环境水力学ch5-1
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从污染物在水体中的迁移转化过程来说，虽然
在自然环境中平流、扩散都起作用，但在某些 条件下，其中一种过程可能起主导作用。从而 可区分为完全混合型、平流型、平流扩散型三 种水质模型类。
从反应动力学来说，又可区分为：纯反应型、
惰性物质的纯迁移型、迁移反应型以及生态模 型。后者还要描述水动力学特性和水质要素对 生物现象在空间和时间上的变化关系。
对于不受潮汐影响的河流，分散系数很 小，可以忽略，此时水质方程简化为：
C C u k1C t x
这个偏微分方程等价为：
dx(t ) u dt dC( x(t ), t ) k1C dt
式中：x(t)为特征线。
讨论
在河水流经时间为t(由0→t)时，x(t)=ut 对于x(t)=0,C=C0的情况：
Streeter-Phelps 模型（1925年） 一维河流基本方程的解析解 污染带计算
零维水质模型
第三节 Streeter-Phelps 模型
模拟对象和应用条件 一维线性偏微分方程 氧垂曲线 S－P模型的各种修正
模拟对象和应用条件
模拟对象：BOD和DO 应用条件 1.恒定均匀流 2.BOD耗氧仅为微生物作用（符合一级反应动 力学） 3.BOD耗氧与氧亏成正比，氧亏的净变化仅是 耗氧和通过水气界面复氧的函数。
可用解特征多项式的方法求解上式。其特征多项 式为： 2 u k
K
1
K
2
0
u k1 u 其特征值： K K 4 K u (1 m) 2 2K
式中：
m 1
4k1 K u2
一维河流基本方程稳态解
于是通解是： c Ae1x Be2 x
k2=0.7d-1，其它水温时的k1 、k2可按下式计算。求最小
溶解氧出现的位置。 k1 k1(20) 1.04(T 20)
k2 k2(20) 1.024(T 20)
一维河流基本方程
一般模型：
C C 2C u K 2 k1C t x x
式中：u为河流断面平均流速，m/s; x为沿程纵向距离，m； k1为污染物一级衰减速率，1/s; C为污染物的沿程浓度， mg/L； K为纵向分散系数，m2/s。
1.
2. 3.
水质模型的分类特性
从水质组分来说，主要模拟的水质对象是 有机污染物，它是一种典型的水体污染， 综合反映耗氧有机物的BOD--DO水质模型具 有普遍的重要价值，也是比较成熟的模型。
水质模型的分类特性
从水质系统的状态来说，水质模型可分为稳态
的和非稳态的以及确定性的和随机性的。
水质模型的分类特性类特性
解析解
DO的控制方程可写为
u D k1C k 2 D x
考虑到
u
dx dt
于是方程（1）解得：
dC k1C dt C C0 e k1t C0 exp( k1 x ) u
解析解
代入DO的控制方程得
u D k1C k 2 D x
于是方程（2）解得：
D k1C0 [e k1t e k2t ] D0e k2t k2 k1
C ( x(t )) C0 exp[ k1 x(t ) ] u
可见，只要知道初始浓度x=0,C=C0,即 可求得该水团流到下游某处的时间和污染 物的浓度。
3．具有简单边界条件时河流一维方程的解
对于瞬时突然排污的情况，此时水质 方程为： 2
C C C u E x 2 K1C t x x
水质模型的分类特性
从水质模型的空间维数来说，虽然真实系统 一般都是三维结构。在实用上往往采用一维、 二维以至零维的水质模型。 一般情况下，对一条中小河流的较长河段， 其横向和垂向的污染物浓度梯度可以忽略， 而采用只考虑纵向（即水流方向）浓度变化 的一维模型来模拟河水的水质。
河流水质模型
发展历程
第一阶段（1925—1965年）：开发了比较简单的生物
化学需氧量和溶解氧（BOD-DO）双线性系统模型，对 河流和河口问题采用了一维计算方法。
第二阶段（1965—1970年）：随着计算机的应用以及
对生化耗氧过程认识的深入，除继续研究发展BOD-DO 模型的多维参数估值问题外，水质模型发展为六全线 性系统，计算方法从一维进到二维，除河流、河口问 题外，开始计算湖泊及海湾问题。
发展历程
第三阶段（1970—1975年）：研究发展了相互作用的
非线性系统模型。涉及到营养物质氮、磷的循环系统， 浮游植物和浮游动物系统以及生物生长率同这些营养 物质、阳光、温度的关系，浮游植物与浮游动物生长 率之间的关系。其关系都是线性的，一般只能用数值 法求解，空间上用一维和二维方法进行计算。
