浅析极限思想的产生与发展9(1)
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极限思想是一种重要的数学思想，是辩证法在数学中的完美体现。本文阐述了对极限思想的辩证理解，阐述了通过极限这一工具，如何从有限认识了无限，从对事物的近似认识到精确认识，从事物的多样性变化中认识了统一性的变化，在直与曲的对立中认识了统一。
【关键词】极限思想；发展；辩证法；辩证统一
The emergence and development of the limit idea
近年来，关于极限思想的研究越来越多，目前国内外的许多专家学者在这一领域做了大量的工作，如白淑珍的《对极限思想的辩证理解》，阐述了极限思想是有限与无限、过程与结果、量变与质变的对立统一。郑承民的《 极限思想的演变及其应用》阐述了极限运算是微积分运算的基础。蒋峰，蒋永红《极限思想中认知层次探析》阐述了极限思想的认知过程和在教学中的渗透过程。
【Abstract】limit thought is an important mathematical idea.It is formed through a long historical process. It is from ancient infancy to the furtherdevelopment with the creation and application of calculus in the middle ages. It forms a complete system limit theory with the further close of calculus which is after the eighteenth century. The process is filled with many sweats and the struggle footprints of mathematicians and philosophers. The development process of limit thought fully reflects the human search for truth and the precious spirit which is in pursuit of innovation. The development process of limit thought also fully reflects strong desire to understand the word and transform the world.
Hale Waihona Puke Baidu3.3极限概念的本质4
4极限思想的辩证理解4
4.1有限与无限的辩证统一4
4.2量变与质变的辩证统一5
4.3多样性与统一性的辩证统一5
4.4直与曲的辩证统一5
结论6
参考文献6
致谢7
极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，其中著名的古希腊哲学家芝诺，提出了一个悖论，那就是运动不存在，从经验上来看，这个悖论的结论是荒谬的，但是由于当时人们的认识有限，特别是对极限缺乏认识，使得这个悖论当时没有人能够给出正确的解释，这也是人们第一次闯进极限这个领域。17世纪，牛顿和莱布尼茨分别创立了微积分，微积分的理论基础是极限论。此时极限概念虽然被提出来了，但是缺乏严格的定义。为了解决微积分存在的缺陷，在十八至十九世纪，数学家们寻求解决的办法。其中，柯西做出了开创性的工作，比较系统的阐述了极限理论。但是，柯西给出的极限定义仍是描述性语言，缺乏严密性。例如：要多小就有多小、无限趋近等描述性词语仍被使用。最后，维尔斯特拉斯把极限定义代数化，实现了彻底的严密化。
3.3极限思想的本质
在现代数学中，求极限是最常见的问题。不管是求数列的极限，还是求函数的极限，方法有很多。有按照极限的定义求解极限的，有按照极限的运算法则求解极限的，有按照极限的等价定义来求解极限的等等。但是不管用什么方法求解极限，却是殊途同归的，最终都会回归到极限的本质。这也体现了极限中多样性与统一性的辩证统一关系。极限的本质，就是两个无穷逼近过程。而这两个无穷逼近过程，是紧密联系的，维尔斯特拉斯已经用代数的语言深刻的说明了这种联系。首先是自变量的无穷逼近，这是一个前提，是先决条件，在指明了自变量的变化趋势之后，我们要研究的就是因变量的变化趋势，也就是因变量的无穷逼近过程。归根到底，极限就是研究无穷逼近的过程，其中一个变量的无穷逼近导致了另一个变量的无穷逼近，而我们着重研究的就是因变量的无穷逼近。
【KeyWords】limit thought；development；dialectics；dialecticalunity
1引言1
2极限思想的发展分期1
2.1极限思想的萌芽时期1
2.2极限思想的发展时期2
2.3极限思想的完善时期2
3极限思想的本质探索3
3.1有限运算的规律不能用于无限运算3
3.2极限概念的代数化3
题 目：
浅析极限思想的产生与发展
学 院：
数学与信息科学学院
专 业：
数学与应用数学
