线性代数第五章练习及解答

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

证明:因为 A + E = A + AAT = A(A + E )T ,那么 |A + E |(1 − |A|) = 0,于是 |A + E | = 0, 即 λ = −1 是 A 的一个特征值
5. 设 A1 , A2 , A3 是 3 个非零的 n 阶矩阵 n ≥ 3 , 满足 A2 i = Ai (i = 1, 2, 3), 且 Ai Aj = O (i ̸= j ; j = 1, 2, 3)
解:特征多项式为
0 −λ
注意到属于不同特征值的特征向量线性无关,于是对于特征值 λ = 1 必须对应两个线性无关的特征向 量,因为 λ = −1 只能对应一个特征向量,由于 −1 0 1 −1 0 1 R y x 0 = R 0 0 y + x 于是 y = −x 即可 1 0 −1 0 0 0 3. 设 λ1 , λ2 为 n 阶矩阵 A 的特征值,且 λ1 ̸= λ2 , 而 ξ1 , ξ2 是对应的特征向量,证明 ξ1 + ξ2 一定不是
对应于同一特征值的不同特征向量的非零线性组合是 A 的特征向量。 证明由本节第 3 题可知属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量,而属于同一特征值的不同特征 向量满足
Aξ1 = λξ1 , Aξ2 = λξ2 , 于是 A(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) = k1 Aξ1 + k2 Aξ2 = λ(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) 由定义命题得证 11.λ ̸= 0 是矩阵 A 的特征值,求 A−1 , A⋆ 的特征值。
5 1. 设 A = −1 2 2 −1 −2 −2 −1 2 2
第五章练习题
(1) 求矩阵 A 的特征值 (2) 求矩阵 E + A 的特征值 −1 − λ 2 −2 2 −2 −1 − λ = (λ +5)(λ − 1)2 , 于是特征值为 λ1 = −5, λ2 = λ3 = 1
A 的特征向量
解:反证若否,则 A(ξ1 + ξ2 ) = λ(ξ1 + ξ2 ), 注意到
(λ1 − λ)ξ1 + (λ2 − λ)ξ2 = 0 由于 ξ1 , ξ2 线性无关,因此 λ1 = λ = λ2 与题设矛盾 4. 设 A 为正交矩阵,且 |A| = −1, 证明:A 有一个特征值为 λ = −1
证明:
(1)Ai 的特征值有且仅有 1 和 0; (2) Ai 对应于特征值 1 的特征向量是 Aj 的对应于特征值 0 的特征向量; (3) 若 α1 , α2 , α3 依次是 A1 , A2 , A3 的对应于特征值 1 的特征向量,则向量组 α1 , α2 , α3 线性无关.
2 证明;(1) 若 λ 是矩阵 Ai 的特征值,则 Ai ξ = λξ , 又 A2 i ξ = λ ξ , 于是 λ(λ − 1) = 0 即特征值是 0 或 1
12. 设 A 为 n 阶方阵,P 为 n 阶可逆矩阵,且 AP = P A 证明 (1) 若 ξ 是 A 的特征向量,则 P ξ 也是 A 的特征向量;
(2) A 有 n 个不同的特征值,若 ξ 是 A 的
特征向量,则 ξ 也是 P 的
特征向量。
证明:(1) 因为存在非零向量 ξ 使得 Aξ = λξ 那么 P Aξ = λP ξ 而 P Aξ = AP ξ 于是 A(P ξ ) = λ(P ξ ), 注意到向量 P ξ ̸= 0, 所以 P ξ 也是 A 的一个特征向量
我们考虑上述线性方程组的系数矩阵 (α1 , α1 ) (α1 , α2 ) 0 0 (α1 , α2 ) (α2 , α2 ) 0 0 0 0 (α3 , α3 ) (α3 , α4 ) 0 0 (α3 , α4 ) (α4 , α4 )

