3-4保守力与非保守力

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哈里德大学物理第三章

哈里德大学物理第三章

注意
Fi内 0 I i内 0
i i
W
i
i内
0
二、变力的功
微元分析法:
ds dr
P

P
a
F
r
F r
o
b
取微元过程
以直代曲
以不变代变
再求和
§3-1 功 功率
ds
P

dr
P
r
a
F
r
F
o
b
元功: dW F dr F dr cosθ Fcosθds
F
M
m
r
r
o
以上这些力的共同特点?
保守力
1)做功与路径无关,只与起、末点位置有关;
2)做功等于与相互作用物体的相对位置有关的 某函数在始末位置的值之差。
势能
§3-2 保守力与非保守力 势能
二、保守力与非保守力
势能
1. 保守力与非保守力
• 做功与路径无关,只与起点、终点位置有关
b m L1 a
§3-2 保守力与非保守力 势能
保守力在 x 轴的分力,等于其相关势 能对坐标 x 的导数的负值:
F
dW F dr
x
Fx dx dEp x
m

θ
Fx
Fx
dEp x dx
§3-2 保守力与非保守力 势能
练习3:
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动,
§3-4 功能原理
1. 动能定理与功能原理的区别与联系:
功能原理是从动能定理推出的,完全包含在 动能定理之中; 由于保守力的功已反映在势能的改变中,运 用功能原理时,只需要计算非保守力的功, 而动能定理,则需要计算所有力做的功 。 2. 功与能的联系与区别: 功与能的单位与量纲相同; 功是过程量,能量是状态量; 功是能量传递和转化的一种方式和量度。

大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-5 保守力与非保守力

大学物理 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 3-5 保守力与非保守力
①引力势能 引力势能
m' m m' m 引力的功 引力的功 WAB = −(−G r ) − (−G r ) B A
A点势能: 点势能: 且令E 设B点为无限远 即rB=∞ 且令 PB=0 点为无限远
m' m WAB = −G rA
= − ( E pB − E pA ) = E pA
功与路径无关,只决定于初末位置。 功与路径无关,只决定于初末位置。 第三章 动量守恒和能量守恒
4
} ⇒ dW
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W = ∫ Fdx = ∫
x1
x2
x1
1 2 1 2 − kxdx = −( kx2 − kx1 ) 2 2
5
第三章 动量守恒和能量守恒
W p → p0 = −( Ep0 − Ep ) = −∆Ep
E p ( x, y, z) =

E p0 = 0
( x, y,z )
F ⋅ dr
任意一点的势能等于在保守力作用下 从该点到势能零点保守力所作的功
第三章 动量守恒和能量守恒 10
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
W AB = − ( E pB − E pA ) = − ∆ E P
引力的功 引力的功
m' m m' m WAB = −(−G ) − (−G ) rB rA
引力势能 引力势能
m' m Ep = −G r
弹性势能 弹性势能
弹力的功 弹力的功
W AB 1 1 2 2 = − ( kx B − kx A ) 2 2

第3章-3能量守恒定律

第3章-3能量守恒定律

保守力做的功与势能的关系:
物体在保守力场中a、 两点的势能 两点的势能E 之差, 物体在保守力场中 、b两点的势能 pa与 Epb之差,等 于质点由a点移动到 点过程中保守力所做的功W 。 点移动到b点过程中保守力所做的功 于质点由 点移动到 点过程中保守力所做的功 ab。
Epa − Epb = ∫
1 2 1 2 W = mv2 − mv1 = Ek2 − Ek1 2 2
2.质点系的动能定理 .
一个由n个质点组成的质点系,考察第 个质点 个质点。 一个由 个质点组成的质点系,考察第i个质点。 个质点组成的质点系 质点的动能定理: 质点的动能定理:
Wi外 +Wi内 = Ek 2i − Ek1i
a
(
)(
)
= ∫ Fxdx + Fydy + Fzdz
a
b
功率是反映做功快慢程度的物理量。 功率是反映做功快慢程度的物理量。
功率: 单位时间内所做的功。 单位时间内所做的功。
∆W 平均功率: P = ∆t
瞬时功率:
单位: 单位:W = J·s-1
∆W dW P = lim = dt ∆t →0 ∆t
(s1 + ∆s) = 2s
2
2 1
化简后
s1 + ∆s = 2s1
第二次能敲入的深度为: 第二次能敲入的深度为:
∆s = 2s1 − s1 = ( 2 −1) ×1cm = 0.41cm
3-4 保守力与非保守力
(1)重力的功 )
初始位置 末了位置
势能
z
za
zb
a(xa , ya , za )
b(xb , yb , zb )
v F