班 级：
2011级1班
姓 名：
季满
学 号：
20110501005
指导教师：
曹志军
2015
年
5
月
20
日
浅析极限思想的产生和发展
【摘要】极限思想是一种重要的数学思想，这个理论的完善历经几个世纪。由远古的萌芽时期，到中世纪后随着微积分的创立和应用得到进一步发展，再到18世纪后随着微积分的严密化极限思想达到成熟，形成完善系统的极限理论，这期间布满了众多数学家和哲学家辛勤的汗水和孜孜追求的奋斗足迹。极限思想的发展历程，充分体现了人类探索真理、追求创新的宝贵精神，充分体现了人类认识世界和改造世界的强烈愿望。
2.1极限思想的萌芽时期
极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，以中国古代的祖冲之、刘徽，古希腊的芝诺等为代表。古希腊著名哲学家芝诺提出了四个著名的悖论。其中一个悖论是：运动不存在。假设物体从 点运动到 点，它要想到达 点处，就必须先到达 的中点处，而要想到达中点处，就必须先到达四分之一处，如此下去，无穷无尽，运动的物体永远也跑不动，所以运动不存在。悖论本身的逻辑没有错，但是却违反了常理。要想澄清这个悖论，需要极限、连续等概念。古代的中国，刘徽发明的割圆术也是极限思想的应用，割圆术的要旨就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。祖冲之继承并发展了刘徽的割圆术，求得了圆周率的上下限。这些研究成果，都体现着极限这种思想。
本文追溯了极限思想发展的历史过程，并撷取一些非常典型的例子来探究极限思想的发展过程。通过研究极限思想的演变过程，更加深刻的理解了它的本质，，更加清晰的阐述了对它的辩证理解。
2极限思想的发展分期
微积分的理论基础是极限论，而极限理论的形成不是一蹴而就的，人们经历了漫长的认识过程。大体可以分为三个时期：由远古的萌芽时期、到中世纪后随着微积分的建立极限思想进一步发展、再到18世纪后微积分的严格化促使极限思想达到完善化。
2.3极限思想的完善时期
极限思想的完善与微积分的严格化是密切联系的。19世纪，柯西给出了极限一个定义，但他只是定性的描述了什么是极限，而没有进行定量地刻画。定义为，如果某变量无限趋近于一常数，并和这个常数的差越来越小，这个常数就是极限值。定义存在的缺陷就是，无限趋近，越来越小等词语给人以直观想象的感觉，没有明确的标准来说明，缺乏严密性，因此不能用于数学命题的证明。例如，数列 的极限是 ，假如说 也是该数列的极限，那么我们就无法用这个极限的定义来否定它。所以，柯西的极限定义需要精确化。这一任务，留给了下一个伟大的德国数学家维尔斯特拉斯。维尔斯特拉斯把这种描述代数化，给出了完善化的极限定义。他给出的极限定义是， 当 时，总有 ，就说 是数列 的极限。与柯西的定义不同的是，他只用了“任意”和“存在”等词语，就是这种词语的改变，却使极限理论实现了彻底的完善化，给微积分提供了严格的理论基础。实际上，柯西与维尔斯特拉斯给出的极限定义，在基本精神上，他们是一致的，只不过，后者的定义更加的精确。维尔斯特拉斯不仅定性的描述了极限，而且也定量地刻画了极限。
无穷级数求和？
如果这样加括号求和得：
如果这样加括号求和得：
如果，在展式： 中令 得到和为
通过这个例子，可以看到同一级数，按照有限运算的法则去求，却得到不同的结果。实际上，由级数收敛的必要条件，我们知道这个级数是发散的。出现这个问题的根本原因，就是我们仍用有限运算的思维方式来理解无限过程，而极限却很好的解决了这一问题。极限是我们从认识有限到认识无限的一个极其重要的桥梁。究竟什么是极限？这一最根本的问题，起初在几个世纪内，数学家们只是给出一些直观性的语言描述，没有给出严格化的定义。直到维尔斯特拉斯，提出把极限概念代数化，才实现了极限定义彻底的严格化。
3极限思想的本质探索
极限思想的产生和发展，为我们认识无限世界提供了有力的工具。19世纪是分析学严密化的时代，极限概念使之代数化，让我们知道极限过程包含自变量无穷逼近和因变量无穷逼近两个过程。极限概念代数化后，我们可以深刻的理解了无穷小量，即极限值为零的量。
3.1
有限运算的规律不能简单的用于无限运算。例如：
Limit thought is an important mathematical idea. Dialectics is displayed perfectly in the mathematics.The paper describes the dialectical understanding about limit thought. We recognize theinfinitefrom limited thought and the accurate understanding from approximate understanding through the limit thought. We recognizethe unity changes from diversity changes and recognize straight and curved unity from the opposition.
