，比直角坐标简便.）
（5） f (x, y)d x2 y2 4x
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) | x2 y2 4x} （见图 9）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 4cos , } （见图 10）.
2
2
图9
（直角坐标系里的圆的方程 x2 y2 4x ，也即
(x 2)2 y2 4 ，在极坐标系里可化为
2
2
原积分可化为
R2 x2 y2 dxdy
2
d
R cos 0
R2 2 d
D
2
1 2
2
d
2
R cos 0
R2 2 d(R2 2)
凑微分
1 2
2 2
2 (R2 3
3
2)2
d R cos
0
1 3
3
3
2
[(R2
R2
cos2
)2
(R2
0) 2
]d
2
注意：从平方根里开出析： 将本题中的积分区域 D {(x, y) |1 x2 y2 4, y 0, y x}（见图 19），化
为极坐标系里的闭区域 D {(, ) |1 2, 0 } （见图 20）. 4
被积函数 f (x, y) arctan y 可化为 x
“ arctan( sin ) arctan(tan ) ”. cos
2 4 cos ( 0) ，即 4cos ( 0) .）
图 10
再把被积函数 f (x, y) 化为 f ( cos, sin ) .
4 cos
注意不要漏掉
因此，原积分可化为
2
d
0
f ( cos , sin ) d .
2
1
x
（6） dx
x2 y2 d y
0
x2
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
2
这个定积分的时候，“θ”可以提到积分号外面去，即“ d ”. 1
积 出 的 结 果 “ (2 2
2 1
)
” 再 放 入 左 边 的 积 分 中 ， 作 为 “ 被 积 函 数 ”， 即
“
4
(
2
0
2
2 1
)d
4 (2
1 )d
”.
然后再算一次积分，此时，“θ”为积分变量，而“ρ”
0
2
已被代入上下限中的常数，计算出来是一个常数“ 3 ”，这个常数也可以提到积分号外面去， 2
sin 1 ( 0) ， 即 1 csc .
sin
3
csc
4
d
0
f ( cos , sin ) d
4
tan sec
3 d 0
f ( cos , sin ) d .
4
（可以发现，仅从积分区域这个要素来看，本题用直角坐标比极坐标简便. 但是，如果题中 给出了被积函数的具体解析式，还得综合分析“积分区域”和“被积函数”这两个要素， 才能知道应该在哪种坐标系下进行计算.）
（4） ex2 y2 dxdy ，其中区域 D {(x, y) | a2 x2 y2 b2, 0 a b}； D
解析： 将本题中的积分区域 D {(x, y) | a2 x2 y2 b2, 0 a b}（见图 21），化
为极坐标系里的闭区域 D {(, ) | a b , 0 2}（见图 22）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 2 , }（见图 6）.
cos 4
3
（直角坐标系里简单的直线方程 x 2 ，在极坐标系里可化为
cos 2 ( 0) ，即 2 2sec . cos
直线 y x 在第一象限部分，可以看作一条射线，用 表示.） 4
1、将下列累次积分化为极坐标形式： 本题考查以下知识点——
注意不要漏掉
即“ 2 ”
即“ sin tan ”， cos
而 arctan(tan ) .
R
（1） dx
R2x2 f (x2 y2 )d y
0
0
(R>0)
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
0
D
2 d
e1 d()
2 d
1 d(e )
0
0
0
0
2 [(
0
e )
1 0
1 e d ] d
0
2 (e1 e
0
1 0
)d
为了拿指数函数 凑微分，先要把 其指数部分看作
一个整体.
2 (e1 e1 1)d
(2e1 1)
(1 2e1)
.
0
22
图 18
图 17
（3） arctan y dxdy ，其中区域 D {(x, y) |1 x2 y2 4, y 0, y x}；
sin cos2
sin cos
1 cos
tan sec
.）
图 12
再把被积函数 f (x, y) x2 y2 化为“ ”.
因此，原积分可化为
4 d
tan sec
d
4 d
tan sec 2 d .
0
0
0
0
1
1
（7） dx f (x, y)d y
1
x2
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
图 22
（注意：还可利用二重积分的对称性，只算出积分区域 D 在第一象限那部分的二重积
分，再乘以 4，即 ex2y2 dxdy 4 2 d b e2 d .）
0
a
D
（5）
1
dxdy ，其中区域 D {(x, y) | x2 y2 1}；
D {(x, y) | 0 x 1, x2 y x}（见图 11）.
先把这个直角坐标系里的闭区域，化为极坐标系里的闭区域
D {(, ) | 0 tan sec , 0 }（见图 12）.
4
图 11
（直角坐标系里的抛物线方程 y x2 ，在极坐标系里可化为
sin ( cos )2 ( 0) ， 即
1 3
2
[R3
2
(1 cos2 )3 R3]d
取绝对值，是偶函数
R3 3
2 2
( sin
3
1)d
R3 3
2 2
sin
3 d
R3 3
2
d
2
2R3
2
sin3 d
R3
[
(
)]
2R3
(2 1)
1
R3
30
32 2
33 3
图 15 图 16
4R3 1 R3 1 R3( 4) .
图4
再把被积函数 f (x, y) 化为 f ( cos, sin ) .
2a cos
注意不要漏掉
因此，原积分可化为
2
d
0
f ( cos , sin ) d .
2
2
（3） dx
3x
f(
x2 y2 )d y
0
x
解析： 根据已知条件所给出的累次积分的上下限，可知本题中的积分区域为
D {(x, y) | 0 x 2 , x y 3x}（见图 5）.
因此，原积分可化为
原函数和反函数抵消
图 19
arctan y dxdy
4 d
2
d
D
x
0
1
4
(
2
0
2
2 1
)d
3 2 22
4 0
3 2 64
.
图 20
2
注意： 本题计算过程中的累次积分“ 4 d d ”，这个符号的意思是计算两次
0
1
2
定积分，先计算右边的“ d ”，此时，“ρ”为积分变量，“θ”看作常量，因此，算 1
93
3
3
参照上册课本第 163 页例 4.3.16 结论
n 1 n 3
“
2
sinn
xd x
0
n n 1
n2 n3
n n 2
3 1 (n为偶数)
42 2
”.
4 2 1 (n为奇数)
53
（2） e x2y2 dxdy ，其中区域 D {(x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}； D