3-4-6 动能定理,保守力与非保守力,功能原理 机械能守恒定律

3-4-6 动能定理,保守力与非保守力,功能原理 机械能守恒定律
o
W Fcos d s
os 1
ds
s2
s
3
(3) 功是一个过程量,与路径有关。
(4) 合力的功,等于各分力的功的代数和。
F F i F j F k x y z d r d x i d y j d z k B B W F d r ( F d x F d y F d z ) x y z
21
3-6 功能原理 机械能守恒定律
一 质点系的动能定理
对第 i个质点,有
W W E E k i k i 0
ex i in i
m1
ex F i
外力功 内力功
m2
in m i F i
对质点系,有
i ex i i in i i k i k i 0 k k 0 i ex in
W W E E E E
8
1 2 1 2 W m v m v E E 2 1 k 2 k 1 2 2
合外力对质点所作的功,等于质点动能 的增量 ——质点的动能定理
注意
功是过程量,动能是状态量;
功和动能依赖于惯性系的选取, 但对不同惯性系动能定理形式相同。
9
例 2 一质量为1.0 kg 的小球系
在长为1.0 m 细绳下端,绳的上
势能具有相对性,势能大小与势能零点 的选取有关。 势能是属于系统的。 势能差与势能零点的选取无关。
20
3-5 保守力与非保守力
势能
四 势能曲线
E z p mg
1 2 Ep kx 2
m 'm E G p r
Ep
Ep
Ep
O
x
O
z

第2章-3能量守恒定律j(2024版)

第2章-3能量守恒定律j(2024版)

xb
x2
由胡克定律: F kxi
W
F dx
x2
kxi
dxi
x2 kxdx
x1
x1
W
1 2
kx12
1 2
kx22
弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关,
而与弹性变形的过程无关。
保守力:
做功与路径无关,只与始末位置有关的力。
非保守力:
做功不仅与始末位置有关,而且与路径 有关力。
保守力的特点:
dx vdt 3 t 2dt 2
W
Fdx
2
6t
3
t 2dt
9
t
4
2
36 J
0
2
40
2-4-2 动能和动能定理
一、质点动能定理
动能: 质点因有速度而具有对外做功的本领。
Ek
1 2
mv2
单位:J
设质点m在力的作用下 沿曲线从a点移动到b点
元功:
dW
F
dr
F
cos
ds
dr
b
θ
F
a
F cos
Ep
1 2
kx2
引力势能:
(弹簧自由端(坐标原点)为 势能零点)
Ep
G
m0m r
(无限远处为势能零点)
势能是瞬时量,是位置的函数。
保守力功与势能的积分关系:
W Ep
保守力功与势能的微分关系: dW dEp
因为: dW F dr Fxdx Fydy Fzdz
dEp
Ep x
dx
Ep y
质点i的动能定理:
Fi
Wi外i
n
n
n

保守力与非保守力及势能

保守力与非保守力及势能

§3.6 保守力与非保守力、势能
3. 三种势能函数:
(1) 重力势能:
y y
E p ( y ) F重 d r
(0)
( mg ) ˆ j dy ˆ j
y
( y) 0
o
Ep( y )
mg
E p ( y ) mgy
即:势能零点正上方重力 势能为正,下方为负。
E p ( y ) mgy
m?????epr?f引?drf引mrrorep?0??mm????g2er?drerrreprmmepr?gorrmmepr?gr即
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
§3.6 保守力与非保守力、势能
·1 ·
Chapter 3.力,其势能函数为何不同?它们
有何内在关系? 3. 若选地表为万有引力势能零点,则 引力势能表达式如何?
?
( The end ) ·7 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
归纳:
1.重力势能: E p ( y ) mgy
1 2 2. 弹性势能: E p ( x ) kx 2
Ep( y )
1 E p ( x ) kx 2 2
o
x
·5 ·
Chapter 3. 守恒定律
§3.6 保守力与非保守力、势能
(3) 万有引力势能:
M
F引 m
E p ( r ) F引 d r
(r )
( )
o
r
Ep( ) 0
Mm ˆ r dr e ˆr ( G 2 )e r r
2. 势能函数选取应遵从的原则:

4-4保守力与非保守力-势能(2024版)

4-4保守力与非保守力-势能(2024版)

o X0
解:重力势能为: (以o点为重力
势能零点,以向
Ep重力
o
mg dx
下为x正向)
P
ox
P
x
0 mgdx
mgx
弹性势能为: (以o点为弹性势能零点)
E p弹性
o F dx
P
x
Fdx
0
x
0 k( x x0 )dx
4 – 4 保守力与非保守力 势能
E p重 力 mgx
Fx Fz 0
A r2 F dr r1
x
mg y2 dy y1
mg y1 y2
A m gh
4 – 4 保守力与非保守力 势能
y2
y2
A Fzdy (mg)dy mg( y1 y2 )
y1
y1
重力作功的特点:
(1)与质点经过的路径无关; (2) 沿任意闭合路径一周重力作功必为零; (3)质点上升重力作负功。
4 – 4 保守力与非保守力 势能
例:如图半径为R的1/4凹圆柱面M放在光滑水平面上,小球m从
静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落,小球从水平方向飞离大物体 时速度 v ,求重力所做的功和内力所做的功
解:重力只对小球做功 A重力 mgR
V
m
R v
水平方向无外力,系统 保持水平方向动量守恒:
mv MV 0
Gmemh Re2
Gmemh2 Re3
mgh mg h2 Re
(
Gme Re2
g)
mgh ( Re h)
即引力势能在地面附近可用重力势能来替代。
4 – 4 保守力与非保守力 势能
例、 倔强系数为K的弹簧,上端固定,下端悬挂重物。当弹簧 伸长x0时,重物在O处达到平衡。现取重物在O处时各种势能均 为零,则当 m 偏离O点x时,系统的重力势能为多少?系统的弹 性势能为多少?系统的总势能为多少?

