PDE课件——数学物理方程1资料
变分不等式 pde
变分不等式pde摘要：1.变分不等式的概念及意义2.变分不等式的基本原理3.变分不等式的应用领域4.偏微分方程（PDE）与变分不等式的关系5.变分不等式在实际问题中的解决方案6.总结与展望正文：变分不等式是一种数学工具，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
它的核心思想是通过最小化一个泛函来求解某个问题。
在这个基础上，我们可以得到一个优化问题，进而找到问题的解。
本文将介绍变分不等式的基本概念、原理及其在实际问题中的应用。
一、变分不等式的概念及意义变分不等式源于泛函分析，它通过求解一个泛函的最小值来解决对应的问题。
给定一个函数f(x)，我们可以通过求解以下最优化问题来找到最小值：minimize J(x) = f(x) + λg(x)其中，λ为拉格朗日乘子，g(x)为约束条件。
当满足某些条件时，这个问题有一个唯一的解，这个解被称为变分不等式的解。
二、变分不等式的基本原理求解变分不等式的问题可以分为以下几个步骤：1.构建泛函：根据问题的特点，构建一个合适的泛函J(x)。
2.求导数：对泛函J(x)求导，得到关于x的方程。
3.求解方程：解导数方程，得到可能的解。
4.验证解：检验求得的解是否满足原始问题中的约束条件。
5.应用数学方法：根据求得的解，应用数学方法解决问题。
三、变分不等式的应用领域变分不等式在许多领域具有广泛的应用，如优化理论、信号处理、图像处理、物理学、经济学等。
通过求解变分不等式，我们可以找到问题的最优解，从而为实际问题提供解决方案。
四、偏微分方程（PDE）与变分不等式的关系偏微分方程（PDE）是一种描述物理、工程等现象的数学工具。
在某些情况下，PDE的解可以通过求解变分不等式来找到。
事实上，许多PDE问题可以通过构造适当的泛函来转化为变分不等式问题。
五、变分不等式在实际问题中的解决方案以下是一些实际问题中的例子，这些问题可以通过求解变分不等式来解决：1.求解电磁场问题：在电磁学中，Maxwell方程可以通过求解一个泛函的极小值来得到解。
PDE
2 u ( x, t ) a 2 t
ds dx
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u( x, t ) 2u( x, t ) 其中： dx dx 2 x x x x x
u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
'
T
M
gds
x
x dx x
PDE 简介
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gds ma x x
2u ( x, t ) u( x dx, t ) u( x, t ) T gdx dx 2 x x t全称Partial Differential Equations 如果一个微分方程中出 现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知 函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
偏微分方程的一般形式
u u mu F ( x1 ,, xn , u, , , ,, m1 m2 )0 mn x1 xn x1 x2 xn
cos T 'cos ' 纵向：T sin T 'sin ' gds ma u
横向：T 其中： cos
1 cos ' 1
ds
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
PDE 简介
波动方程举例
数学物理中的偏微分方程优秀课件
把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化 假设，以便抓住问题的最本质特征。
基本假设： 1. 弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。
弦可以视为一条曲线，线密度为常数。 （细弦） 2. 弦在某一个平面内作微小横振动。
弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂 直于该直线的方向上作微小振动。 （微幅） 3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。 弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变 形与张力的关系服从虎克定律。 （横振动） 基本规律： 牛顿第二定律（冲量定律）
研究对象： u ( x , t )
y
弦线上任意一点在 t 时刻沿y轴上的位移
M'
ds
T'
'
在右图所示的坐标系，用u(x, t)表示弦
M
上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。在 这条弦上任意取一弦段(x, x+Δx)，它的弧
