中考数学专题复习有理数

1有理数知识网络结构图

重点题型总结及应用

题型一绝对值

理解绝对值的意义及性质是难点，由于|a|表示的是表示数a的点到原点的距离，因此|a|≥0．可运用|a|的非负性进行求解或判断某些字母的取值．

例1 如果a与3互为相反数，那么|a +2|等于( )

A．5 B．1 C．－1 D．－5

例2 若(a－1)2+|b+2|＝0，则a+ b＝ .

规律

若几个非负数的和为0，则这几个数分别为0．

题型二有理数的运算

有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础．要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注意运算顺序及运算律的应用．

例3 (－1)2 011的相反数是( )

A．1 B．－1 C．2 011 D．－2 011

例4 计算：(1)

2⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-⨯+⨯÷

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭121

1(-8)-9-1

452

；

(2)⎡⎤

⎛⎫⎡⎤--⨯⨯

⎪

⎢⎥⎣⎦⎝⎭

⎣⎦

2

1

110.52-(-3)

3

．

题型三运用运算律简化运算过程

运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数(如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以简化运算过程．

例5 计算下列各题．

(1)21－49．5+10．2－2－3．5+19；

(2)

⎛⎫⎛⎫

---++--

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭11372

223 23483

；

(3)

2

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

÷-++-⨯

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭3 111131

21121324-

42434(-0.2)

；

(4)32323

⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭3351914321251943252．

点拨 (1)正、负数分别结合相加；(2)分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；(3)除法转化为乘法，正向应用乘法分配律；(4)逆向应用分配律a (b +c )＝ab +ac ，即ab +ac ＝a (b +c )．

题型四 利用特殊规律解有关分数的计算题

根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的．

例6 计算下列各题．

(1)--+-5231591736342

； (2)⎛⎫⎛⎫--⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3173

1559595952127

77；

(3)++++++++

111111111

2612203042567290

(4)+++++++1111111…248165121 024 2 048

. .

题型五有理数运算的应用

用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多．做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算．例7有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1．2，－0．8，2．3，1．7，－1．5，－2．7，2，－0．2，则这8箱橘子的总重量是多少?

题型六探索数字规律

找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目灵活多变．解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并运用规律解决问题．

例9 某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2．5小时后，这种细菌可分裂为( )

A．8个B．16个C．32个D. 64个

例10 观察图1－6－2，寻找规律，在“?”处应填上的数字是

( )

A．128 B．136

C．162 D．188

思想方法归纳

本章中所体现的数学思想方法主要有：

1．数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描述有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数及其运算的重要工具．这种把数与形(图形或数轴)结合起来进行研究的思想方法，是学习数学的重要思想方法．

2．分类讨论思想：a与－a哪个大呢? a的绝对值等于什么?在本章中，我们都是通过

分类讨论解决问题，分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方法．不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求．例如，我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类，如果遗漏了零，只考虑正有理数和负有理数两种情况，就会犯错误．

3．转化思想：有理数的加法是通过符号法则转化为绝对值(小学所学的数)的加减法进行的；有理数的减法是通过转化为加法进行的；有理数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的．

1．数形结合思想

数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决．

例1 |a |＞|b |，a ＞0，b ＜O ，把a 、b 、－a 、－b 按由小到大的顺序排列．

例2 有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图l －6－4所示，则必

有( )

A ．a + b ＞0

B ．a － b ＜o

C ．a b ＞0

D .

a

b

＜0 2．分类讨论思想

例3 比较2 a 与－2 a 的大小．

3．转化思想

例4 计算：l 3+23+33+43+…+993+1003

的值．

4．用“赋值法”解题

在做选择题和填空题时，问题的结论如果运用法则、定义等推导，有些题容易，而有些题很复杂，对于那些推导过程比较复杂的题目可采取“赋值法”，这样就能又快又准地得出结论．

例5 m －n 的相反数是( )

A ．－( m + n )

B ．m + n

C ．m － n

D ．－( m － n ) 例6 如果a ＞0，b ＜0，|a |＞| b |，那么a + b 0，a － b 0．(填“＞”或“＜”)

例7 若

x y x y +-中的x ，y 都扩大到原来的5倍，则x y

x y

+-的值( ) A ．缩小， B ．不变 C . 扩大到原来的5倍 D ．缩小到原来的15

中考热点聚焦

考点1 相反数、倒数、绝对值的概念

考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题．解决这类问