3-456 动能定理 功能原理

3-456 动能定理 功能原理

E p ( x, y, z) =

E p0 = 0
( x, y,z )
F ⋅ dr
第三章 动量守恒和能量守恒
20
物理学
第五版
3-4 -
动能定理
讨论 势能是状态的函数 Ep = Ep ( x, y , z) 势能是状态的函数 状态的 势能具有相对性,势能大小与势能零 势能具有相对性,势能大小与势能零 相对性 大小与势能 点的选取有关. 的选取有关. 有关 势能是属于系统的. 势能是属于系统的. 系统的 势能差与势能零点选取无关. 势能差与势能零点选取无关.
dr
θ B
F
v2
8
物理学
第五版
3-4 -
动能定理
1 2 1 2 W = mv2 − mv1 = Ek 2 − Ek1 2 2
合外力对质点所作的功,等于质点动 外力对质点所作的功, 质点所作的功 能的增量 能的增量 ——质点的动能定理 质点的动能定理 注意 功是过程量,动能是状态量; 功是过程量,动能是状态量; 功和动能依赖于惯性系的选取, 功和动能依赖于惯性系的选取, 但对不同惯性系动能定理形式相同. 但对不同惯性系动能定理形式相同.
第三章 动量守恒和能量守恒
18
物理学
第五版
3-4 -
动能定理
三 势能
与质点位置有关的能量. 与质点位置有关的能量. 引力的功 引力的功
m' m m' m W = −(−G ) − (−G ) rB rA
引力势能 引力势能
m' m Ep = −G r
弹力的功 弹力的功
1 2 1 2 W = − ( kx B − kx A ) 2 2
θ0

保守力与非保守力课件

保守力与非保守力课件

03
常见保守力
常见的保守力包括重力、弹性力、万有引力等。
保守力做功与路径无关
做功定义
保守力做功是指力在空间上的累 积效应,等于力的大小与位移的
乘积。
路径无关性
由于保守力的做功只与始末位置 有关,而与路径无关,因此物体 在保守力作用下沿任意路径从同 一位置移动到同一位置所做的功
都是相同的。
计算方法
计算保守力做功时,可以通过始 末位置的势能差值来计算,即做 功等于末位置势能减去初位置势
电场力是非保守力的一种,它是由电 场对电荷的作用所产生的。电场力在 做功时与物体经过的路径和所处的位 置有关。
磁场力
磁场力是非保守力的一种,它是由磁 场对带电粒子或电流的作用所产生的。 磁场力在做功时与物体经过的路径和 所处的位置有关。
04 保守力与非保守力的应用
保守力在物理学的应用
机械能守恒
保守力在机械能守恒中起着关键作用, 重力、弹力等保守力在只有保守力做 功的情况下,系统的机械能保持不变。
保守力与非保守力课 件
目录
CONTENTS
• 保守力与非保守力的定义 • 保守力的特性
01 保守力与非保守力的定义
保守力的定 义
01
02
03
保守力
在物理系统中,保守力是 指做功与路径无关,只与 初末位置有关的力。
常见保守力
重力、弹性力、万有引力 等。
特点
保守力做功不会改变系统 内能,只改变系统的动。
非保守力的定 义
非保守力
与保守力相反,非保守力 做功与路径有关,且做功 会导致系统内能变化。
常见非保守力
摩擦力、空气阻力、电磁 力等。
特点
非保守力做功会改变系统 内能,同时也会改变系统 的动能。

第 03章 2 次课 -- 动能定理 保守力和非保守力 功能原理

第 03章 2 次课 -- 动能定理 保守力和非保守力 功能原理

上海师范大学
3 /17
§3. 4 三、质点的动能定理
动能定理
外力F作用在质点上, 对质点做功, 质点的速率发生变化, 因此能量发生变化.
外力所做的功W与质点的能量有什么定量 关系吗?
dv 由 W F dr F cos dr Ft dr Ft ds 和 Ft m
A
dW F dr
W F r
A
W
B
B F dr F cosdr
r
是在力的作用下产生的位移.
W Fi dr Fi dr Wi
合力的功 = 各分力的功的代数和
i
W W1 W2 W3 Wi
5. .直角坐标系中的功
F Fx i Fy j Fz k; dr dxi dyj dzk
W Fx dx Fy dy Fz dz
6. 功的单位
Wx Wy Wz
1 /17
1J 1N m
上海师范大学
§3. 4 二、功率
12 /17
§3.5 四、势能曲线
保守力与非保守力 势 能
势能是空间位置的函数, 将这种函数用图形表示就称为势能曲线.
Ep mgz
1 E p kx 2 2
m'm Ep G r
Ep
Ep
O
Ep
x
O
重力势能曲线
z
x
O
弹性势能曲线
引力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
v v0 e
t 0
x
dt
W b (0 e