gds
T
长为 ：
x
x dx x
xx
s
1(u)2dxx
x
x
由假设3，弦线张力T(x)总是沿着弦在x处的切线方向．由于弦只在垂直x轴 的方向进行横振动，因此可以把弦线的张力T(x)在x轴的方向的分量看成常数 Ｔ。对于图中选取的弦段而言，张力在x轴的垂直方向上的合力为：
数学物理中的偏微分方程
数学物理方程 指从物理学或其他各门自然科
学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方 程(有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它 们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空 间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、 电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学 物理方程的范围。
1.1 偏微分方程的一些基本概念
变分不等式 pde
变分不等式pde
摘要：
1.变分不等式和偏微分方程的关系
2.变分不等式的基本形式
3.变分不等式的求解方法
4.变分不等式在实际问题中的应用
正文：
变分不等式（Variational Inequality, PDE）是一种数学模型，主要用于描述物理、工程和经济领域中的许多实际问题。
它与偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）有着密切的联系，可以看作是偏微分方程的一种扩展。
在解决实际问题时，人们通常希望找到一个最优解，而变分不等式就是用来描述这种最优解的数学工具。
变分不等式的基本形式可以表示为：F[x, u(x)] ≤ 0，其中x 属于D，u(x) 属于R。
在这个不等式中，F[x, u(x)] 是一个关于x 和u(x) 的函数，称为泛函。
这个不等式的几何意义是：在给定的区域内，寻找一个函数u(x)，使得该函数对应的曲线在空间中的“能量”最小。
求解变分不等式通常采用以下几种方法：
1.直接法：通过求导和代入原函数的方法，将变分不等式转化为一个关于u(x) 的微分方程，然后求解该微分方程。
2.间接法：通过引入拉格朗日乘子，将变分不等式转化为一个等价的最优化问题，然后使用拉格朗日乘子法求解。
3.势能法：将变分不等式转化为一个关于势能函数的最小值问题，然后通过求导和解析方法求解。
变分不等式在实际问题中有广泛的应用，例如：最速下降曲线、最短路径问题、金融学中的期权定价、物理学中的波动方程等。
这些问题都可以通过变分不等式来建立数学模型，并采用相应的求解方法来解决。
总之，变分不等式是一种重要的数学工具，可以用来描述和解决实际问题中的最优解问题。
PDE1
f ( M , t ) 叫自由项或干扰项． 自由项或干扰项．
6
∂ u ∂ u ∂ u 是齐次方程， + 2 + 2 = 0 是齐次方程， ∂x 2 ∂y ∂z ∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ) 是非齐次方程． 是非齐次方程． ∂t ∂x
2 2 2
我们只讨论二阶常系数线性齐次偏微分方程． 我们只讨论二阶常系数线性齐次偏微分方程． 即使如此，也并不容易． 即使如此，也并不容易．
∂u 2 ∂u 2 ( ) + ( ) = u 是一阶常系数非线性偏微分方程． 是一阶常系数非线性偏微分方程． ∂x ∂y 2 ∂u 2∂ u =x + f ( x , t ) 是二阶变系数线性偏微分方程 2 ∂t ∂x
在线性偏微分方程中，如果已知函数 ＝ 在线性偏微分方程中，如果已知函数f＝０，则方程 齐次的 否则就是非齐次的． 是齐次的，否则就是非齐次的．
∂x
∂y
方程中所含偏导数的最高阶数， 方程的阶． 方程中所含偏导数的最高阶数，叫方程的阶．
∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) = a 2 2 + f ( x, t ) 2 ∂t ∂t ∂x ∂x 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂ u 都是二阶线性方程． + 2 + 2 = 0 都是二阶线性方程． ∂x 2 ∂y ∂z
O
xБайду номын сангаас
即弦上各点的横向位移既是x的函数又是时间的函数． 即弦上各点的横向位移既是 的函数又是时间的函数． 的函数又是时间的函数 9
取其一小段， 取其一小段，可作为质点 而质点运动的基本定律是 牛顿第二定律． 牛顿第二定律． 按假定， 按假定，该小段的受力 情况如图所示： 情况如图所示： 下面分析力的平衡条件． 下面分析力的平衡条件．
数学物理方程PPT讲义
解的存在性：是研究在一定的定解条件下，方程是否有解。