3.2
19世纪是分析学严密化的时代，在这一时代，维尔斯特拉斯把极限概念代数化，为我们了解无限世界提供了有力的工具，也为分析学奠定了严格的基础。他给的极限定义是： 当 时，总有 ，就说 是数列 的极限。在这个极限定义中， 与 到底有多接近，给出了一个确定的评判标准，那就是用 来衡量。 越小，说明越接近。这个定义中说 是任意的，当 任意小时，就是 无限趋近于 。虽然 具有任意性，但是一经给出，就确定了，相应的也就能求出 。 是为了确定数列从哪一项开始，之后的所有项都符合要求，也就是 趋近于无穷大，也就是无限趋近。极限概念的代数化，使我们更好的挖掘到了它的本质。
2.2极限思想的发展时期
微积分的建立促进了极限思想的进一步发展。17世纪，出现了大量的新问题，例如：求曲线的切线、函数的极值、物体运动的瞬时速度等。牛顿在研究物体的运动时，创立了微积分，微积分算法的论证基础是无限小量。牛顿首创了用 表示 的无限小且最终趋于零的增量，这实际上就是初步的无穷小量定义，并且把无限小增量作为《分析学》的基本概念。但是牛顿过度依赖无限小量并且随意忽略无限小量，引起了人们的争议。为此，他创建了一种新方法，叫“首末比方法”,用现代的话说，就是：求自变量与因变量变化之比的极限。牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》中也有等价的表述，量以及量之比，若在很小的时间间隔内相互接近且其差可小于任意给定的正量，则最终相等。这可以说是给出的最早的极限定义。莱布尼茨极限思想的运用，则是对曲线的切线、面积、体积等问题的研究，是对几何问题的思考。他继承并发展了巴罗、帕斯卡的特征三角形的方法，提出了自己的特征三角形，极大的推广了这个方法。特征三角形需要曲线的法线，而法线依赖于切线。切线是纵坐标之差与横坐标之差变成无穷小时的比。但是由于两者都对无穷小量认识不够深刻，导致微积分理论是不严格的。虽然人们当时未能解决微积分的理论基础，但是18世纪的数学家们以过人的胆识和魄力，用微积分解决了很多现实问题，开创了很多新的数学分支。微积分的严格化，极限理论的完善，随着历史的脚步，带到了下一个世纪。
【关键词】极限思想；发展；辩证法；辩证统一
The emergence and development of the limit idea
近年来，关于极限思想的研究越来越多，目前国内外的许多专家学者在这一领域做了大量的工作，如白淑珍的《对极限思想的辩证理解》，阐述了极限思想是有限与无限、过程与结果、量变与质变的对立统一。郑承民的《 极限思想的演变及其应用》阐述了极限运算是微积分运算的基础。蒋峰，蒋永红《极限思想中认知层次探析》阐述了极限思想的认知过程和在教学中的渗透过程。
【Abstract】limit thought is an important mathematical idea.It is formed through a long historical process. It is from ancient infancy to the furtherdevelopment with the creation and application of calculus in the middle ages. It forms a complete system limit theory with the further close of calculus which is after the eighteenth century. The process is filled with many sweats and the struggle footprints of mathematicians and philosophers. The development process of limit thought fully reflects the human search for truth and the precious spirit which is in pursuit of innovation. The development process of limit thought also fully reflects strong desire to understand the word and transform the world.