(α1 , α1 ) (α1 , α2 ) (α3 , α3 ) (α3 , α4 ) 注意到其行列式 D = · (α1 , α2 ) (α2 , α2 ) (α3 , α4 ) (α4 , α4 ) ( ) ( ) D = ∥α1 ∥2 ∥α2 ∥2 − (α1 , α2 )2 · ∥α3 ∥2 ∥α4 ∥2 − (α3 , α4 )2
由 Cauchy 不等式可知 (α, β ) ≤ ∥α∥∥β ∥, 而等式成立的充分必要条件是 α 与 β 线性相关,因此 D > 0 于是上述线性方程组仅有零解,即
kj = 0(j = 1, 2, 3, 4) 14. 设 n 阶方阵 A 满足 A2 − 2A − 15E = 0,证明 A 的特征值只能是 −3 或 5。
解; (1) 特征多项式为
2 −1 − λ 2
(2) 注意到 (A + E )ξ = Aξ + ξ = (λ + 1)ξ , 于是 A + E 的特征值为 λ1 = −4, λ2 = λ3 = 2 0 0 1 2. 设 A = x 1 y 有三个线性无关的特征向量,求 x 和 y 应满足的条件 1 0 0 −λ 0 1 y = −(1 − λ)2 (λ + 1) x 1−λ 1
1
若 Ai 有非零和 1 的特征值 λ,由于 λ2 − λ = 0, 故有且仅有 0 和 1 为特征值
(2) 若 Aj ξ = ξ, 那么 Ai (Aj ξ ) = Ai ξi , 即 Ai ξ = 0ξ (3) 反证,若三个向量线性相关不妨设 α3 = k1 α1 + k2 α2
那么 A3 α3 = k1 A3 α1 + k2 A3 α2 , 由 (2) 知 A3 αj = 0(j = 1, 2) 那么 α3 = 0 与特征向量的定义矛盾 2 0 0 2 0 0 与 B = 6. 已知矩阵 A = 0 0 y 0 0 1 0 0 −1 0 1 x P −1 AP = B
相似,求 x 与 y 的值,并求可逆矩阵 P 使得
解:由于矩阵相似有相同的特征多项式于是 2−λ 0 0 2−λ 0 0 = 0 y−λ 0 0 −λ 1 0 0 −1 − λ 0 1 x−λ 通过比较 λ 的同次幂的系数,得 x = 0, y = 1, 而矩阵 B 的特征值为 2, 1, −1 将这些特征值分别代入方 程
求矩阵 A. 解设对应于特征值 λ2 = λ3 = 1 的特征向量为 ξ = (x1 , x2 , x3 )T , 于是 0 = [ξ1 , ξ ] = x2 + x3 = 0, 那么相
T T 应的特征向量为 ξ2 = (1, 0, 0) , ξ3 = (0, 1, − 1) , 那么 Aξj = λj ξj , 即 −1 , 那么 A(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) 1
R(A) = r 相应于 0 的特征向量的个数为 n( − r 个, 相应于 1 的特征向量为 r 个 ) E O r ∆ =Λ 那么存在可逆矩阵 P 使得 P −1 AP = O O |A − 2E | = |P ΛP −1 − 2E = |P ΛP −1 − 2P P −1 | = |P (Λ − 2E )P −1 | = |P ||Λ − 2E ||P −1 | [ ] −Er O O −2En−r = | − Er || − 2En−r | = (−1)n 2n−r 10. 设 α1 , α2 是矩阵 A 的对应于不同特征值 λ1 , λ2 的特征向量,证明 α1 + α2 不是 A 的特征向量,但
A = (ξ1 ξ2 ξ3 ) 1 = 0 0 0
−1 1 1 0

