2018考研数学中求分段函数的不定积分问题

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来源：文都教育

2017考研初试已经落下帷幕，17的考生此时在为复试做准备，18的考生们，是时候开启自己的复习道路啦！文都考研数学老师认为，17年真题所考查的知识点，值得2018考研考生重点学习和记忆。今天文都考研数学老师针对2018考研数学中求分段函数的不定积分问题，为大家进行详细的解答，帮助2018年的考研学子把握复习备考的命题方向！

一、解题思路分析

求分段函数的原函数（不定积分）

先考虑函数在分段点处的连续性，如果连续，可按下述步骤求之：

（1）分别求出函数的各分段函数在相应区间内的原函数（不定积分）。

（2）因函数在分段点处连续，故在包含该分段点的区间内原函数存在。这时应根据原函数的连续性（或可导性）确定各区间上任意常数的关系，将各分段区间的原函数在分段点处连续地连接起来，将各段上的任意常数i C 统一成一个任意常数。先用分段积分法求出分段函数()x f 的一个原函数()()dt t f x F x

a ⎰=，然后写出()x f 的原函数()()C x F dx x f +=⎰，其中C 为任意常数。

如果分段函数在分段点不连续，且分段点为函数的第一类间断点，则在包含 该点的区间内不存在原函数。这时函数的不定积分只能在不包含该点的各个分段区间内得到。

二、例题解析

例1 已知()⎪⎩

⎪⎨⎧>≤<+<=,1,2,10,1,0,132x x x x x x f 则求()dx x f ⎰.

解析：由题意得：

因()x f 在点0=x 处无定义，而()00+f 及()00-f 均存在，故0=x 为()x f 的第一类间断点，所以在()+∞∞-,内()x f 不存在原函数，而在点1=x 处()x f 连续，故()x f 的不定积分只能分别在区间()0,∞-()+∞,0内得到。

综上所述，()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<++<+=⎰,1,

,10,3,0,34231x C x x C x x x C x dx x f

因()x f 在点1=x 处连续，故()x f 的原函数在点1=x 处也连续。于是有

()()()()

,2lim lim 3lim lim 34112311C x x F C x x x F x x x x +==++=++--→→→→ 即223652134C C C +=-+=。

综上所述，()⎪⎩⎪⎨⎧>++≤<++<+=⎰,

1,65,10,3,0,24231x C x x C x x x C x dx x f

其中1C 与2C 是两个独立的常数。