Hale Waihona Puke Baidu3.3极限概念的本质4
4极限思想的辩证理解4
4.1有限与无限的辩证统一4
4.2量变与质变的辩证统一5
4.3多样性与统一性的辩证统一5
4.4直与曲的辩证统一5
结论6
参考文献6
致谢7
极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，其中著名的古希腊哲学家芝诺，提出了一个悖论，那就是运动不存在，从经验上来看，这个悖论的结论是荒谬的，但是由于当时人们的认识有限，特别是对极限缺乏认识，使得这个悖论当时没有人能够给出正确的解释，这也是人们第一次闯进极限这个领域。17世纪，牛顿和莱布尼茨分别创立了微积分，微积分的理论基础是极限论。此时极限概念虽然被提出来了，但是缺乏严格的定义。为了解决微积分存在的缺陷，在十八至十九世纪，数学家们寻求解决的办法。其中，柯西做出了开创性的工作，比较系统的阐述了极限理论。但是，柯西给出的极限定义仍是描述性语言，缺乏严密性。例如：要多小就有多小、无限趋近等描述性词语仍被使用。最后，维尔斯特拉斯把极限定义代数化，实现了彻底的严密化。
3.3极限思想的本质
在现代数学中，求极限是最常见的问题。不管是求数列的极限，还是求函数的极限，方法有很多。有按照极限的定义求解极限的，有按照极限的运算法则求解极限的，有按照极限的等价定义来求解极限的等等。但是不管用什么方法求解极限，却是殊途同归的，最终都会回归到极限的本质。这也体现了极限中多样性与统一性的辩证统一关系。极限的本质，就是两个无穷逼近过程。而这两个无穷逼近过程，是紧密联系的，维尔斯特拉斯已经用代数的语言深刻的说明了这种联系。首先是自变量的无穷逼近，这是一个前提，是先决条件，在指明了自变量的变化趋势之后，我们要研究的就是因变量的变化趋势，也就是因变量的无穷逼近过程。归根到底，极限就是研究无穷逼近的过程，其中一个变量的无穷逼近导致了另一个变量的无穷逼近，而我们着重研究的就是因变量的无穷逼近。
【KeyWords】limit thought；development；dialectics；dialecticalunity
1引言1
2极限思想的发展分期1
2.1极限思想的萌芽时期1
2.2极限思想的发展时期2
2.3极限思想的完善时期2
3极限思想的本质探索3
3.1有限运算的规律不能用于无限运算3
3.2极限概念的代数化3
题 目：
浅析极限思想的产生与发展
学 院：
数学与信息科学学院
专 业：
数学与应用数学
班 级：
2011级1班
姓 名：
季满
学 号：
20110501005
指导教师：
曹志军
2015
年
5
月
20
日
浅析极限思想的产生和发展
【摘要】极限思想是一种重要的数学思想，这个理论的完善历经几个世纪。由远古的萌芽时期，到中世纪后随着微积分的创立和应用得到进一步发展，再到18世纪后随着微积分的严密化极限思想达到成熟，形成完善系统的极限理论，这期间布满了众多数学家和哲学家辛勤的汗水和孜孜追求的奋斗足迹。极限思想的发展历程，充分体现了人类探索真理、追求创新的宝贵精神，充分体现了人类认识世界和改造世界的强烈愿望。
2.1极限思想的萌芽时期
极限思想的萌芽时期可以追溯到2000多年前，以中国古代的祖冲之、刘徽，古希腊的芝诺等为代表。古希腊著名哲学家芝诺提出了四个著名的悖论。其中一个悖论是：运动不存在。假设物体从 点运动到 点，它要想到达 点处，就必须先到达 的中点处，而要想到达中点处，就必须先到达四分之一处，如此下去，无穷无尽，运动的物体永远也跑不动，所以运动不存在。悖论本身的逻辑没有错，但是却违反了常理。要想澄清这个悖论，需要极限、连续等概念。古代的中国，刘徽发明的割圆术也是极限思想的应用，割圆术的要旨就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。祖冲之继承并发展了刘徽的割圆术，求得了圆周率的上下限。这些研究成果，都体现着极限这种思想。
本文追溯了极限思想发展的历史过程，并撷取一些非常典型的例子来探究极限思想的发展过程。通过研究极限思想的演变过程，更加深刻的理解了它的本质，，更加清晰的阐述了对它的辩证理解。
2极限思想的发展分期
微积分的理论基础是极限论，而极限理论的形成不是一蹴而就的，人们经历了漫长的认识过程。大体可以分为三个时期：由远古的萌芽时期、到中世纪后随着微积分的建立极限思想进一步发展、再到18世纪后微积分的严格化促使极限思想达到完善化。
2.3极限思想的完善时期
