《投资组合优化》PPT课件

L w
Vwp
e
0
Remark：L 第 E一r~个p 等w式Tpe 实 0际上可以展开n个
L
1
wPT
0
投资组合优化的数学表述
其中，0是三维零向量。由于V是正定矩阵，因此上述一阶条件也是全局优 化的充分必要条件。
由上述方程可得
wp V 1e V 1
E
r~p
eTV 1e
投资组合有效前沿
for i=1:101; [wp(:,i),varp(i)]=meanvar(e,V,rp(i)); end sigmap=varp.^(0.5); plot(sigmap, rp,'co'); out.rp=rp; out.varp=varp; out.wp=wp; out.total=[rp';varp';wp];
w1 0
1
w1 0
w2
0
Aw
0
1
w2
0
w3 0
1 w3 0
1
A
1
1
0
b
0
0
投资组合优化如何用表示成二次优化函数
Aeq x beq
wT
e
E r~p
1
Aeqw •
beq
e1
wT 1
1 e2
1 e3
w1 w2 w3
第十二章 投资组合优化
Outline
矩阵求导简介 优化知识 允许卖空情况下的投资组合优化 不允许卖空情况下的投资组合优化
矩阵求导的有关知识
数对向量求一阶导
假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值为标量
定义n阶向量的一阶导数如下：
f X f其(中x1, x1,
Syms s t V=[s;t] f=[t^2*log(s);s^3*log(2+t)] dfdx=jacobian(f,V)
假如
例子
X
x1 x2
f X f (x1, x2) 2x1 3x1x2
f
f X
x1 f
2
3x2 3x1
x2
2 f f X 0 3
E
1 rp
对应于如下两个约束条件
1 1 1
Aeq
e1
e2
e3
1
beq E rp
不允许卖空时投资组合优化
function out=shortmeanvar(price) %purpose:给定N个资产价格矩阵，根据Mean-variance
模型确定投资权重 %输入:N种资产,M个观测值的价格矩阵,N*M矩阵 %输出：每支资产的权重组成的列向量wp [N,M]=size(price); logprice=100*log(price); % 2. 将原始价格数据转化为对数数据，并进一步转化
允许卖空时投资组合权重图
不允许卖空时投资组合优化
投资组合优化的数学表述
给定收益情况下风险最小化
风险采用方差来衡量
目标函数 min1/ 2wTVw
约束条件1 约束条件2
w
wT e
E r~p
约束条件3 wT 1
采用数值算法求0解 wi
二次规划的一般形式
min1/ 2xT Hx f T x
, xn )
f Remark：scalar-value1d function of a vector，又称梯度
f
f
2
X
fi
f xi
f
n
数对向量求二阶导
假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值为标量
定义n阶向量的二阶导数如下：
f X f其(中x1, x2,
投资组合有效前沿
% 2. 将原始价格数据转化为对数数据，并进一步转化为收益率数据 logreturn=zeros(N-1,M); for j=1:M; logreturn(:,j)= logprice(2: end,j) - logprice(1: end-1,j); end % 3. 求解收益率数据的均值向量与方差协方差矩阵 e=mean(logreturn,1)';%对应41页中公式(3.8.1) e V=cov(logreturn);%对应41页中公式(3.8.1) V rp=linspace(min(e),max(e),101)'; varp=zeros(101,1); wp=zeros(M,101);
益
问题1
给定预期收益时，最小化风险
目标函数为二次型
约束为线性约束
min1/ 2wTVw
当当不限允制许了卖某空个时资， 产投资份额，给w定T投we资权重E的上r~p下界
wT 1
0 wi 1
Li wi Ui
问题2
给定风险时，最大化收益 目标函数为线性
约束为非线性约束和线性约束
1I )
A(V
1e)
h
1 D
C(V
1e)
A(V
1I )
wp
g
hE
r~p
2 p
wTpVwp
允许卖空情况下的权重求解
function [wp,varp]=meanvar(e,V,rp) %. 求解投资组合权重 %输入：e每个资产的预期收益率组成的收益率列向量 %输入：V 收益率的方差协方差矩阵 %输入：rp为投资组合的预期回报率 %输出: wp为投资组合权重，列向量 %输出: varp为投资组合的方差
给定收益情况下风险最小化
风险采用方差来衡量
目标函数
约束条件1
min1/ 2wTVw
w
约束条件2
wT
e
E r~p
wT 1
投资组合优化
其中，w 为N支股票权重的列向量，e表示N支股票的N维 期望收益率向量，I为N维单位向量，V为投资组合的方差协 方差矩阵,以三维为例
w1
w
w2
w3
允许卖空情况下的权重求解
M=length(e); I=ones(M,1); A=I'*inv(V)*e; B=e'*inv(V)*e; C=I'*inv(V)*I; D=B*C-A^2; g=(B*(inv(V)*I)-A*(inv(V)*e))/D; h=(C*(inv(V)*e)-A*(inv(V)*I))/D; wp=g+h*rp; varp=wp'*V*wp;
向量对向量求一阶导数
假设X为列向量，存在函数f(X)，其自变量为向量，因变量取值也为向量
f1 X
f
X
f2
X
f(X)的一阶导数 如fm下 X：
x1
X
x2
xn
f11 f12
f
f21
f22
X
fm1
fm2
f1n
f
2n
fij
fi x j