3-5保守力与非保守力_势能

3-5保守力与非保守力_势能

陨石在“天外”时 rA
时,E pA=0
落到地面时, rB=6.4×106 m
WAB
GmM 6.67 1011 5 103 6 1024 11 3.110 ( J ) 6 rB 6.4 10 19
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
5)保守力的功等于势能增量的负值
重力 弹力
WGAB (mgy2 mgy1 ) ( E p 2 E p1 )
WeAB
可统一写成
1 2 1 2 ( kx2 kx1 ) ( E p 2 E p1 ) 2 2 W保 E p ( E p 2 E p1 )

L
f 保 dr 0
保守力的环流为零(保守力沿任意闭合路径 的线积分叫做保守力的“环流”)。 描述矢量场基本性质的方程形式。
8
3-5 保守力与非保守力 势能
证明第二种表述: f 保 dr 0
L
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F保
1

L
f 保 dr
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
讨论
1)只有保守力才有相应的势能 2)势能属于有保守力作用的体系(质点系) (对应一对内力作功之和) 3)势能与参考系无关(与相对位置有关) 4)质点系的内力可分为 保守内力 (作功与路径无关) 非保守内力 (作功与路径有关) 耗散力
10
3-5 保守力与非保守力 势能
3-5 保守力与非保守力 势能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一. 重力作功与重力势能
dr dxi dyj
WG
B A
G mgj
y
y1 y2

保守力与非保守力

保守力与非保守力

非保守力:凡作功与路径有关的力称为非保守力..常见的摩擦力;物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力..非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点..非保守力包括耗散力和非耗散力两类..在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力;所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词..严格说来两者是有区别的;一个系统的总机械能减少;并转变为系统的热能或内能..通常人们把这个过程叫耗散过程;而把导致耗散的力成为耗散力..摩擦力是耗散力;但非保守力如爆炸力不一定都是耗散力..⑴定义:做功多少只由始末位置所决定;而跟路径无关的力叫做保守力..做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力..⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置;如果在该力作用下;物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置;则所做功为零..重力、弹力等属于保守力..耗散力做功就不能由物体的始末位置决定;而和物体的运动路径有关;在其他条件相同的情况下;物体运动路径越长;所做的功也越多..摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同;是和这两种力的本身的特点有关..物体系确定后保守力和物体的运动状况无关;其大小由相互作用物体的相对位置所确定;它的方向总在两个相互作用物体的连线上..例如;物体确定后;重力的大小决定于它离开地面的高度;方向竖直向下;而和物体以什么样的速度运动无关;和物体运动速度的大小和方向如何变化无关..耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化..例如;空气对运动物体的阻力;其方向随着物体运动的方向改变而变化;它的大小随物体运动速度增大而增加..③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系..保守力做正功;则物体系的势能减少;反之;则物体系的势能增加..而且相对两个位置之间;功量一定;能量差一定..所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件..系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒..耗散力不象保守力;对于两个位置之间;力对物体做功没有确定的值;从而相应的两个位置之间没有一定的能量差..所以耗散力和物体系的势能没有联系..但是它涉及另一种形式的能量;如果系统的各物体只受保守力和耗散力作用;那么系统的包括相应的这种形式的能量和机械能在内的总能量还是守恒的..常见的摩擦力;物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力..非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点..非保守力包括耗散力和非耗散力两类..在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力;所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词..严格说来两者是有区别的;一个系统的总机械能减少;并转变为系统的热能或内能..通常人们把这个过程叫耗散过程;而把导致耗散的力成为耗散力..功一、在F-l图象中求功我们也可以用图象来描述力对物体做功的大小.以Fcosα为纵坐标;以l为横坐标.当恒力F对物体做功时;由Fcosα和l为邻边构成的矩形面积即表示功的大小;如图a所示.如果外力不是恒力;外力做功就不能用矩形表示.不过可以将位移划分为等距的小段;在每个小段中外力可近似看成恒力;所做功的大小即为该小段对应的小矩形的面积值;整个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和;如图b所示.二、变力的功如果作用力F是恒定的;即力的大小和方向都不变;且受力物体向着确定的方向做直线运动;这时作用力和位移的夹角α也是恒定的;已知物体在力F的作用下运动的位移s;就可以根据公式W=Fscosα算出恒力所做的功.如果作用力是变力;即力的大小和或方向是变化的;或者物体做曲线运动;这时力F的大小随时间而变化;力和位移的夹角α也随时间而变化;便不能直接由上述公式计算功;这种情形要怎样计算功呢如图表示一个物体在变力作用下做曲线运动;由O点运动到O′点.现在我们把曲线分成很多小段;如图中的AB小段、CD小段等;每小段都足够小;可认为是直线;物体通过每小段的时间足够短;在这样短的时间里;力的变化很小;可以认为是恒定的.这样;对每小段来说;就可以用公式W=Fscosα计算功.把物体通过各个小段所做的功加在一起;就等于变力在整个过程中所做的功.三、保守力与耗散力1.保守力大小和方向完全由物体间相对位置确定的;且做功多少只由始末位置所决定;而跟路径无关的力叫做“保守力”.保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置;如果在该力作用下;物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置;则所做的功为零.万有引力包括重力、弹力等属于保守力.物体系确定后;保守力和物体的运动状况无关;其大小和方向由相互作用物体的相对位置所确定.例如;物体确定后;重力的大小决定于它离开地面的高度;方向竖直向下;而和物体以什么样的速度运动无关;和物体运动速度的大小和方向如何变化无关.保守力和物体系的势能有着极为密切的联系.保守力做正功;则物体系的势能减少;反之;则物体系的势能增加.而且相对两个位置之间;势能差一定.所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件.系统的各物体在只受保守力作用的情况下;其机械能守恒.保守力的功和势能的变化的关系为W保=Ep1-Ep2.这里的Ep2和Ep1表示终点和起点的势能.当W保>0时;保守力做正功;Ep1-Ep2>0;物体系统的势能要减少;当W保<0时;保守力做负功;Ep1-Ep2<0;物体系统的势能就要增加.保守力的功决定于物体系势能的变化量;在实际问题涉及的只有两个状态的势能差;而不是某一状态势能的绝对值.2.非保守力亦称“耗散力”.做功多少和物体运动路径有关的力叫非保守力.非保守力做功就不能由物体的始末位置决定;而和物体的运动路径有关.例如;人推车是克服摩擦力做功;摩擦力是非保守力;人推车对车做的功并不与车向哪个方向运动有关.又如;空气对运动物体的阻力;其方向随着物体运动方向的改变而改变;它的大小随物体运动速度的增大而增加.非保守力不像保守力;对于两个位置之间;力对物体做功没有确定的值;从而相应的两个位置之间没有一定的能量差.所以非保守力和物体系的势能没有关系.物体在有非保守力作用时;其动能与势能之和机械能不再守恒.质点运动时做负功的非保守力也称为耗散力.除空气阻力外;爆炸力;内燃机气缸中气体对活塞的推力都是耗散力.耗散力之所以命名为“耗散”;是由于这种力所做的功一般跟机械运动转化为非机械运动如热运动紧密联系在一起.。