从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎 不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。 在数学上对解的存在性进行证明的必要性 从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过 程，并提出一些附加的要求。 对于比较复杂的自然现象，有时也很难断定所给的定解条 件是否过多，或者互相矛盾。
(1) (2)
u方向
由于是微小的横振动，所以
cos 2 cos1 1
sin 2 tan2 ux xdx
sin 1 tan1 ux
x
u
1
T1 o x
2 T 2
x+dx
x
那么，有(1)可知张力T只与位置有关，且
1 T ( x) xdx 2 (l 2 x 2 ) x 2
不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量 在边界上的数值，即
三 类 边 界 条 件
u S f (t )
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边 界外法线方向上方向导数的数值，即
如果定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定 解条件的误差在一定的限制之间，我们所得的解就必然 近似于所需要的解。
2、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui fi
f
i
f
u u
i
Lu f
i
u
Lu 0
Lui 0
u
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)
pde 方程
pde 方程抛物型偏微分方程及其应用引言：偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的一个重要分支，它描述了自然界中的许多现象和规律。
本文将重点介绍一类常见的PDE方程——抛物型偏微分方程，以及它在物理、工程等领域中的应用。
一、抛物型偏微分方程的定义和特点抛物型偏微分方程是指具有一阶时间导数和二阶或更高阶空间导数的偏微分方程。
其一般形式可以表示为：∂u/∂t = a∂²u/∂x² + bu + c其中，u代表未知函数，t和x分别表示时间和空间变量，a、b和c 为常数。
抛物型偏微分方程具有以下特点：1. 方程中包含时间导数，因此描述的是随时间变化的系统或现象。
2. 方程中包含二阶或更高阶空间导数，因此描述的是具有扩散、传导等特性的系统或现象。
3. 方程中的系数a、b和c可以是常数，也可以是与时间和空间变量有关的函数。
二、抛物型偏微分方程的应用抛物型偏微分方程在物理、工程等领域中具有广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用：1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的一个重要应用。
它描述了物体内部的温度分布随时间的变化规律。
热传导方程在热学、材料科学等领域中有广泛的应用，如研究材料的热稳定性、热传导性能等。
2. 扩散方程扩散方程也是抛物型偏微分方程的一种应用。
它描述了物质在空间中的扩散过程，如溶质在溶液中的扩散、气体的扩散等。
扩散方程在化学反应、生物学、环境工程等领域中有重要的应用价值。
3. 粘弹性流体方程粘弹性流体方程是一类描述粘弹性流体流动行为的抛物型偏微分方程。
它在流体力学、工程领域中有广泛的应用，如石油工程中的油藏模拟、地下水流动模拟等。
4. 扩散反应方程扩散反应方程是描述物质在扩散和反应过程中的变化规律的抛物型偏微分方程。
它在化学动力学、生物学等领域中有重要的应用，如描述化学反应速率、生物体内物质传输等。
三、抛物型偏微分方程的数值解法由于抛物型偏微分方程的解析解往往难以求得，因此需要采用数值方法进行求解。
PDE1 数理方程绪论
四川大学数学学院 邓瑾
热量 热量 － t ＝ tdt
通过边界的流入量 热源的生成量 ＋ (t, t dt) (t, t dt)
dQ1
dQ2
dQ3
(2) Fourier热传导定律: 在无穷小时间段(t, t dt)内, 沿点M(x,y,z)处的面积元素dS的法向n流过dS的热量 dQ与温度沿此方向的变化率 un, 面积dS和时间dt成 正比,即 n
x
(T是常数)
设作用在弦上的垂直 (横向)外力 线密度为F(x,t) (牛顿/米)
dx utt ( 1 , t ) T [ u x ( x dx , t ) u x ( x , t )] F ( 2 , t )dx
( 其中 x 1 , 2 x dx )
13
四川大学数学学院 邓瑾
数学推导:
设物体是均匀的,各向同性的. 即, 质量 体密度, 热传导系数k和比热 c均为常 数. 热源密度(即,单位体积物体在单位 时间内释放出的热量)为F (x,y,z,t).
