无应力状态法在钢绞线斜拉索中的应用(苑仁安)

无应力状态法在钢绞线斜拉索中的应用
苑仁安
（西南交通大学土木工程学院，四川 成都 610031） 摘 要：根据悬链线索元理论所建立的拉索无应力索长与张力之间的关系式，结合无应力状态法理论，建立 了求解单根钢绞线张力 T 的非线性方程组。

采用基于 MATLAB 程序的最速下降法迭代思想，得到该方程 组的数值解。

最后利用此张力值对钢绞线的安装挂设过程进行了验算，验算结果证明了基于无应力状态法 理论所确定的单根钢绞线张拉力的可靠性。

关键词：悬链线索元；无应力索长；无应力状态法理论；非线性方程组
The Application of Unstressed State Method on Strands Stay Cable
Yuan Renan (School of Civil Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,Sichuan)
Abstract：In this paper, based on the relationship between the unstressed cable length according to the Theory of Catenary Element and the cable tension, the system of nonlinear equations for the tension of single strand is established using Unstressed State Method. The solution of the system of equations is obtained with the Method of Steepest Decent by MATLAB.Finally, the solution is used to check the process of strand installation by stimulating calculation.Checking results show the reliability of the cable tension based on the Unstressed State Method. Keywords：catenary element;unstressed cable length;unstressed state method; the system of nonlinear equations
引 言
斜拉索是斜拉桥的主要组成构件， 是斜拉桥结构中传力的生命线， 目前大多斜拉桥采用 平行钢绞线斜拉索。

由于该拉索单根挂索单根张拉，若拉索内部钢绞线应力不均匀，则会导 致钢绞线逐根破坏，其后果是结构的寿命与安全得不到保证。

文献[10,11,12]分别才用了“等值 张拉法” 、 “倒退分析法”和“正装分析法”确定单根拉索中每根钢绞线的张拉力。

无应力状态法是秦顺全院士提出的一种解决桥梁结构分阶段施工的控制方法 [1,2,3,4,5]。

1992 年在全国桥梁结构学术会议上正式发表了第一篇文章，2003 年在《桥梁建设》发表了 论文“斜拉桥无应力状态控制法”，2007 年出版了专著《桥梁施工控制—无应力状态法理论 与实践》 。

无应力状态法理论不仅适用于所有结构形式和施工方法的分阶段施工桥梁，而且 可以运用到其它方面。

本文针对单根拉索中不同钢绞线的张拉力控制问题， 利用无应力状态 法理论加以解决。

无应力状态法理论在斜拉索安装计算中， 采用拉索的无应力状态量来确定结构中间状态 拉索的张力值。

在实际的施工过程中， 斜拉索的张拉分为初张和调整， 初张以张拉力来控制， 调整根据无应力索长差来控制。

对于挂设初张拉如何利用无应力状态法理论来确保拉索中钢 绞线应力的均匀性，以便提高斜拉桥整体的寿命与结构的安全，是本文探讨的主题。

收稿日期： 基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金（2010ZT01）资助项目 作者简介：苑仁安(1987-)，男，硕士研究生，2006 年毕业于长沙理工大学土木工程专业，工学学士。

研究方向：大跨 度桥梁施工控制理论，E-mail: yuanrenan@


1 分析思路
本文主要针对钢绞线斜拉索挂设施工中，已知整根拉索的张力 T，如何确定出单根钢绞 线的张拉力。

根据无应力状态控制法原理一[1,3,4]：一定的外荷载、结构体系、支撑边界条件、 单元的无应力状态量组成的结构， 其对应的结构内力和位移是唯一的， 与结构的形成过程无 关。