3-4 功能原理 机械能守恒定律

3-4 功能原理 机械能守恒定律

W ex + W in = Fra bibliotekk − Ek 0
内力可以改变质点系的动能
二 质点系的功能原理 质点系动能定理
W
i
ex
+ W = Ek − Ek 0
in
in c in nc
W
in
= ∑ Wi = W + W
in
Wcin = −(∑ Epi − ∑ Epi 0 ) = −( Ep − Ep 0 )
非保守 力的功
1 1 mE m 2 ) = mv'2 mv3 + ( −G 2 2 RE
地球为参考系
取太阳为参考系 , 抛体相对于太阳的速度为 v'3 . 则
1 mE m 1 2 mv3 + (−G ) = mv′2 2 RE 2
地球相对于太阳的速度 有
v'3 = v'+ vE 若 v' 与 vE 同向,
ex in nc
in 当 W ex + Wnc =0
时,有
E = E0
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下, 质点系的机械能保持不变 .
Ek − Ek 0 = −( Ep − Ep 0 )
守恒定律的意义
∆Ek = − ∆Ep
不究过程细节而能对系统的状态下结论,这是各 个守恒定律的特点和优点 .
讨论 如图的系统,物体 A,B 置于光滑的桌面上,
能量守恒定律
亥姆霍兹 (1821—
1894),德国物理学家和生 理学家.于1847年发表了《论 力(现称能量)守恒》的演 讲,首先系统地以数学方式 阐述了自然界各种运动形式 之间都遵守能量守恒这条规 律.所以说亥姆霍兹是能量守 恒定律的创立者之一 .

3-4 动能定理

3-4  动能定理

ODC;(2)沿OBC。
B 2
C 2
Fy 0
(1)OD段:y=0,dy=0, DC段:x=2, dx=0,Fy=0
WODC
F dr
OD
2 F dr (4 2 0)dx 0 8J
DC 0
O
D
(2)OB段:Fy=0, BC段:y=2
WOBC
dW F d s FT d s P d s P d s mgld cos mglsin d
0

d
W mgl sin d
0

mgl(cos cos 0 )
FT v ds P
l
3-5 保守力与非保守力 势能
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点
1、万有引力作功的特点
m' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
m 移动dr 时,F作元功为
A
rA e
m'
r
r
rB
m
dr
dr r dr
B
m' m dW F dr G 2 er dr r
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
3-6 功能原理 机械能守恒定律
一、质点系的动能定理
设一系统有n个质点,作用于各个质点的力所作的功分别为: W1, W2, …, Wn,使各个质点由初动能Ek10, Ek20, …, Ekn0,变成 末动能,Ek1, Ek2, …, Ekn
W1 E k 1 E k 10 W2 E k 2 E k 20 Wn E n1 E n10

