传染病的随机感染模型

传染病的随机感染模型

问题提出

人群中有病人（带菌者）和健康人（易感染者），任何两人之间的接触是随机的，当健康人和病人接触时健康人是否被感染也是随机的。如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律，那么怎么样估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？

模型假设

我们不对传染病的感染机理和人群的接触状况做具体分析，而提出如下的一般化假设：

1. 人群只分析任何健康人两类，病人数和健康人数分别记为i 和s，总数n不变，即：

i+s=n

2. 人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同的概率，每人每天平均与m人接触。

3. 当健康人与一病人接触是，健康人被感染的概率为λ。

这里涉及到4个独立参数n、i、m、λ。其中n和i通常是知道的，m和λ也可以根据数据或经验获得。

模型分析

建模的目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数n、i、m、λ的关系，为此显然只需知道一健康人每天被感染的概率，而健康人只要至少被一名病人接触并感染，这个健康人即被感染，所以先要求出一健康人被一名指定病人接触并感染的概率。这个概率可

由一健康人被一名指定病人接触的概率乘以接触时感染的概率得到。 模型构成

记假设2中任何两人接触的概率为p ，这就是一健康人与一名指定病人接触的概率。由两两接触的相互独立性，一健康人每天接触的人数服从二项分布，根据假设2这个分布的平均值是m ，利用二项分布的基本性质并注意到人群总数为n ，我们有

p n m )1(-= （1） 于是 1

-=n m p （2） 再记一健康人被一名指定病人接触并感染的概率为1p ，则由假设3及

（2）式得 11-==n m

p p λλ （3）

为求出一健康人每天被感染的概率(也就是至少被一个病人感染的概率)2p ，我们利用概率论中常用的计算对立事件概率的方法得 i i n m

p p )11(1)1(112---=--=λ （4） 健康人被感染 的人数也服从二项分布，其平均值μ，即健康人每天平均被感染人数，显然为(并利用（1）式)

22)(p i n p s --=μ

（5）

均方差σ为 ))(1()1(2222i n p p p sp --=-=σ （6）

为了得到简明的便于解释的结果，需对（4）式进行简化。因为

通常1,>>>>n m n ，取（4）式右端展开级数的前两项， n mi n mi p λλ≈+-

-=)1(12Λ （7）

最后得到 n i n mi )(-=

λμ （8）

)()(122i n mi mi n p i n p --=--=λλμσ （9）

（8）式给出了健康人每天平均被感染人数μ和n 、i 、m 、λ的关系，（9）式可看作对平均值μ的相对误差的度量。

模型解释

由（8）式可以看出，健康人每天平均被感染的人数μ与人群中每人每天平均接触的人数m 以及接触时被感染的概率λ成正比，并且随着人群总数n 增加而增加，这都符合常识的。至于μ与病人数i 的关系，（8）式表明当i 很小或很大（甚至接近n ）时μ都很小，而当2n i =时μ最大，这个结果合理吗？思考！

为了有一个直观的了解，给出几组数字结果。设1.0,20==λm ，对于不同的i ，计算μ和μσ/，见下表：

i 与μ、μσ/的计算结果

随着i的增加，μ增加而相对误差μ

σ/减少；当

n 固定而n变大时，μ

σ/

也减少。比如当i=0.05n, n=10000时能以95%的置信区间给出，每天平均被感染的人数为950，相对误差约为6%左右。

评注

这个模型完全建立在对于人群之间的接触、感染这样一些随机事件的概率假设的基础上，虽然看来这些假设与实际情况有差异，但是在对传染病的传染没有掌握进一步的规律和数据之前，只能作最初步的简化假设，已达到我们的建模目的。

（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）