因此，只要确保每根钢绞线的无应力长度与挂设完成后的整股拉索的无应力长度一致， 就可以保证拉索中所有的钢绞线的应力达到均匀且总张力等于整根拉索索力。

步骤为： （1）通过编写基于悬链线理论的 Matlab 程序，确定在施工温度 t 的环境中，某斜拉索 总张拉力 T 对应的无应力长度 S0。

（2） 逐根安装钢绞线使每根钢绞线张拉完成后的无应力长度 Si 与 S0 一致， 根据该等价 关系，求出每根钢绞线的张拉力 Ti。

现代斜拉桥随着跨度的增加， 拉索的长度不断增大， 由相关文献知： 斜拉索长度的增加， 导致斜拉索垂度非线性的影响增大， 此时用忽略高次项影响的抛物线理论计算斜拉索 （钢绞 [6] 线）的无应力长度，会带来一定的误差 。

故本文采用悬链线理论确定拉索（钢绞线）的无 应力索长 S0。

2 悬链线索元平衡方程建立
y
H hj
Vj
H sj
h
H hi H si Vi
q

l
lh
xs
xh
ls
x
图 1 空间索元示意图 图 1 所示的拉索为空间状态，xs 表示顺桥方向、xh 表示横桥方向，x 是拉索在桥面上的投 影方向，空间中的拉索转换成平面状态，如图 2 所示。

其变换的几何、力学关系为
ur u u r  x  x i  x i  i si xs hi xh ur u u r  x  x i  x i  j sj xs hj xh 
（1）
 H  H s 2  H h2    tan   H h / H s
（2）
2.1 基本假定
如图 2 所示的拉索（钢绞线）悬链线示意图，在分析计算中采用如下假定： （1）索是理 想柔性的，只能承受拉力，而不能受压和抗弯； （2）索的材料性质符合胡克定律，且始终处 于弹性工作阶段； （3）除两端锚固端外，索只受沿索长均匀分布的垂直向下的自重荷载，且 为常量； （4）不考虑索横截面在变形前后的变化； （5）索的张力 T 沿悬链线的切线方向。

y
Vj
Tj Hj
Vt 
dVt dx
dx
j( x j , y j )
Ht 
dH t dx
dx
dy
h
q
Hi Ti
q
Ht
i ( xi , yi )
Vi
dx
Vt
l
x
图 2 拉索平面示意图 图 3 微单元体的平衡
2.2 无应力索长和张力关系的建立
在图 2 中，支点 i、j 的坐标分别为(xi , yi)、(xj , yj)，拉索抗拉刚度为 EA、每延米自重 q， 索端跨长为 l、高差为 h。

拉索所受的荷载为轴向拉力和沿全长的均布自重，故拉索在塔壁内 侧锚固点和锚拉板的锚固点之间的线形为悬链线。

取出悬链线微段如图 3 所示， 建立力学平 衡方程，即： dH t   H t  dx  dx  H t  0  1 (3)  2  H t  dy  Vt  dx  q  ds   0 2  dVt  Vt  dx  dx  Vt  qds  0  式中， ds 为拉索（钢绞线）索元的微段， Vt 为索张力 T 的竖直分力，与 y 方向一致为正；
H t 为索张力 T 的水平分力，与 x 方向一致为正。

有式（3）第一式可知水平力 H 是常量，
忽略  ds  高次项，由近似等价关系 ds 2  dx2  dy 2 与拉索两支点的几何边界条件，得出支
2
点 i、j 之间的悬链线索形方程为：
y  yi  
式中：  
2 ( x  xi ) H [cos h( )  cos h(   )] q l
（4）
h ql ，  ar sinh( )   。

水平力 H 是由索张力 T 确定的，H、V 和 T 2H l  sinh(  )
H  T / 1  ( y ) 2
三者的关系为:
， V  H  y
（5）
据文献[7]拉索（钢绞线）无应力索长 s0 计算式为:
s0  s  s  h2  [(l sinh  ) /  ]2 
ql 2 coth  h [1  (sinh 2   2( ) 2 )] 4EA  l
（6）
3 钢绞线张拉力 T 的确定
3.1 PE 外套管的影响
由以上表达式知， 对于不变的无应力索长 s0， 钢绞线所承担均布荷载 q 的变化会影响拉