1．一维河流基本方程稳态解
稳态是指均匀河流定常排污条件。即横断面 积A，流速u，流量Q以及污染物输入量和分散 系数都不随时间而变化，此时水质方程简化 为：
d 2C u dC k1 C 0 2 dx K dx K
x 0时，C C0 边界条件： 时，C 0 x
一维河流基本方程稳态解
讨论
除上述条件外，还可以忽略河水中悬浮 物的沉浮作用（如排放的废水悬浮固体 很少或已经沉淀处理，河流的流速较低 等），则托马斯模型可以简化为斯特里 特—菲尔普斯模型。
例题
试计算溶解氧在河流中的下垂情况。该河畔某城市将 1.33m3/s的废水排入流量为8.5m3/s的河流中，河流平均 流速为76.8km/d，河水温度为15℃，废水的BOD为 200mg/L，河水的BOD为1.0mg/L，废水中不含溶解氧， 而排放口上游河水中饱和度为90%，在20 ℃时k1=0.3d-1，
4.污染负荷为常值。
一维线性偏微分方程
dC 2C u K 2 k1C dx x
பைடு நூலகம்
BOD的控制方程
O u k1C k 2 (Os O) x
DO的控制方程
式中：u为河流断面平均流速，m/s; x为沿程距离，m； k1为耗氧系数，1/d; k2为复氧系数，1/d; C为BOD的沿程浓度， mg/L； Os为液体中溶解氧饱和浓度，mg/L;O为DO的沿程 浓度，mg/L;D=Os-O为液体中的氧亏值，mg/L。
k1C0 k1 x k2 x k2 x [exp( ) exp( )] D0 exp( ) k2 k1 u u u
式中：C0，D0分别为河流起始点（x=0) 处的BOD浓度 和氧亏浓度。
氧垂曲线
O(mg/L)
Os O0 Oc o
最 大 亏 氧 值
xc
氧垂曲线
复氧曲线 耗氧曲线 x
式中，A、B为待定常数。 由于 （1-m）相应于排污口的下游区（即 x>0），而（1+m）则相应于排污口以上的 区域（即x<0），后者无意义。故应舍去λ1， 即A=0。又x=0时，c=c0，故B= c0。从而解得：
ux 4 Kk1 C C0 exp[ (1 1 2 )] 2K u
2．忽略分散的一般方程解
或者 D
Dobbins-Camp修正
考虑底泥耗氧．藻类光合作用增氧P；和地表 径流或底泥中有机物所引起的溶解氧变化速
度R。
水质模型为
C u (k1 k3 )C R x O u k1C k 2 (Os O) P x
Dobbins-Camp模型的解析解
S－P模型广泛应用于河流水质的模拟预测中。 上述结果可用于是u常数，且u很大，横向混 合。
S－P模型的各种修正
非稳态模型 Thamas修正 Dobbins-Camp修正 O’connor修正
非稳态模型
C C u k1C t x
O O u k1C k 2 (Os O) t x
求解方法：数值解
Thamas修正
考虑污染物的悬浮与沉降作用
C u k1C k3C x
其中，k3为沉浮系数，当
O u k1C k 2 (Os O) x
0 k3 0
污染物为沉降 污染物为悬浮
如何求解？
Thamas模型的解析解
解析解为：
(k1 k3 ) x C C0 exp( ) u
第四阶段（1970年以后）：除继续研究第三阶段的食
物链问题外，还发展了多种相互作用系统，涉及到与 有毒物质的相互作用，空间尺度上已发展到三维。
水质模型的分类特性
从使用管理的角度来说，水质模型可分 为：
河流、河口模型，
湖泊、水库模型， 海湾模型 一般河流和河口模型比较成熟，湖、海 模型比较复杂，可靠性小。
式中：
(k1 k3 ) x ) u k x F2 exp( 2 ) u k x F3 exp( N ) u F1 exp(
讨论
从一维河流水质模型来说，当考虑非稳态情形，
可根据条件，分别采用突发性瞬时排污的解析模 型、阶梯状集中连续排污的解析模型或有限差分 水质模型。 对于一维稳态河流的BOD—DO模型：通用性较强 的是多宾斯—坎普（Dobbins-Camp）模型，它全 面地考虑了河水中溶解的CBOD（或因地表径流引 起CBOD的变化）的迁移和反应，同时还考虑了与 此相应的耗氧作用，大气向河水的复氧作用、藻 类的呼吸和光合作用等所引起的溶解氧变化。
解析解为：
C C0 F1 R (1 F1 ) k1 k3 k1 R (C0 )(F1 F2 ) k1 k3 k 2 k1 k3 O Os (Os O0 ) F2 [