z
dz dy dx
M ( x, y, z )
y
在内任取体积元素dV
O
x
dV [ x , x d x ] [ y , y d y ] [ z , z dz ]
dQ k ( x , y , z; n)un dS dt ,
dS
其中k(x,y,z;n)为物体在M点沿n方向的热传导系数, 取 正值, 负号表示热量从高温向低温流动. k(x,y,z;n) un 称为沿n方向的热流密度(焦耳/秒.米2). 在介质均匀各 向同性假设下, 热传导系数为常数.
2
弹性杆的纵振动, 弹性膜的横振动,电磁波的传播等, 都 可用类似方法导出同一类方程, 一般表示为
一维扩散偏微分方程
一维扩散偏微分方程一维扩散偏微分方程（PDE）是一类常见的微分方程，它表达了某种物理现象的变化。
举个例子，它可以用来描述热的传导、浓度的变化、电场的强度以及气体的压力等等。
PDES 的形式可以用更抽象的方法表达，可以为应用程序设计者提供更多的自由度。
一维扩散偏微分方程的形式可以用通用的微积分方式来描述，其基本形式可以表述为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
该方程描述了当变量因扩散作用而随时间发生变化时，随着空间单位变化量的变化率，变量会发生变化。
一维扩散偏微分方程有几个典型的形式，具体可以分为以下几类：一、静态扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
它描述了由于变量的扩散作用而发生变化的系统，而不考虑任何外部影响因素。
二、动态扩散型方程：它的形式为：u_t=k(u_xx)+f(u,x,t)，其中f(u,x,t)表示变量受外部影响因素的作用，由外部影响决定变量的波动。
三、热扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=a(u_xx)+b(u_xxxx)，其中a和b分别表示传热系数和热容系数。
当变量受到外部热源的影响时，可以使用这种方程来描述。
四、声学扩散型方程：它的形式为：u_t=c(u_xx)+v(u_xxxx)，其中c和v分别表示声学场的传播速度和声学场的波动速度。
它通常用来描述声音在空间上的传播。
五、湍流扩散型方程：它的形式为：u_t=p(u_xxx)+q(u_xxxx)，其中p和q分别表示湍流的传播速度和湍流的波动速度。
它通常用来描述边界层的湍流场的变化。
一维扩散偏微分方程在物理上反映了某些物理现象的变化，是一类经典的微分方程，广泛应用于物理，工程和数学领域，如工程热力学、传热学、流体动力学等。
值得一提的是，一维扩散偏微分方程也可以用一般的微分方法来求解，求解过程相对简单，求解结果可靠，值得我们学习和应用。
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
偏微分方程 PDE-Ch1
(*)
在适当情况下, 方程中描述空间坐标的自变量数目可以减少. 例如当物体是各向同性的均匀细杆时, 如果它的侧面不产生热交 换(即绝热), 且在同一截面上温度的分布是相同的, 则温度函数u 仅与坐标x及时间t有关, 这时得到的就是一维热传导方程
ut a2uxx 0
21
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9
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《偏微分方程》第一章 绪论 第10页
1.1.4. 线性偏微分方程 如果方程中关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的, 则称 它为线性偏微分方程。 例子：
一阶线性偏微分方程 二阶线性偏微分方程
在线性偏微分方程中, 不含有u及它的偏导数的项称为自由项; 当自由项为零时, 称方程为线性齐次方程。 当自由项不为零时, 称方程为线性非齐次方程。
《偏微分方程》第一章 绪论 第19页
类似地可导出二维波动方程和三维波动方程, 它们 的形式分别为
utt a2 (uxx uyy ) f ( x, y, t ) utt a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t )