fmn
Matlab实现
s.t. Ax b Aeqx beq lb x ub
Matlab的函数形式 其>>中xH=,qAu, aAdeqp为ro矩g阵(H，,ff,A,b,,bb,eAq,elbq,,uBbe和qx)为列向量
投资组合优化如何用Matlab二次优化函数
Matlab的函数形式 x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,Beq) 以三个资产为例 H=V; f=zeros(M,1)=(0 0 0)’，x=w
X X
X
3
0
向量对向量求一阶导数
假设X为列向量，A为方阵
AX A X
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
X AX A A X
X
如果A为对称阵则
a1m
a2m
amm
x1
X
x2
xm
X AX 2AX X
优化与投资组合理论
总结
数对列向量求导仍为列向量
eTV 1
1 TV 1e TV 1
投资组合优化的数学表述
由上述方程可得，拉格朗日乘子
CE r~p
A
D
B
A
Er~p
D
投资组合优化的数学表述
由上述方程可求投资组合权重
A TV 1e eTV 1 B eTV 1e 对应的C方差TV 1 D BC A2
g
1 D
B(V
为收益率数据 logreturn=diff(logprice);
不允许卖空时投资组合优化
% 3. 求解收益率数据的均值向量与方差协方差矩阵 e=mean(logreturn,1)';%对应41页中公式(3.8.1) e,此时e为列向量 V=cov(logreturn);%对应41页中公式(3.8.1) V rp=linspace(min(e),max(e),101)'; for i=1:101; [wp(:,i),fval(i)]=quadprog(V,zeros(M,1),-
f
f X
x1 f
2
3x2 3x1
x2
2 f f X 0 3
X X
X
3
0
Matlab实现
Syms x1 x2 X=[x1 x2] F=2*x1+3*x1*x2 Dfdx=[diff(F,x1);diff(F,x2)] g1=jacobian(Dfdx,X)
投资组合有效前沿
xlabel('标准差'); % x轴注解 ylabel('收益率'); % y轴注解 title(‘允许卖空条件下的投资组合前沿'); % 图形标题
允许卖空时投资组合的有效前沿
>>load ma_port.mat; >>out=graphmeanvar([SH GH ZS])
X AX A A X中
X X AX 为标量
列向X量为对列列向量向，量求导为矩阵
A A X 也为列向量
AX A中AX为列向量，X为列向量，则A为矩阵 X
主要内容
问题1：给定预期收益，最小化风险 问题2：给定风险，最大化预期收益 问题3：不考虑预期收益，最小化风
险 问题4：不考虑风险，最大化预期收
e1
e
e2
e3
1 1 1
1
2 1
V
12
1
2
13
1
3
12
1
2
2 2
23 2 3
131 3
23 2 3
2 3
投资组合优化
目标函数
1 2 wVw w1
w2
w3
2 1
21
12
2 2
13 23
w1 w2
31
32
2 3
w3
约束w12条12件1w22
2 2
w32
不允许卖空时投资组合的有效前
>>load ma_port.mat;
沿
>>out=shortmeanvar([SH GH ZS])
不允许卖空时投资组合权重图
允许卖空时与不允许卖空时的比 较
总结
采用矩阵形式会使表达式非常简洁，但在优化时会涉及到矩阵求导的知 识
矩阵求导主要包括数对向量求导，向量对向量求导 数对向量求导为向量，向量对向量求导为矩阵 允许卖空条件下的投资组合优化 不允许卖空条件下的投资优化
max wT e
w
wTVw
2 p
wT 1
问题3
不考虑预期收益，最小化风险 目标函数为二次型 约束为线性约束
min1/ 2wTVw
w
wT 1
问题4
不考虑风险，最大化收益 目标函数为线性 约束为线性约束
max wT e
w
wT 1
允许卖空时投资组合优化
投资组合优化的数学表述
eye(M,M),zeros(M,1),[ones(1,M);e'],[1;rp(i)]); end
不允许卖空时投资组合优化
sigmap=sqrt(2*fval); plot(sigmap, rp,'co'); out.rp=rp; out.wp=wp; xlabel('标准差'); % x轴注解 ylabel('收益率'); % y轴注解 title(‘不允许卖空条件下的投资组合前沿'); % 图形标题
投资组合有效前沿
function out=graphmeanvar(price) %purpose:给定N个资产价格矩阵，根据Mean-variance模型确定投资权重，
参考教材《金融经济学基础》 黄奇辅 %输入:N种资产,M个观测值的价格矩阵,N*M矩阵 %输出：每支资产的权重组成的列向量wp [N,M]=size(price); logprice=100*log(price);
, xn )
f f f Remark：scalar1-v1alued fu1n2ction of a vecto1rn，又称海赛矩阵，n*n方阵
2 f
f21
f22
X X
f2n
fij
f xix j
fn1
fn2
fnn
假如
例子
X
x1 x2
f X f (x1, x2) 2x1 3x1x2
2 3
2w1
w212
2w1
w313
2w2 w3
23
wT e约束条w1件2w2
w3
e1
e2
e3
w1e1
w2e2
w3e3
Eபைடு நூலகம்
r~p
1
wT w1 w2 w3 1 1
1
投资组合优化的数学表述
第一步，写出矩阵形式的拉格朗日函数
mw.第i.n 二L 步 1，/ 2求w解TV一w阶 条(E件rp wT e) 1 wT