P k1 R ](1 F2 ) k 2 k 2(k1 k3 )
( k1 k3 ) x ) u k x F2 exp( 2 ) u F1 exp(
式中：
O’connor修正
将BOD分为碳化BOD和氮化BOD。
CC (k1 k3 )CC x C u N k N C N x O u k1CC k N C N k 2 (Os O) x u
C 边界条件： C (0) C0(C ) , CN (0) C0( N ) , O(0) O0
沿水流方向的溶解氧分布曲线
分 析
氧垂曲线的最低点C称为临界氧亏点 临界氧亏点的亏氧量称为最大亏氧值。
在临界氧亏点，耗氧和复氧平衡。
此后，耗氧量因污染物浓度减小而减少，复
氧量相对增加，水中溶解氧增多。水质逐渐
恢复。
分 析
由 可得
dD dx
x xc
0
D0 k 2 k1 u k2 xc ln[ (1 )] k 2 k1 k1 C0 k1
O’connor模型的解析解
解析解为：
CC C0 ( C ) F1 ; C N C0 ( N ) F3 O Os (Os O0 ) F2 k N C0 ( N ) k N k 2 ](F3 F2 ) K1C0 ( C ) k1 k3 k 2 ( F1 F2 )
O k1C0 ( k k3 ) x k x k x [exp[ 1 ] exp( 2 ) Os (Os O0 ) exp( 2 ) k1 k3 k 2 u u u k1C0 ( k k3 ) x k x k x [exp( 1 ) exp( 2 )] D0 exp( 2 ) k 2 k1 k3 u u u
边界条件：
C ( x,0) 0 C (0, t ) C0 (t ) C (, t ) 0
式中： C0 m , m为突然排放的污染物质 量 Q
傅里叶变换求解
上述定解问题的解析解为：
m ( x ut )2 C ( x, t ) exp( K1t ) exp[ ] 3E x t A 4 Ext
环境水力学
第 五 章 河流水质模型
讨论问题
水质模型的发展概况 水质模型的分类特性 河流水质模型基本方程及其解 一维水质模型基本方程的解析解
水质模型的发展概况
自从1925年斯特里特—费尔普斯（streeterPhelps）第一次建立水质模型以来，国际上 对水质模型的开发与研究可分为如下四个发 展阶段。
在自然环境中平流、扩散都起作用，但在某些 条件下，其中一种过程可能起主导作用。从而 可区分为完全混合型、平流型、平流扩散型三 种水质模型类。
从反应动力学来说，又可区分为：纯反应型、
惰性物质的纯迁移型、迁移反应型以及生态模 型。后者还要描述水动力学特性和水质要素对 生物现象在空间和时间上的变化关系。
对于不受潮汐影响的河流，分散系数很 小，可以忽略，此时水质方程简化为：
C C u k1C t x
这个偏微分方程等价为：
dx(t ) u dt dC( x(t ), t ) k1C dt
式中：x(t)为特征线。
讨论
在河水流经时间为t(由0→t)时，x(t)=ut 对于x(t)=0,C=C0的情况：
Streeter-Phelps 模型（1925年） 一维河流基本方程的解析解 污染带计算
零维水质模型
第三节 Streeter-Phelps 模型
模拟对象和应用条件 一维线性偏微分方程 氧垂曲线 S－P模型的各种修正
模拟对象和应用条件
模拟对象：BOD和DO 应用条件 1.恒定均匀流 2.BOD耗氧仅为微生物作用（符合一级反应动 力学） 3.BOD耗氧与氧亏成正比，氧亏的净变化仅是 耗氧和通过水气界面复氧的函数。
可用解特征多项式的方法求解上式。其特征多项 式为： 2 u k
K
1
K
2
0
u k1 u 其特征值： K K 4 K u (1 m) 2 2K
式中：
m 1
4k1 K u2
一维河流基本方程稳态解
于是通解是： c Ae1x Be2 x
k2=0.7d-1，其它水温时的k1 、k2可按下式计算。求最小
溶解氧出现的位置。 k1 k1(20) 1.04(T 20)
k2 k2(20) 1.024(T 20)
一维河流基本方程
一般模型：
C C 2C u K 2 k1C t x x
式中：u为河流断面平均流速，m/s; x为沿程纵向距离，m； k1为污染物一级衰减速率，1/s; C为污染物的沿程浓度， mg/L； K为纵向分散系数，m2/s。
1.
2. 3.
