三角形四心的向量表示

点拨：由 得出
OP OA ( AB AC)
AP ( AB AC)
由平行四边形法则和共线定理可得AP一定 经过△ABC的重心。
变式1、已知P是平面上一定点，A,B,C是平面上不 共线的三个点，点O满足
则O点一定是△ABC的（C） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 点拨：由 PO 1 PA PB PC 得出
结论2、动点P满足
OP OA (
AB AB cos B

AC AC cosC
) [0， )
P点的轨迹经过△ABC的垂心
例4、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线 的三个点,(a,,b,c是△ABC的A,B,C所对的三边)点O 满足 aOA bOB cOC 0
（4）点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点， → → → → → → 满足OA· OB＝OB· OC＝OC· OA， 则点 O 是△ABC 的
垂 心.
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例1、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不 共线的三个点，动点P满足 OP OA ( AB AC) 则P点的轨迹一定通过△ABC的（ C） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
AB OC.
同理： BC OA, CA OB.
垂心
课后作业
1.习题2.5.2 2.预习章末小结
点拨：由已知等式可知 AP ( 在等式的两边同时乘以 即 BC AP (
AB BC AB cos B

BC
AC BC AC cos C ) ( BC BC ) 0
AP BC
故点P的轨迹一定通过△ABC的垂心。D
变式3、已知O是平面上一点，A,B,C是平面上不共 线的三个点，点O满足 则O点一定是△ABC的（ D） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
( AB AB AC AC ) BC 0
B直角三角形 D等边三角形 可知 BAC 的平分线垂
AB AC 1 ) 直对边BC，故△ABC为等腰三角形；从 ( 2 AB AC
1 可知cosA= ，所以 A =60°， 2
故△ABC为等边三角形。
四心逐个突破
例6、已知O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线 的三个点,点O满足
OP OA (
AB AB sin B

AC AC sin C
) [0， )
点拨：在△ABC中，由正弦定理有 AB sin B AC sin C 令 t AB sin B AC sin C
则 OP OA ( AB AC) [0， ) t t
点拨： OA OB OB OC 同理可得
OA OB OB OC OC OA
OA OB-OB OC 0 OA-OC OB 0


CB OA AB OC
CA OB 0 CA OB
垂心的向量表示
结论1：O是△ABC的垂心的充要条件是
OA OB OB OC OC OA
AP


t
( AB AC )
由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过 △ABC的重心。 C
例2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共 线的三个点，动点P满足
OB OC AB AC OP ( ) [0， ) 2 AB cos B AC cosC
或
OA OB OC
2
2
2
结论2：△ABC所在平面一定点O，动点P满足
OB OC AB AC OP ( ) [0， ) 2 AB cos B AC cosC
P点轨迹经过△ABC的外心
例3、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共 线的三个点，动点P满足
OP OA (
D
垂心
例7、已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:
| OA |2 | BC |2 | OB |2 | CA |2 | OC |2 | AB |2 .
问：O是△ABC的____心。
证：设 OA a, OB b, OC c, 则: BC c b, CA a b, AB b a.
AB AC BA BC CA AC OA OB OC 0 AB AC BA BC CA CB
则O点一定是△ABC的（ B ） A 外心 B 内心 C 重心
2.5.2 平面向量应用举例
平面几何中的常用向量结论
→ → 在平行四边形 ABCD 中，AB＝a，AD＝b，先用 a，b → → 表示向量AC和DB，当 a，b 分别满足什么条件时， 四边形 ABCD 为矩形、菱形、正方形？
D
C
A
B
三角形四心的向量表示
外
（1） 若 O 是△ABC 所在平面上一点，且满足 OA OB OC ， 则点 O 是△ABC 的 心;
则O点一定是△ABC的（ B ） A 外心 B 内心 C 重心 点拨：由已知条件可得 D 垂心
aOA b OA+ AB c OA+ AC 0 (a b c)OA bAB c AC 同理可得 (a b c)OB bBA cBC
则O点一定是△ABC的内心
1 PO PA PB PC 3


3PO PA PB PC PO PA PO PB PO PC 0 AO BO CO 0
故O是△ABC的重心。
3

变式2、已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不 共线的三个点，动点P满足 AB AC OP OA ( ) [0， ) AB sin B AC sin C 则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
AB AB cos B

AC AC cosC
) [0， )
则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
OP OA (
AB AB cos B

AC AC cosC
AB AB cos B
) [0， )
AC AC cosC ) [0， )
由题设 :| OA |2 | BC |2 | OB |2 | CA |2 | OC |2 | AB |2 .
化简：a (c b)2 b (a c)2 c (b a)2
2 2 2
得: c b a c b a
从而
A O B C
AB OC (b a ) c b c a c 0,
(a b c)OC bCA cCB

例5、已知非零向量 AB 与 AC 满足 (
AB AC 1 ) 且( 2 AB AC
AB AB

AC AC
) BC 0
，则△ABC为（
D）
A 三边均不相等的三角形 C等腰非等边三角形 点拨：从
则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
DP (
AB AB cos B

AC AC cosC
) [0， )
点拨：取BC的中点D，则 OD OB OC 2
由已知条件可得 DP ( 又因为 BC DP ( 所以
AB BC AB cos B
AB AB cos B


AC AC cosC
) [0， )
AC BC AC cos C
) (- BC + BC ) 0
BC DP
所以DP是BC的垂直平分线，所以P点的轨迹一定经过 △ABC的外心。 A
外心的向量表示 结论1：O是三角形的外心
OA OB OC
→ → → （2）若 G 是△ABC 所在平面上一点，且满足GA＋GB＋GC＝ 0 , 则点 G 是 ABC 的
重
心;
三角形四心的向量表示
（3） .已知 O 是平面内一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点， → → AB AC → ＝OA → ＋λ ＋ 动点 P 满足OP → (λ∈[0，＋∞))， → |AB| |AC| 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的 内 心；