二维波动方程可视为薄膜的振动所满足的运动规律, 即在平 面上放置一个框架, 对于固定在该框架上作微小横振动的薄膜上 各点的运动规律. 三维波动方程表示的是声波、电磁波的传播所 满足的规律. 类似地，我们可考虑函数 u u( x1 , x2 ,
Du (ux1 , ux2 ,
, uxn )
则偏微分方程的一般形式为
5
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《偏微分方程》第一章 绪论
第 6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
变分不等式 pde
变分不等式 PDE什么是变分不等式 PDE？变分不等式 PDE（Partial Differential Equation，偏微分方程）是一类数学方程，描述了多变量函数的关系和它们之间的偏导数。
变分不等式 PDE 在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
它们可以用来建模和解决各种实际问题，例如热传导、流体动力学、量子力学和金融衍生品定价等。
变分不等式的基本形式变分不等式 PDE 的基本形式可以表示为：F(u,∇u)≥0其中，u是未知函数，∇u是u的梯度，F是一个给定的函数。
这个方程要求对于所有满足一定条件的测试函数v，都有F(u,∇u)≥0。
变分不等式的解为了求解变分不等式 PDE，我们需要找到一个函数u，使得对于所有满足一定条件的测试函数v，都有F(u,∇u)≥0。
这个函数u称为变分不等式的解。
求解变分不等式 PDE 的方法通常包括以下步骤：1.提出一个合适的测试函数类，满足一定的条件。
测试函数类的选择通常与问题的性质和边界条件有关。
2.将测试函数代入变分不等式 PDE，得到一个关于u和v的不等式。
3.利用数学分析的方法，对不等式进行推导和变换，得到一些等价的形式。
4.利用适当的数学工具，如泛函分析、变分法和函数空间理论等，对不等式进行进一步的分析和求解。
5.根据问题的实际情况，对解进行验证和讨论，找出满足特定条件的解。
变分不等式 PDE 的应用变分不等式 PDE 在各个科学领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：流体动力学变分不等式 PDE 可以用来描述流体的运动和变形。
通过求解变分不等式 PDE，可以得到流体的速度、压力和温度等关键参数，从而分析和预测流体的行为和性质。
热传导变分不等式 PDE 可以用来研究热传导过程。
通过求解变分不等式 PDE，可以得到热传导的温度分布和传热速率等关键信息，从而优化热传导问题的设计和控制。
量子力学变分不等式 PDE 在量子力学中有重要的应用。
PDE课件——数学物理方程1资料
李亚纯 2010-2011第二学期
理科班
第一章 绪 偏微分方程（Partial论Differential Equations）
指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科 学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的 研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导 数的方程
悠久的历史 广泛的应用 数学的发展
uxx uyy uzz 0 (调和方程)
ut x3ux x 2 一阶线性非齐次
ut iuxx 0 (Quantum Mechamics) 二阶线性齐次
utt uxxxx 0 (Vibrating Bar) 四阶线性齐次
ut x3ux u2 2 一阶半线性非齐次 utt u3 uxx (Wave with interaction) 二阶半线性齐次 ut uux uxxx 0 (KdV ) 三阶半线性齐次
（强迫弦振动方程）
没有外力作用时：
utt (x,t ) a2uxx(x,t ) 0
（自由弦振动方程）
2. 定解条件的导出 A. 初始条件
A. 初始条件 B. 边界条件
t 0 : u (x) (初始位移)
ut (x) (初始速度)
或记为
u(x,0) (x), ut (x,0) (x)
多重指标（Multi-index） (1,,n ), 1 n.
