丁玉美《数字信号处理》(第3版)配套模拟试题及详解(一)

丁玉美《数字信号处理》（第3版）配套模拟试题及详解（一）

1．简答题（20分，每小题4分）

（1）如何对频带无限的模拟信号进行采样？在工程实现中，时间的采样频率如何确定？

（2）写出离散线性时不变系统输入输出问的一般表达式。当两个离散线性时不变系统并联时，其并联系统的冲激响应与频率响应应如何表示？

（3）试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。

（4）当离散线性时不变系统h（n）的输入为时间无限长序列x（n）时，如何用有限长序列计算出系统输出y（n）？

（5）画出理想带通数字滤波器的频谱图，并且指出数字滤波器与模拟滤波器频谱的定义区间。

答：（1）对频带无限的模拟信号进行采样时应该先通过一个混叠（低通）滤波器再进行采样即可。在工程实现中，时间的采样频率确定按照最少为原始模拟信号频率的2倍以上，采样频率越高越没有混叠产生。

（2）离散线性时不变系统输入输出间的一般表达式为：y （n ）＝T[x（n

）]。

当两个离散线性时不变系统并联时，其并联系统的冲击响应为：频率响应为：

（3）说明x（n）的N点离散傅立叶变换是x（

n）的z变

换在单位圆上的N点等间隔采样。

（4）截断为长度为的有限长序列再计算系统输出y（n）。

（5）数字滤波器频谱的定义区间在Z平面的单位圆内，模拟滤波器频谱的定义区间

在S 平面的左半平面内。

2．（20分）一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述：

（1）求系统函数H （Z ），在Z 平面画出它的零极点和收敛线，判断系统的稳定性；

（2）画出系统幅频响应示意图，说明系统的滤波特性；

（3）若输入

，指出系统稳态输出的最大幅值是多少?解：（1）对差分方程进行Z 变换求得Z 变换的表达式，即

因为极点z ＝－0.5在单位圆内，所以系统稳定。

（2）先画出其零极点图，因为在z ＝－0.5处有一极点，在Z ＝1处有一零点如图1-1所示。系统的幅频特性如图

1-2所示，由于

| H （e ）|＝0所以必定为高通滤波特性。

图1-1

零极点分布 图1-2

幅频特性（3）由（1）之解可知

对上式作z 反变换后可得

其中单位取样响应h （n ）可用部分分式展开法从（1）之解答求得，即

所以

查Z变换表可求得对应于该H（Z）的h（n）为

因此

然后用列表滑动法求出y（n）如下：

表1-1

因此，求得系统稳态输出的最大值为

对输入序列x（n）作傅氏变换可得

而系统函数

所以系统输出频谱

求得

对上式作傅氏反变换即可求得系统稳态输出的最大幅值是

3．（20分）设)(Ωj e

X 和)(Ωj e Y 分别表示实序列x[k]和y[k]的DTFT ，x[k]与y[k]的

互相关函数定义为：

（1）试推导用)(Ωj e X 和)(Ωj e Y 表示的)(n r xy 的DTFT ；

（2）如果x[k]和y[k]分别是N 点和M 点的有限序列，由(1)中的结论，给出利用DFT 和IDFT 计算序列互相关的方法；

（3）如果x[k]＝ [1，2，1，3；k ＝0，1，2，3]，y[k]＝

[1，1，2，2；k ＝0，1，2，3] 不计算DFT 和IDFT ，求按(2)中方法由IDFT 计算出结果。

解：（1）由DTFT 的定义和性质可得：

（2）对x[k]和y[k]补零使其成为长度为L(L≥ N ＋M －l)序列。计算L 点的DFT ，可得：

计算的L点IDFT，可得：

其中

（3）为了利用基2的FFT算法计算DFT，取(2)中的L＝8。直接计算x[k]与y[k]的互相关，可得：

r xy按L＝8周期化，可得：

对)(n

4．（15分）计算序列的Z变换，并求出零-极点和收敛域。

解：已知，根据Z变换定义直接计算得：

由上式知系统的零点为z＝0，极点为z＝a，z＝1/a；收敛域为：

5．（15分）已知x(n)的傅里叶变换为()j

X e ，试确定y(n)＝(n－1)2x(n)的傅里叶变换。

解：将y(n)分解为：

根据离散傅里叶变换性质知：

所以得y(n) 的傅里叶变换为：

6．（15分）对一个连续时间信号进行抽样，抽样时间长度为1s ，其最高频率为

1kHz ，采用FFT 对其进行频率谱分析，问抽样点间的最大抽样间隔是多少？应作多少点的FFT ？

解：根据奈奎斯特抽样定理：

s f ≥2m f ＝2000Hz ，

所以最大抽样间隔s T ＝s

F 1S ＝0.5ms 1s 的抽样时间采2000点，一般取2的幂，

故应作2048点的FFT 。

7．（15分）如一时域离散线性相位有限冲激响应

，试求对应于的频率响应，并说明其滤波特性。（其中

为低通滤波器的冲激响应）

解：因为

所以