3-5 保守力和非保守力资料

3-5 保守力和非保守力资料

设两个质点之间在引力作用下相对运动时 ,以M 所在处为原点,M 指向m 的方向为矢径的正方向。m受 的引力方向与矢径方向相反。 rb 1 1 1 Wab GMm 2 dr GMm EP ra r ra rb 万有引力的功等于引力势能增量的负值。 引力势能以无穷远为零势能点。
rB rB rA rA
r
dr
r dr
W dW Gmm
1 1 dr Gmm 2 r rA rB
万有引力做功只取决于质点m的起、末点位 置,而与路径无关。万有引力是保守力。
2. 重力作功 设质点m在重力作用下由A运动到B,取地面为坐标原 点,y轴向上为正,A、B的坐标分别为y1、 y2 。
m
C
L1
F
B
A
L2
D
WACB WADB F dr
ACB
ADB
F dr
(路径L1)
(路径L2)
对沿闭合路径ACBDA运动一周的物体做功为
W F dr
L ACB
F dr
BDA
F dr

BDA
§3-5 保守力与非保守力 势能
保守力:某些力对质点做功的大小只与质点的始末 位置有关,而与路径无关。这种力称为保守力。 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1.万有引力作功 如图,设万有引力存在于质 量为m和m`物体之间, m`物 体相对不动,m 物体在 m`物 体的引力场中从 A 点沿任意 路径移到 B 点。两个质点之 间在引力作用下相对运动时 ,
Mm 1 EP= r -G r 2 dr GMm r

F m r
M
o

保守力与非保守力

保守力与非保守力

1

万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
m 移动dr 时,F作元功为
A
r
m
r r
er
dr
m'
B
m' m dW F dr G 2 er dr
r
2
m' m dW F dr G 2 er dr r
A
rA
m'
r
rB
m
B
4
( 2)
弹性力作功
设原长为坐标原点, 物体在F’外,位移:x
F
' F外
P
o
x
x
弹力:F kxi dW F d x kxi dxi kxdx
W dW k x
x2
1
1 2 1 2 xdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
GmE g 2 RE
m y
Ep 0
取:E p , RE 0 有:E p , R y mgy E 重力势能:E p mgy
RE
(取地面为零势点)
15
保守力所作的功与路径无关,仅与始、 末位置有关.
7
保守力所作的功与路径无关:
A
D
则有: ACB F dr ADB F dr F dr
l ACB
A ACB F dr ADB F dr W F dr 0 保守力的环流为零
14
设:质点:m, 离地面高度为: y mmE mmE 则:E p , R y E p , R (G ) (G ) RE y RE

3-5 保守力和非保守力概述

3-5 保守力和非保守力概述
§3-5 保守力与非保守力 势能
保守力:某些力对质点做功的大小只与质点的始末 位置有关,而与路径无关。这种力称为保守力。 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1.万有引力作功 如图,设万有引力存在于质 量为m和m`物体之间, m`物 体相对不动,m 物体在 m`物 体的引力场中从 A 点沿任意 路径移到 B 点。两个质点之 间在引力作用下相对运动时 ,
0
保守力 重 力 弹 力
势能(E p ) mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep
0
势能曲线 h
Ep
kx
2
x=0
Ep
0 0
x r
引 力
mM G r
r=∞3.势能和保守力的关系: 势来自是保守力对路径的线积分,EP=

b
a
F dl
F
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
er
dr
r dr
B
m
r
rA
rB
m'
A
以 m 所在处为原点, m 指向 m 的方向为矢径的 正方向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。则万 有引力对质点所作的功为:
1 dW F dr Gmm 2 er dr r
er
er dr │ er │ │ dr │ cos │ dr │ cos dr
dW mg dr mgdy
W mgdy
y1 y2
m
y y1 y2
mg
mg ( y2 y1 ) mg ( y1 y2 )
3. 弹性力作功
o 可见,重力是保守力。
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧,弹簧的一 端固定,另一端与一质量为m的物体相连接。

ch3-4 势能 机械能守恒定律

ch3-4 势能 机械能守恒定律
对质点系: 对质点系:
A外 + A内 = ∆Ek
质点系动能定理
A保内+ A非保内
A外 + A保内+ A非保内 =∆Ek
A保内 = - ( EP末 − EP初 )= − ∆EP
A外 − ∆Ep + A非内 = ∆Ek A外 + A非内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆E 功能原理
系统机械能增量
五. 机械能守恒定律
K是常数,r为二者 是常数, 为二者 是常数 之间距离, 是不是保守力?若是求二者相距 时的势能。 相距r时的势能 之间距离 问F是不是保守力?若是求二者相距 时的势能。
F =k/r
3
分析: 判断是不是保守力应该分析 分析: 作功是否与路径无关 解: 假设质点 从a点沿任意路径到 假设质点m从 点沿任意路径到 点沿任意路径到b
对于一个系统
A外 + A非内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆E
系统机械能增量
对系统作的总功 当 A外 + A非内 = 0 则
∆E = 0
提示
E = Ek + Ep = 常数
说明 (1) 守恒条件 A非内 = ∆E += E A外 + A外 + A非内 ∆0
k
机械能守恒定律
A保内 = - ( EP末 − EP初 )= − ∆EP