线性(Linear)： A (x)Du g(x), N
半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性
A (x)Du A0(x,u,Du,,DN1u) g(x),
N
拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数本身是线性的
§1 偏微分方程的基本概念与研究内容 §2 典型方程的数学模型 §3 二阶线性偏微分方程简介
大学数学物理方程课件
二阶线性常微分方程的解法
要点一
总结词
要点二
详细描述
求解二阶线性常微分方程的方法主要有分离变量法、常数 变易法、积分因子法等。
求解二阶线性常微分方程的方法有多种，其中分离变量法 是通过将方程中的未知函数和自变量分离，将方程转化为 两个一阶常微分方程进行求解；常数变易法是将方程中的 常数项视为变量，通过代换将其转化为一个等价的二阶线 性常微分方程进行求解；积分因子法则是通过引入一个积 分因子，将原方程转化为一个全微分方程进行求解。
有限元方法
将连续的偏微分方程问题离散化为有限个单元，然后 利用变分原理求解。
偏微分方程的应用实例
热传导问题
描述热量在物体中的传播，如温度分布、热传导 速率等。
波动问题
描述波动现象，如声波、电磁波、水波等。
流体动力学问题
描述流体运动规律，如流体速度、压力、密度等。
总结与展望
07
本章小结
内容回顾
1
大学数学物理方程课件
目 录
• 引言 • 数学物理方程基础知识 • 一阶常微分方程 • 二阶线性常微分方程 • 高阶线性常微分方程 • 偏微分方程简介 • 总结与展望
01
引言
课程简介
课程名称
大学数学物理方程
适用对象
大学本科生，特别是物理、工程和数学专业的 学生
课程目标
培养学生掌握数学物理方程的基本概念、方法和应用，提高解决实际问题的能 力。
变量代换法
通过引入新变量简化方程，适用于难以直接 求解的复杂问题。
积分变换法
利用积分将微分方程转化为易于求解的初值 问题。
数理方程 第一章
uபைடு நூலகம்
1 (u u ) 6( )
20
y 0
Tricomi方程变为
u yy 0
这就是抛物型的标准形式。
21
第三节 定解问题的适定性
定解 问题 PDE 初值条件
定解条件
边值条件
初、边值条件
初值问题、边值问题、混合问题
22
经典的定解问题举例
波动方程的初值问题（一维）
2 2u u 2 f ( x, t ), t 0, x R 2 a 2 x t u ( x, t ) ( x) t 0 u ( x, t ) ( x) t 0 t
非奇异
x y 0 x y
5
u ( x, y )
复合求导
( x, y ) ( x, y )
u ( , )
u u u x x x u u u y y y
2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 x x x x x x x 2 2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 ( ) 2 xy x y x y x y x y xy xy 2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 ( ) 2 ( ) y 2 2 y y y 2 y y 2 y 2
数学物理方程 第一章
第一节 偏微分方程的基本概念
x ( x1 , x2 ,, xn )
u( x) u( x1, x2 ,, xn )
2
自变量
未知函数
u u u F ( x, u, ,, , 2 ,) 0 x1 xn x1
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李亚纯 2010-2011第二学期
理科班
第一章 绪 偏微分方程（Partial论Differential Equations）
指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科 学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的 研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导 数的方程
悠久的历史 广泛的应用 数学的发展
解(Solution)：
(x1, , xn ) （求解区域）
u u(x1, , xn ) 称为偏微分方程（*）的经典解： 在 内足够光滑，且处处满足偏微分方程（*）
自由项：方程中与未知函数无关的项
G(x1,, xn,u,Du,,DNu) g(x1,, xn ) g(x1,, xn )即为自由项，也称右端项
xy
u w(s,t)dsdt f (x) g(y ) x0 y0 (f , g为任意连续可微函数)
(4)u u(x, y ) : ux uy 作变量代换s x y, t x y ux ussx uttx us ut uy ussy utty us ut ut 0 u f (s) (f为任意函数) u(x,y) f (x y)
Fritz John: Partial Differential Equations
Walter Strauss: Partial Differential Equations, An rtial Differential Equations 李大潜，秦铁虎： 物理学与偏微分方程
多重指标（Multi-index） (1,,n ), 1 n.