极限思想的完善与微积分的严格化是密切联系的。19世纪，柯西给出了极限一个定义，但他只是定性的描述了什么是极限，而没有进行定量地刻画。定义为，如果某变量无限趋近于一常数，并和这个常数的差越来越小，这个常数就是极限值。定义存在的缺陷就是，无限趋近，越来越小等词语给人以直观想象的感觉，没有明确的标准来说明，缺乏严密性，因此不能用于数学命题的证明。例如，数列 的极限是 ，假如说 也是该数列的极限，那么我们就无法用这个极限的定义来否定它。所以，柯西的极限定义需要精确化。这一任务，留给了下一个伟大的德国数学家维尔斯特拉斯。维尔斯特拉斯把这种描述代数化，给出了完善化的极限定义。他给出的极限定义是， 当 时，总有 ，就说 是数列 的极限。与柯西的定义不同的是，他只用了“任意”和“存在”等词语，就是这种词语的改变，却使极限理论实现了彻底的完善化，给微积分提供了严格的理论基础。实际上，柯西与维尔斯特拉斯给出的极限定义，在基本精神上，他们是一致的，只不过，后者的定义更加的精确。维尔斯特拉斯不仅定性的描述了极限，而且也定量地刻画了极限。
无穷级数求和？
如果这样加括号求和得：
如果这样加括号求和得：
如果，在展式： 中令 得到和为
通过这个例子，可以看到同一级数，按照有限运算的法则去求，却得到不同的结果。实际上，由级数收敛的必要条件，我们知道这个级数是发散的。出现这个问题的根本原因，就是我们仍用有限运算的思维方式来理解无限过程，而极限却很好的解决了这一问题。极限是我们从认识有限到认识无限的一个极其重要的桥梁。究竟什么是极限？这一最根本的问题，起初在几个世纪内，数学家们只是给出一些直观性的语言描述，没有给出严格化的定义。直到维尔斯特拉斯，提出把极限概念代数化，才实现了极限定义彻底的严格化。
3极限思想的本质探索
极限思想的产生和发展，为我们认识无限世界提供了有力的工具。19世纪是分析学严密化的时代，极限概念使之代数化，让我们知道极限过程包含自变量无穷逼近和因变量无穷逼近两个过程。极限概念代数化后，我们可以深刻的理解了无穷小量，即极限值为零的量。
3.1
有限运算的规律不能简单的用于无限运算。例如：
Limit thought is an important mathematical idea. Dialectics is displayed perfectly in the mathematics.The paper describes the dialectical understanding about limit thought. We recognize theinfinitefrom limited thought and the accurate understanding from approximate understanding through the limit thought. We recognizethe unity changes from diversity changes and recognize straight and curved unity from the opposition.
3.2
19世纪是分析学严密化的时代，在这一时代，维尔斯特拉斯把极限概念代数化，为我们了解无限世界提供了有力的工具，也为分析学奠定了严格的基础。他给的极限定义是： 当 时，总有 ，就说 是数列 的极限。在这个极限定义中， 与 到底有多接近，给出了一个确定的评判标准，那就是用 来衡量。 越小，说明越接近。这个定义中说 是任意的，当 任意小时，就是 无限趋近于 。虽然 具有任意性，但是一经给出，就确定了，相应的也就能求出 。 是为了确定数列从哪一项开始，之后的所有项都符合要求，也就是 趋近于无穷大，也就是无限趋近。极限概念的代数化，使我们更好的挖掘到了它的本质。
2.2极限思想的发展时期
微积分的建立促进了极限思想的进一步发展。17世纪，出现了大量的新问题，例如：求曲线的切线、函数的极值、物体运动的瞬时速度等。牛顿在研究物体的运动时，创立了微积分，微积分算法的论证基础是无限小量。牛顿首创了用 表示 的无限小且最终趋于零的增量，这实际上就是初步的无穷小量定义，并且把无限小增量作为《分析学》的基本概念。但是牛顿过度依赖无限小量并且随意忽略无限小量，引起了人们的争议。为此，他创建了一种新方法，叫“首末比方法”,用现代的话说，就是：求自变量与因变量变化之比的极限。牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》中也有等价的表述，量以及量之比，若在很小的时间间隔内相互接近且其差可小于任意给定的正量，则最终相等。这可以说是给出的最早的极限定义。莱布尼茨极限思想的运用，则是对曲线的切线、面积、体积等问题的研究，是对几何问题的思考。他继承并发展了巴罗、帕斯卡的特征三角形的方法，提出了自己的特征三角形，极大的推广了这个方法。特征三角形需要曲线的法线，而法线依赖于切线。切线是纵坐标之差与横坐标之差变成无穷小时的比。但是由于两者都对无穷小量认识不够深刻，导致微积分理论是不严格的。虽然人们当时未能解决微积分的理论基础，但是18世纪的数学家们以过人的胆识和魄力，用微积分解决了很多现实问题，开创了很多新的数学分支。微积分的严格化，极限理论的完善，随着历史的脚步，带到了下一个世纪。