一元二次方程根的分布练习及答案

一元二次方程根的分布
一.一元二次方程根的基本分布零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一兀二次方程 2 ax bx c 0 ( a 0)的两个实根为x1, x2，且x1x2。

b2 4ac 0
【定理11 x10,X2 0 （两个正根） b ，
X1 X2 -0
a
c
X1X2 - 0
a
b2 4ac 0 b 2 4ac 0
推论：x10 ,X
2
0 a 0 或 a 0
f(0) c 0 f(0) c 0
b 0 b 0
上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】若一元二次方程（m 1）x2 2（m 1）x m 0有两个正根，求m的取值范
围。

分析：依题意有
2
4(m 1) 4m(m 1)
2(m 1)
m 1
0< m
<1。

b2 4ac
【定理21
% 0, X2 0 X1 X2 b a
NX
2-0 a
b2 4ac 0 推论：X1 0,x20 a 0 或
f(0) c 0
b 0
由二次函数图象易知它的正确性。

【例21若一元二次方程kx2 3kx k 3 0的两根都是负数，求k的
取值范围。

(k 12或k>3)
5
0，
2
b 4a
c 0 a 0
f(0) c 0
b 0
0 0
X i
0 0
c X 2 r
<o
la
X i
0 b k
2a
k
0 b k
2a
b
X 2
X 2 X
2
2
X i
b 2 b 2 二•一元二次方程的非零分布一一k 分布
设一元二次方程 ax 2 bx c 0 ( a 0)的两实根为x 1, x 2，且x 1 x 2。

k 为常 数。

则一元二次方程
根的 k 分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理。

c 【定理3】x 1 0 x 2
- 0 a
【例3】k 在何范围内取值，一元二次方程 kx 2 3kx k 3 0有一个正根和一个负 根 【例4】若一元二次方程kx 2 (2k 1)x k 3 0有一根为零，则另一根是正根还
是负根
分析：由已知k — 3=0,「. k =3,代入原方程得 3x 2 +5x =0，另一根为负。

K
0且-
a
【定理1】k 【定理2] x 1
分析：依题意有
k 3 <0=>0<k <3
k
【定理4]
4ac 0
af(k) 4ac 0 af (k)
【定理 3】x 1 k x 2 af(k) 0。

\
、
$
A
f(k i ) 0
f(k 1)
f (k 2) 0 或 f(k 2)
f(pj
0 f (P 1)
【定理5】 k 1 x-i k 2
p 1 x 2 p 2
0 0 0
推论 1 x 1 0 x 2 ac 0。

推论 2 x 1 1 x 2
a (a b
c) 0。

f(P2)0 g)
b24ac 0 b24ac 0
a 0 a 0
【定理6】k1 x1 x2k2 f (k1) 0 或f(kj 0
f (k2) 0 f(k2)0
k1 b
k
2
2a
k1
b
k
2
2a
此定理可直接由定理4推出，请读者自
证。

三、例题与练习
【例5】已知方程x 1 2
11x m 2 0的两实根都大于 1，求 ( 129) (12 m -
4
(2) 若 元— 一次万程
mx (m 1)x 3
0的两个实根都大于
-1，求m 的取值范围。

(m
2或 m 5 2.6 )
(3) 若 元- 一次方程 mx 2 (m 1)x
3 0的两实根都小于
2，求m 的取值范围。

(m
1
或m 2
5 2.
6 )
【例6] 已知方程: x 2 2mx 2m 2 3 0有一根大于2,另 一根比2小，求m 的取值
范围。

(
1
m
1 -)
2
2
(2) 已知方程x 2
(m 2)x 2m 1
0有 一实根在 0和1 之间，求m 的取值范围。

(丄 m -)
2 3
1 若方程有两根，其中一根在区间 (一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m 的范围.
2 若方程两根均在区间(0, 1)内，求m 的范围.
本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所 具有的意义.
技巧与方法：设出二次方程对应的函数， 可画出相应的示意图， 然后用函数性质加以限 制.
解：(1)条件说明抛物线f(x)=x 2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间(—1, 0)和(1, 2)内, 画出示意图，得
m 的取值范围。

(3)已知方程 x 2 (m 2)x 2m 1
0的较大实根在0和1之间，求实数m 的取值范围。

式：改为较小实根 (不可能;
(4)若方程x 2
(k 2)x (5)若方程x 2
(k k 1
2)
2)x 2k 1
1 2
0的两实根均在区间(
1、1 )内，求k 的取值范围。

(丄k 2 (6)已知关于x 的方程(m 求k 的取值范围。

0的两根中, 2
-)
3
1)x 2 2mx
一根在 0和1之间，另一根在1和2之间,
0 1 ，求m 的取值范围。

【例7】已知关于x 的二次方程 (3 x 2+2mx+2m+1=0.
m 6 0的两根为 7 或 2 m .7)
且满足
令 f (x) = x 2+12x +6a +3
(1)若抛物线y = f(x)与x 轴相切，有△ =144 — 4(6 a +3)=0即a =H
2
将a = H 代入式②有x =— 6不满足式①，••• a 丰11。

2 2
(2)若抛物线y = f(x)与x 轴相交，注意到其对称轴 为x =— 6，故交点的横坐标有且仅有一个满
足式 ①的充要条件
f ( 20)' f(0) 0 ...当 163
6
另法：原方程等价于
问题转化为：求实数a 的取值范围，使直线y =8x —
2
6a — 3与抛物线 y = x +20X (x <— 20或x >0)有且只有 一个公共点。

虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且 只有一个公共点却不明显，可将③变形为
X 2+12X +3= — 6a (x < — 20或x >0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物
2
m
f (0) 2m 1 0,
m f( 1) 2 0, f (1) 4m 2 0, m
f (2) 6m 5
m
1 2
R,
1 2 5 6
(2)据抛物线与x 轴交点落在区间 (0,1)内，列不等式组
f(0) 0,
f(1) 0,
0, 0 m 1
m 1 练习：
1
2， 1 2，
.2或m 1
2,
0.
(这里 0<— m<1是因为对称轴 x=— m 应在区间(0， 1)内通过)
1. 若方程 4x (m 3)?2x m 提示：令2x =t 转化为关于t 的一
2
2.
若关于x 的方程lg(x 范围。

0有两个不相同的实根，求 m 的取值范围。

次方程有两个不同的正实根。

答案：
0有唯一的实根， 元二 20x) lg(8x
6a 3) 0<m <1
求实数a 的取值
提示：原方程等价于 2 x 2
x
20x
20或 x 0 20x 8x 6a
12x 6a 3
……① 0……②
是 0解得
线y=x +12x+3和直线y =—6a，如图，显然当3< —6a
163 1
w 163即 a 时直线y = —6a与抛物线有且只有一个公共点。

6 2
3. 已知f(x)=(x —a)(x —b)—
2(a<b),并且，是方程f(x)=o 的两根(< ), 则实数a，b，、的大小关系是()
A、<a <b<
B、a< < <b C a < <b < D 、
<a< <b
2
4. 方程f(x)=ax bx c =0(a>0)的两个根都大于1的充要条件是()
A、△> 0 且f (1)>0
a
B、f (1)>0 且一一>2
b
□ a c
C △> 0 且——>2, >1
b a
□上a
D、△>0 且f(1)>o,——>2。

b
163 1
a
6 2
1 、
时原方程有唯一解。

2
2
x +20x =8 x —6a —3( x<—20 或。