x
x
(2) 质点在球内任一点 ,与 质点在球内任一点C, 球心距离为x, 球心距离为 ,系统的万有引 力势能为多少: 力势能为多少:
M R O m x
4 3 4 2 f内 =G πx ρm/ x = G πρmx 3 R 3 R 4 f dx + ∞ f∞ dx Mm E G 内 Ep = ∫ p−= ∫x πρmxdx∫R ∫ 外 G 2 dx + − x R 3 x Mm f (1) 质点在球外任一点 ,2 质点在球外任一点C 与球心距离为 , 外 = G x2 与球心距离为x, 4、某状态时系统势能等于系 Mm 、 −G 2 πρm(R2 − x ) − G = 系统的万有引力势能为多少: 系统的万有引力势能为多少: R 统从该状态变化到零势能状态 统从该状态变化到零势能状态 3 时保守内力所作的功。 时保守内力所作的功。 Mm 3R2 − x2 R f= = −GMm(G v 2 3 ) m M0 x v 2⋅ d Ep = ∫ F R r O M ∞ Mm Mm,也可以说 在保守场存在的情况下 ●在保守场存在的情况下, Ep =势能属于场与场中与场作用的物体。 ∫x −G x2 dx = −G x 势能属于场与场中与场作用的物体。

3-5 保守力与非保守力 势能

3-5 保守力与非保守力 势能

EP Fx = x
EP Fy = y
EP Fz = z
EP EP EP F = Fx i + Fy j + Fz k = x i + y j + z k
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
v v ∫ F dr = ∫
l

ACB
v v F dr = ∫
ACB
v v F dr + ∫
ADB
v v F dr
BDA
A
C
v v F dr
l 第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
v v ∫ F dr = 0
D B
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 第二版) (第二版)
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的 物体沿闭合路径运动 一周时 保守力对它所作的 闭合 功等于零 .
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3 – 5 保守力与非保守力 势能
物理学教程 第二版) (第二版)
三 势能 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 。 重力功 重力势能 重力功 重力势能
W = (mgyB mgyA )
引力功 引力功
E p = mgz
引力势能 引力势能
m m'' m Ep = G r 弹力功 弹性势能 弹力功 弹性势能 1 2 1 2 1 2 E p = kx W = ( kx B kx A ) 保守力的功等于势能增量的负值 2 2 2
v v m移动dr 时, 作元功为 移动 F
m
m'
O
A
v r (t)
v dr
v r (t + dt)
v v m' m v v dW = F dr = G 2 er dr r
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一、万有引力、重力、弹性力作功的特点
1 万有引力作功
如上图所示,有两个质量为m m ' 和的质点,其中质点m ' 固定不动。

取m ' 的位置为坐标原点,A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ,万有引力作的功为
)11(A B r r m m G W -'= (3-10)
上式表明,当质点的质量m m ' 和均给定时,万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了
的位置,而与所经过的路径无关。

这是万有引力作功的一个重要特点。

扩充内容:计算万有引力作的功
设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ,其位矢为r ,这时质点m 受到质点m '的万有引力为
r 2
e F r m m G '-=r e 为沿位矢r 的单位矢量,当m 沿路径移动位移元r d 时,万有引力作的功为r e r F d d d r 2⋅'-=⋅=r
m m G W
从图可以看出
r
d cos d cos d d r r ===⋅θθr r
e r e 于是,上式为
r r m m G W d d 2
'-= 
所以,质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中,万有引力作的功为
⎰⎰'-==B A r r B A r r m m G W W 2
d 1d

2 重力作功
如右图所示,一个质量为m 的质点,在重力作
用下从点A 沿ACB 路径至点B ,点A 和点B 距地
面的高度分别为21 y y 和,计算重力作功为
()12mgy mgy W --= (3-11)
上式表明,重力作功只与质点的起始和终了位
置有关,而与所经过的路径无关,这是重力作功的
一个重要特点。

扩充内容: 计算重力作的功
因为质点运动的路径为一曲线,所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。

我们把路径ACB 分成许多位移元,在位移元r d 中,重力P 所作的功为
r
P d d ⋅=W
若质点在平面内运动,按图所选坐标,并取地面上某一点为坐标原点O ,有
j
i r y x d d d += 
且j P mg -=。

于是,前式为
y
mg y x mg W d )d d ( d -=+⋅-=j i j
质点由点A 移至点B 的过程中,重力作的总功为
)(d 12 21
y y mg y mg W y y --=-=⎰ 

)
(12mgy mgy W --=3 弹性力作功
下图所示是一放置在光滑平面上的弹簧,弹簧的一端固定,另一端与一质量为m 的物体相连接。

当弹簧在水平方向不受外力作用时,它将不发生形变,此时物体位于点O (即位于0=x 处),这个位置叫做平衡位置。

现以平衡位置O 为坐标原点,向右为Ox 轴正向。

弹簧伸长量由1x 变到2x 时,计算弹性力对物体的作的功为
)2121(2122kx kx W --= (3-12)
式中k 为弹簧的劲度系数。

从式(3-12)可以看出,对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说,弹性力作的功只由弹簧起始和终了的位置(1x 和2x )决定,而与弹性形变的过程无关。