线性(Linear)： A (x)Du g(x), N
半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性
A (x)Du A0(x,u,Du,,DN1u) g(x),
齐次方程(Homogeneous)：不含非零自由项 非齐次方程(Nonhomogeneous)：含有非零自由项
线性 (Linear)方程： 方程改写为G~u g(x1,, xn ) G~(au bv ) aG~u bG~v
否则称为非线性(Nonlinear)方程
x (x1,, xn ),
(6)u u(x, y ) : uxx uyy 0(调和方程)
可验证: y3 3x2y, x3 3xy 2, sinnx sinhny (n 0)
均为解
(7)u u(x, y ) : uxxyy 0 u f (x) xf1(y) g(y) yg1(x)
(8)u u(x, y, z) :uz 0
物理量的变化规律
函数u关于t及x的各阶偏导数满足的关系式(等式)
(偏微分方程)
一般形式：
F(x1, x2, , xn,u,Du, ,DNu) 0 (*)
(x1, x2, , xn )：自变量 u u(x1, x2, , xn )：未知函数
Du
u x1
,
,
u xn
,
Dku
ku
x1k1
u f (x, y)(f为任意函数)
(9)uu
x y
vy vx
0 (Cauchy 0
- Riemann
)方程组
(10)u u(x,y) : uxx u 0 u f (y )cos x g(y ) sin x
2. 相关基本概念
阶数(Order)：未知函数偏导数的最高阶数；
维数(Dimension)：空间变量的个数； （对发展型方程：维数=自变量个数－1； 对非发展型方程：维数=自变量个数）
悠久的历史：
特殊的偏微分方程最早出现在1734年Euler的著作中，并 于1743年出现在d’Alembert的《论动力学》中。
著名的弦振动方程 utt a2uxx 0
1727: John Bernoulli,离散质量情形
d 2uk dt 2
na l
2
(uk
1
2uk
uk 1)
d’Alembert(研究弦振动方程的先驱)
一般地，aux buy 0 (a, b为常数) u f (bx ay )
(5)u u(t, x) : utt uxx 0(弦振动方程)
ut uxx 0(热传导方程)
可验证:(x t )n, (x t )n, sin(x t ) cos(x t )
均满足弦振动方程
x 1 t 2 满足热传导方程 2
§1 偏微分方程的基本概念与研究内容 §2 典型方程的数学模型 §3 二阶线性偏微分方程简介
§1 偏微分方程的基本概念与研究内容
1. 什么是偏微分方程？
物理量(如位移、温度等)----时间、空间位置
u --------------- t, x (x1, x2, x3)
u u(t, x) u(t, x1, x2, x3)
1746：《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》
广泛的应用：
传统学科 流体力学：Navier-Stokes方程组(粘性流体)
Euler方程组(无粘流体) 弹性力学：Saint-Venant方程组 电动力学：Maxwell方程组(电磁场) 量子力学：Schrödinger方程 Dirac方程(微观粒子) 广义相对论：Einstein方程(引力场) 规范场：Yang-Mills方程 磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学……
xnkn
, k1
kn k
(k 2, ,N)
例子：
(1)u u(x, y) : uy 0
u f (x) (f为任意函数)
(2)u u(x, y ) : uxy 0
u f (x) g(y)(f ,g为任意连续可微函数)
(3)u u(x, y) : uxy w(x, y) (w为已知函数)
交叉学科 生物数学：生物种群动力学
传染病动力学 DNA分子动力学 金融数学：随机微分方程 经济学 社会科学 ……
数学的发展：
偏微分方程推动数学其他分支的发展： 函数论 变分法 级数展开 常微分方程 代数 微分几何 ……
参考书
Courant-Hilbert: Method of Mathematical Physics