水质模型的分类特性
从水质组分来说，主要模拟的水质对象是 有机污染物，它是一种典型的水体污染， 综合反映耗氧有机物的BOD--DO水质模型具 有普遍的重要价值，也是比较成熟的模型。
水质模型的分类特性
从水质系统的状态来说，水质模型可分为稳态
的和非稳态的以及确定性的和随机性的。
水质模型的分类特性类特性
解析解
DO的控制方程可写为
u D k1C k 2 D x
考虑到
u
dx dt
于是方程（1）解得：
dC k1C dt C C0 e k1t C0 exp( k1 x ) u
解析解
代入DO的控制方程得
u D k1C k 2 D x
于是方程（2）解得：
D k1C0 [e k1t e k2t ] D0e k2t k2 k1
C ( x(t )) C0 exp[ k1 x(t ) ] u
可见，只要知道初始浓度x=0,C=C0,即 可求得该水团流到下游某处的时间和污染 物的浓度。
3．具有简单边界条件时河流一维方程的解
对于瞬时突然排污的情况，此时水质 方程为： 2
C C C u E x 2 K1C t x x
水质模型的分类特性
从水质模型的空间维数来说，虽然真实系统 一般都是三维结构。在实用上往往采用一维、 二维以至零维的水质模型。 一般情况下，对一条中小河流的较长河段， 其横向和垂向的污染物浓度梯度可以忽略， 而采用只考虑纵向（即水流方向）浓度变化 的一维模型来模拟河水的水质。
河流水质模型
发展历程
第一阶段（1925—1965年）：开发了比较简单的生物
化学需氧量和溶解氧（BOD-DO）双线性系统模型，对 河流和河口问题采用了一维计算方法。
第二阶段（1965—1970年）：随着计算机的应用以及
对生化耗氧过程认识的深入，除继续研究发展BOD-DO 模型的多维参数估值问题外，水质模型发展为六全线 性系统，计算方法从一维进到二维，除河流、河口问 题外，开始计算湖泊及海湾问题。
发展历程
第三阶段（1970—1975年）：研究发展了相互作用的
非线性系统模型。涉及到营养物质氮、磷的循环系统， 浮游植物和浮游动物系统以及生物生长率同这些营养 物质、阳光、温度的关系，浮游植物与浮游动物生长 率之间的关系。其关系都是线性的，一般只能用数值 法求解，空间上用一维和二维方法进行计算。
1．一维河流基本方程稳态解
稳态是指均匀河流定常排污条件。即横断面 积A，流速u，流量Q以及污染物输入量和分散 系数都不随时间而变化，此时水质方程简化 为：
d 2C u dC k1 C 0 2 dx K dx K
x 0时，C C0 边界条件： 时，C 0 x
一维河流基本方程稳态解
讨论
除上述条件外，还可以忽略河水中悬浮 物的沉浮作用（如排放的废水悬浮固体 很少或已经沉淀处理，河流的流速较低 等），则托马斯模型可以简化为斯特里 特—菲尔普斯模型。
例题
试计算溶解氧在河流中的下垂情况。该河畔某城市将 1.33m3/s的废水排入流量为8.5m3/s的河流中，河流平均 流速为76.8km/d，河水温度为15℃，废水的BOD为 200mg/L，河水的BOD为1.0mg/L，废水中不含溶解氧， 而排放口上游河水中饱和度为90%，在20 ℃时k1=0.3d-1，
4.污染负荷为常值。
一维线性偏微分方程
dC 2C u K 2 k1C dx x
பைடு நூலகம்
BOD的控制方程
O u k1C k 2 (Os O) x
DO的控制方程
式中：u为河流断面平均流速，m/s; x为沿程距离，m； k1为耗氧系数，1/d; k2为复氧系数，1/d; C为BOD的沿程浓度， mg/L； Os为液体中溶解氧饱和浓度，mg/L;O为DO的沿程 浓度，mg/L;D=Os-O为液体中的氧亏值，mg/L。
k1C0 k1 x k2 x k2 x [exp( ) exp( )] D0 exp( ) k2 k1 u u u
式中：C0，D0分别为河流起始点（x=0) 处的BOD浓度 和氧亏浓度。
氧垂曲线
O(mg/L)
Os O0 Oc o
最 大 亏 氧 值
xc
氧垂曲线
复氧曲线 耗氧曲线 x
式中，A、B为待定常数。 由于 （1-m）相应于排污口的下游区（即 x>0），而（1+m）则相应于排污口以上的 区域（即x<0），后者无意义。故应舍去λ1， 即A=0。又x=0时，c=c0，故B= c0。从而解得：
ux 4 Kk1 C C0 exp[ (1 1 2 )] 2K u
2．忽略分散的一般方程解
或者 D
Dobbins-Camp修正