扩充内容: 计算弹性力对物体所作的功
若物体受到沿Ox 轴正向的外力F '作用,弹簧将沿Ox 轴正向被拉长,弹簧的伸长量即其位移为x 。

根据胡克定律,在弹性限度内,弹簧的弹性力F 与弹簧的伸长量x 之间的关系为
i
F kx -= 
式中k 称为弹簧的劲度系数。

在弹簧被拉长的过程中,弹性力是变力。

但弹簧位移为x d 时的弹性力F 可近似看成是不变的。

于是,弹簧位移为x d 时,弹性力作的元功为
i
i i i x F ⋅-=⋅-=⋅=x kx x kx W d d d d

x
kx W d d -=
这样,弹簧的伸长量由21 x x 变到时,弹性力所作的功就等于各个元功之和。

由积分计算可得
⎰⎰-==2
1 d d x x x x k W W 二、 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
从上述对重力、万有引力和弹性力作功的讨论中可以看出,它们所作的功只与物体(或弹簧)的始、末位置有关,而与路径无关。

这是它们作功的一个共同特点。

我们把具有这种特点的力叫做保守力。

除了上面所讲的重力、万有引力和弹性力是保守力外,电荷间相互作用的库仑力和原子间相互作用的分子力也是保守力(参阅第6-1节和第7-5节)。

保守力作功与路径无关的特性还可以用另一种方式来表示:物体沿任意闭合路径运动一周时,保守力对它作功为零,即
⎰=⋅=0d r F W (3-13)
式(3-13)是反映保守力作功特点的数学表达式。

然而,在物理学中并非所有的力都具有作功与路径无关这一特点,例如常见的摩擦力,它所作的功就与路径有关,路径越长,摩擦力作的功也越大。

显然,摩擦力就不具有保守力作功的特点。

我们把这种作功与路径有关的力叫做非保守力。

三、势能
1 从上面关于万有引力、重力和弹性力作功的讨论中,我们知道这些保守力作功均只与物体的始末位置有关,为此,可以引入势能概念。

我们把与物体位置有关的能量称作物体的势能,用符号P E 表示。

于是,三种势能分别为
重力势能 mgy E =P
引力势能
r m m G E '-=P (3-14)弹性势能 2P 2
1kx E = 
式(3-10)、式(3-11)、和式(3-12)可统一写成
P P1P2)(E E E W ∆-=--= (3-15)
上式表明,保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。

2 对势能概念的进一步讨论
讨论:
1重力势能 (通常把质点在地球表面附近的引力势能叫做重力势能)
设地球半径为E R ,质量为E m 。

质点m 处在地球表面h 处,与处在地球表面处的引力势能之差为 )11(
)()(E
E E E P E P R h R Gmm R E h R E -+-=-+ )
(E E E
h R R h Gmm += 
由于质点m 放在地球表面附近,故2E E E )(R h R R ≈+,上式可近似写成
h
R mm G R E h R E 2E E
E P E P )()(≈-+ 
由于地球表面附近重力加速度的值2E E /R Gm g =,且取地球表面作为重力势能零点,即0)(E P =R E ,那么从上式可得质点在地球表面h 处的引力势能即重力势能为
mgh
h R E =+)(E P
可见,改变引力势能零点,引力势能的表述式也改变了。

2势能的进一步讨论
(1)势能是状态的函数。

在保守力作用下,只要物体的起始和终了位置确定了,保守力所作的功也就确定了,而与所经过的路径是无关的。

所以说,势能是坐标函数,亦即是状态的函数,
即),,(P P z y x E E =。

前面还说过,动能亦是状态的函数,),,(z y x k k v v v E E =。

(2)势能的相对性。

势能的值与势能零点的选取有关。

一般选地面的重力势能为零,引力势能的零点取在无限远处,而水平放置的弹簧处于平衡位置时,其弹性势能为零。

当然,势能零点也可以任意选取,选取不同的势能零点,物体的势能就将具有不同的值。

所以,通常说势能具有相对意义。

但也应当注意,任意两点间的势能之差却是具有绝对性的。

(3)势能是属于系统的。

势能是由于系统内各物体间具有保守力作用而产生的。

因而它是属于系统的。

单独谈单个物体的势能是没有意义的。

例如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。

如果没有地球对物体的作用,也就谈不上重力作功和重力势能问题,离开了地球作用范围的宇宙飞船,也就无所谓重力势能。

同样,弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。

应当注意,在平常叙述时,常将地球与物体系统的重力势能说成是物体的,这
只是为了叙述上的简便,其实它是属于地球和物体系统的。

至于物体的引力势能和弹性势能,也都是这样。

四、思考题
1.保守力作的功总是负的,对吗?举例说明。

2、把物体抛向空中,有哪些力对它作功,这些力是否都是保守力?。

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