1
(ξ1 ξ2 ξ3 )−1
0 −1 −1 0
9. 设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A2 = A, 且 R(A) = r, 求行列式 |A − 2E | 的值
解: 注意到若 ξ 是 A 的特征向量,则 Aξ = λξ, A2 ξ = λ2 ξ 于是 A 的特征值只能是 0 或者 1,由于
(2) 注意到 A 有 n 个不同特征值,于是属于每个特征值的特征子空间是一维的,因此若 Aξ = λξ , 注意
到 A(P ξ ) = λ(P ξ ), 于是 P ξ 也是属于特征值 λ 的特征向量,于是与特征向量 ξ 线性相关,即 P ξ = kξ
13. 设 α1 , α2 , α3 , α4 是 n 维列向量,已知 α1 , α2 线性无关,α3 , α4 线性无关且 (α1 , α3 ) = (α1 , α4 ) = (α2 , α3 ) = (α2 , α4 ) = 0 证明 α1 , α2 , α3 , α4 线性无关。
−1 P
2
(2)|B | = −(4 · 6 · 12) = −288
注意到 B = A3 − 5A2 = (A − 5E )A2 , |B | = |A − 5E | · |A|2 , |A| = −2, 于是
|A − 5E | =
|B | |A|2
= −72
8. 设 A 是三阶实对称矩阵 λ1 = −1, λ2 = λ3 = 1 是其特征值,对应于 λ1 的特征向量为 ξ1 = (0, 1, 1)T
证明:设 k1 α1 + k2 α2 + k3 α3 + k4 α4 = 0 那么 k1 ∥α1 ∥2 + k2 (α1 , α2 ) = 0
k1 (α1 , α2 ) + k2 ∥α2 ∥2 = 0 k3 ∥α3 ∥2 + k4 (α3 , α4 ) = 0 k3 (α3 , α4 ) + k4 ∥α4 ∥2 = 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解:n = R(BA) ≤ R(A) ≤ n 于是 R(A) = n
4
又 R(AT A) = R(A) 于是 R(AT A) = n
16. 设 A 是三阶方阵,且 |A − E | = |A + 2E | = |2A + 3E | = 0, 求 |2A∗ − 3E |
∗ 解:由于 A 是三阶矩阵,注意到 A 的特征值分别为 1, − 3 2 , −2, 而矩阵 2A − 3E 的特征值为 2|A| λ
(A − λE )X = 0, 得特征向量为 ξ1 = (1, 0, 0)T , ξ2 = (0, 1, 1)T , ξ3 = (0, 1, −1)T 于是所求的矩阵为 P = (ξ1 ξ2 ξ3 ), 容易验证 P −1 AP = B 7. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1, −1, 2,设矩阵 B = A3 − 5A2 , 求 (1) 矩阵 B 的特征值及其相似标准形; (2) 行列式 |B | 及 |A − 5E |
证明:设 A 的特征值为 λ 于是 Aη = λη (η ̸= 0), 那么 (λ2 − 2λ − 15)η = 0, 只有 λ2 − 2λ − 15 = 0, 该一元二次方程仅有两个根为 λ1 = −3, λ2 = 5
15. 对于矩阵 Am×n 如果存在 n × m 矩阵 B,使得 BA = E , 求矩阵 AT A 的秩。
1 证明:因为存在非零向量 ξ 使得 Aξ = λξ , 于是 A−1 (Aξ ) = A−1 (λξ ), 即 A−1 ξ = λ ξ, 即 1 λ
是 A−1 的特
征值,又
3
A∗ Aξ = λA∗ ξ 于是 |A|ξ = λA∗ ξ , 那么 A∗ ξ =
|A| λ ξ

|A| λ
是 A∗ 的特征值
解 (1) 因为 P 使得 A 有三个互异的特征值,故存在可逆矩阵 1 P −1 AP = −1 2 2 3 1 1 1 −1 2 −1 3 −1 P ,A = P P ,A = P P 于是 A = P −1 −1 −1 2 2 2 1 5 −4 −1 −1 3 2 P − P P = P 那么 B = A − 5A = P −1 5 −6 8 20 −12 −4 于是 P −1 BP = −6 −12 那么 B 的特征值为 −4, −6, −12
相关文档
最新文档