索的张力 T。

无应力状态法理论也阐述了只要不主动张拉钢绞线，即不主动人为地拔出或放 松钢绞线的长度，其无应力长度是不会发生变化的。

而外荷载的变化会引起张拉力的变化， 且实际中 PE 外套管的自重远大于单根钢绞线的自重，因此 PE 外套管的自重对钢绞线张力 的影响须考虑。

本文假设 PE 外套管的自重由所有已安装的钢绞线来承担，在逐根张拉过程 中，每根钢绞线所分担的 PE 外套管的重量是变化的。

设 PE 外套管每延米的自重为 wp，张 拉第 i 根钢绞线时假设单根钢绞线承担的 PE 外套管重量为 wi。

具体为： （1）张拉第 1 根钢绞线时，PE 外套管的重量全部有本根钢绞线来承担，即 w1  （2） 张拉第 2 根钢绞线， 第 2 根钢绞线会分担第 1 根钢绞线的承载重量， 即 w2  以此类推第 i 根钢绞线挂设张拉时，每根钢绞线考虑 PE 外套管的自重为 wi 
wp 1 wp 2。

。

wp i。

3.2 单根钢绞线的张拉力的确定
一般梁、塔横向变位、纵向变位与拉索两端张拉力 T 的水平分力 H、竖直分力 V 呈线 xhL 和 xsT 、xhT ， 性关系，并取 H、V 为单位力时，梁、塔顺桥向、横桥向变位为 xs L 、 yT 。

斜拉索张拉过程的模型如图 4 所示。

纵向变位为 y L 、
索塔
（ x j,y j）
主梁
（xi ,yi）
图 4 钢绞线斜拉索张拉模型 设拉索由 N 根钢绞线构成，所有钢绞线张拉完成后总张拉力为 T。

考虑实际施工操作， xhT 为 0。

钢绞线一端 钢绞线一般在桥塔两侧成对挂设，忽略主梁的横桥向变形，即xhL、 固结在主梁上，另一端固结在主塔上，且在塔处张拉。

根据无应力状态控制原理一：一定的外荷载、结构体系、支撑边界条件、单元的无应力 状态量组成的结构，其对应的结构内力和位移是唯一的，与结构的形成过程无关。

钢绞线的 挂设可以看作分阶段施工，在一定外荷载（PE 外套管和钢绞线自重） 、一定边界条件（两端 锚固）的情况下，只要确保分阶段施工中钢绞线无应力索长和 i 根钢绞线一次挂设的一致， 则这两种状态下的钢绞线的张拉力相同。

因此，确定第 i 根钢绞线的张拉力 Ti，认为 i 根钢 T 绞线同时挂设，求解 i 根钢绞线的总张力 T，则第 i 根钢绞线张力 Ti  。

此时拉索梁端总
i
水平分力 H si 、 H hi 、总竖直分力 Vi ，塔端的总水平分力与梁端一致，总竖直分力为 V j 。

未挂设钢绞线时，令梁、塔坐标为 ( xsi , xhi , yi ) 、 ( xsj , xhj , y j ) ，挂设 i 根钢绞线后，拉
  ，即： 索两锚固点变化后坐标为（ xsi , xhi , yi ） 、 （x j s , xhj , jy ）


 y   y  V  y i i L  i  y   y  V  y j j T  j   xsi  xsi  H i cos   xsL     xsj  xsj  H i cos   xsT
则 li  ( xsj  xsi )2  ( xhj  xhi )2 ， hi  y j  yi 代入 i ,  i 并取 x= xi 、 x j ，结合式（5）得：
（7）
（8）
以 i 根钢绞线安装挂设完成后为平衡状态进行分析，将式（7）代入式（4） 、 （6） ，式（8）
 2 (li sinh i ) 2 qi li 2 coth i h ]  [1  (sinh 2 i  2( i i )2 )]  S0  0  hi  [ i 4 EAi i li   F ( H i ,Vi ,V j )   H i  sinh(2i  i )  V j  0  （9）   H  sinh(   )  V  0 i i  i 式中 A  iA0 ， qi  iq  w , i  qi li ，  i  ar sinh( hi  i )  i 其中 A0 是单根钢绞 li  sinh( i ) 2Hi
线的截面积，q 是单根钢绞线的均布自重。