考虑底泥耗氧．藻类光合作用增氧P；和地表 径流或底泥中有机物所引起的溶解氧变化速
度R。
水质模型为
C u (k1 k3 )C R x O u k1C k 2 (Os O) P x
Dobbins-Camp模型的解析解
S－P模型广泛应用于河流水质的模拟预测中。 上述结果可用于是u常数，且u很大，横向混 合。
S－P模型的各种修正
非稳态模型 Thamas修正 Dobbins-Camp修正 O’connor修正
非稳态模型
C C u k1C t x
O O u k1C k 2 (Os O) t x
求解方法：数值解
Thamas修正
考虑污染物的悬浮与沉降作用
C u k1C k3C x
其中，k3为沉浮系数，当
O u k1C k 2 (Os O) x
0 k3 0
污染物为沉降 污染物为悬浮
如何求解？
Thamas模型的解析解
解析解为：
(k1 k3 ) x C C0 exp( ) u
第四阶段（1970年以后）：除继续研究第三阶段的食
物链问题外，还发展了多种相互作用系统，涉及到与 有毒物质的相互作用，空间尺度上已发展到三维。
水质模型的分类特性
从使用管理的角度来说，水质模型可分 为：
河流、河口模型，
湖泊、水库模型， 海湾模型 一般河流和河口模型比较成熟，湖、海 模型比较复杂，可靠性小。
式中：
(k1 k3 ) x ) u k x F2 exp( 2 ) u k x F3 exp( N ) u F1 exp(
讨论
从一维河流水质模型来说，当考虑非稳态情形，
可根据条件，分别采用突发性瞬时排污的解析模 型、阶梯状集中连续排污的解析模型或有限差分 水质模型。 对于一维稳态河流的BOD—DO模型：通用性较强 的是多宾斯—坎普（Dobbins-Camp）模型，它全 面地考虑了河水中溶解的CBOD（或因地表径流引 起CBOD的变化）的迁移和反应，同时还考虑了与 此相应的耗氧作用，大气向河水的复氧作用、藻 类的呼吸和光合作用等所引起的溶解氧变化。
解析解为：
C C0 F1 R (1 F1 ) k1 k3 k1 R (C0 )(F1 F2 ) k1 k3 k 2 k1 k3 O Os (Os O0 ) F2 [
P k1 R ](1 F2 ) k 2 k 2(k1 k3 )
( k1 k3 ) x ) u k x F2 exp( 2 ) u F1 exp(
式中：
O’connor修正
将BOD分为碳化BOD和氮化BOD。
CC (k1 k3 )CC x C u N k N C N x O u k1CC k N C N k 2 (Os O) x u
C 边界条件： C (0) C0(C ) , CN (0) C0( N ) , O(0) O0
沿水流方向的溶解氧分布曲线
分 析
氧垂曲线的最低点C称为临界氧亏点 临界氧亏点的亏氧量称为最大亏氧值。
在临界氧亏点，耗氧和复氧平衡。
此后，耗氧量因污染物浓度减小而减少，复
氧量相对增加，水中溶解氧增多。水质逐渐
恢复。
分 析
由 可得
dD dx
x xc
0
D0 k 2 k1 u k2 xc ln[ (1 )] k 2 k1 k1 C0 k1
O’connor模型的解析解
解析解为：
CC C0 ( C ) F1 ; C N C0 ( N ) F3 O Os (Os O0 ) F2 k N C0 ( N ) k N k 2 ](F3 F2 ) K1C0 ( C ) k1 k3 k 2 ( F1 F2 )
O k1C0 ( k k3 ) x k x k x [exp[ 1 ] exp( 2 ) Os (Os O0 ) exp( 2 ) k1 k3 k 2 u u u k1C0 ( k k3 ) x k x k x [exp( 1 ) exp( 2 )] D0 exp( 2 ) k 2 k1 k3 u u u
边界条件：
C ( x,0) 0 C (0, t ) C0 (t ) C (, t ) 0
式中： C0 m , m为突然排放的污染物质 量 Q
傅里叶变换求解
上述定解问题的解析解为：
m ( x ut )2 C ( x, t ) exp( K1t ) exp[ ] 3E x t A 4 Ext
环境水力学
第 五 章 河流水质模型
讨论问题
水质模型的发展概况 水质模型的分类特性 河流水质模型基本方程及其解 一维水质模型基本方程的解析解
水质模型的发展概况
自从1925年斯特里特—费尔普斯（streeterPhelps）第一次建立水质模型以来，国际上 对水质模型的开发与研究可分为如下四个发 展阶段。