分析：已知整根拉索的无应力长度 s0，i 根钢绞线总水平分力 Hi、总竖直分力 Vi、Vj 与拉索 投影平面的 θ 角为未知的。

其中 βi、αi 等参数均与 Hi、Vi、Vj 相关，故须迭代计算。

步骤为： （1）  初 取 为 i 根 钢 绞 线 挂 设 前 ， 投 影 平 面 内 的 横 桥 向 与 顺 桥 向 的 比 值 ， 即
  ar tan
x jh  xih x js  xis。

（2） 进一步得到式（9） ，该方程组为非线性方程组，根据方程组的特征，采用最速下降算 法迭代求解。

利用 MATLAB 编写该算法迭代程序，迭代求解出 Hi、Vi、Vj 代入以上各 式。

求解出变形后的两锚固点的坐标，代入到步骤（1）中，直到  满足一定精度， 求出 i 根钢绞线的总张力 T，根据 Ti  线的张力值均以此分析求解。

T 得到第 i 根钢绞线的张力值。

同理其它钢绞 i
4 算例
武汉某大桥正桥采用三塔结合梁斜拉桥，桥跨布置为 90+160+2× 616+160+90m。

斜拉索 采用平行钢绞线拉索体系， 全桥共计 132 对斜拉索， 有 7 种规格， 分别为 37φ15.2 、 43φ15.2、 48φ15.2 、55φ15.2 、61φ15.2、73φ15.2 和 79φ15.2。

以中跨 22 号斜拉索为例进行计算，其 参 数 为 ： 钢 绞 线 弹 性 模 量 2.1e11pa ， 整 索 初 张 拉 力 270 吨 ， 单 根 钢 绞 线 的 面 积 为 1.3744467e-4m2，PE 外套管均重 57N/m，单根钢绞线的均重为 12.38N/m,塔处拉索锚点坐标 为 (2.256m,10.8m,210.44m), 梁处锚点坐标为（ -282.899m,0.8m,60.322m） ，在初张力 T=270t 的作用下，主梁梁端变形量为（0.031m,0m,0.576m）,考虑实际施工操作，塔端变形可忽略。

首先确定出整索的无应力索长 S0 和水平分力 H 等，利用 Matlab 软件进行数值求解，其 过程为： （ 1 ） 联 立 式 (4) 、 (5) 求 出 水 平 力 H ， 代 入 式 (6) 确 定 整 索 的 无 应 力 索 长 S0 为


321.9162190539m。

继而求出整索在梁端（i 端）的水平分力 Hsi、Hhi 竖直分力 Vi，根据 Hsi、 Hhi、Vi 可以确定出，单位水平力、竖直力作用下梁的横向变位 xsL 、xhL 和竖向变位 y L 。

（ 2 ）迭代求解单根钢绞线的张拉力。

中跨 22 号斜拉索第 1 根钢绞线的张力为 100945.2604N，逐根钢绞线的张力值如图 5 所示。

x 10
4
12
10
8
6
4
2
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
图 5 单根钢绞线的张力值 为验证该计算方法的准确性和有效性，运用 Matlab 编制了模拟钢绞线安装过程的计算 程序，以上节确定的张拉力逐根安装钢绞线。

经计算，待斜拉索中所有钢绞线挂设完成后， 79 根钢绞线的张力值均为 34177.2152N， 恰为整根拉索张力的 1/79。

该验算结果表明了无应 力状态法确定钢绞线张拉力的可靠性，同时也说明了本文计算公式和编制程序的正确性。

5 结语
本文采用基于悬链线理论所建立的拉索无应力长度与张力之间的关系式， 结合无应力状 态法理论，解决了已知整索初张力的条件下，如何精确确定单根钢绞线张拉力的问题。

并利 用本文方法求解的张力值对钢绞线的安装挂设过程进行了验算， 验算结果证明了该方法的可 靠性。

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