(完整版)对勾函数详细分析

对勾函数的性质及应用

、 对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x

质：

1. 定义域： ( ,0) (0, )

2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )

原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0

即 f (x) 在 x= b

时，取最小值 2 ab a

、 对勾函数的变形形式

2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )

3.

奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 对勾”的形状，且函数图像关

于

4.

图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y ax

b

2 ab (当且仅当 x b

取等号)， 由奇函数性质知：当

x <0 时， f (x) 在 x= b

时，取最大值 2 ab a 5.

单调性：增区间为(

,

b

) ,a

, 减区间是( 0 ，

类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质

1. 定义域： ( ,0) (0, )

0)的图像与性

3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状

4. 图像在二、四象限, 当x<0时，

f （x）在x= b时，取最小值 2

ab；当x 0时，a

f（x）在x= b时，取最大值 2 ab

a

5. 单调性：增

区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a,

b a)

类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x

① a 0,b 0 作图如下

1. 定义域：（ ,0）（0, ）

2. 值域：R

3. 奇偶性：奇函数

4. 图像在二、四象限，无

最大值也无最小值.

5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ）

② a 0,b 0 作图如下：

1. 定义域：( ,0) (0, )

2. 值域：R

3. 奇偶性：奇函数

4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值

5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ）

2

此类函数可变形为 f(x) ax c

b ，可由对勾函数 y ax

c 上下平移得到 x x

2

练习 1.函数 f(x) x x 1 的对称中心为

x

类型四： 函数 f (x) x a (a 0,k 0)

xk

此类函数可变形为 f (x) (x k a ) k ，则 f ( x)可由对勾函数 y x a 左右平移， x k x 上

下平移得到

练习 1. 作函数 f(x) x 1 与 f(x) x 3 x 的草图

x 2 x 2

2. 求函数 f (x) x 1 在 (2, )上的最低点坐标

2x 4 3. 求函数 f(x) x x 的单调区间及对称中心

x1

a. 若 a 0 ，图像如下：

1．定义域：( , ) 2. 值域：[ a 2 b ,a 2 b ]

3. 奇偶性：奇函数 .

4. 图像在一、三象限 . 当 x 0时， f (x) 在x b 时， 取最

大值 a ，当 x<0 时， f(x)在 x= b 时，取最小值 a

2 b 2 b

5. 单调性：减区间为( b, )，( , b )；增区间是 [ b, b]

类型三

函数 f(x)

ax 2 bx c

(ac 0)

x

类 型 五 ： 函数 a

f(x) 2 xb

x

( )

ax

f (x)

2

x

a b x

x

b (a 0,b 0) 。此类 函数定义域为

R ， 且可变形 为

练习 1.函数f(x) x2 1的在区间2,上的值域为

b. 若 a 0，作出函数图像：

1．定义域：( , ) 2. 值域[ a 1 ,a 1 ] 3. 奇偶性：奇函数

2 b 2 b

4. 图像在一、三象限.

当x 0 时，f (x) 在x b时，取最小值a，

2b

当x<0 时，f (x) 在x= b 时，取最大值a

2b

5. 单调

增区间为( b, )，( , b )；减区间是[ b, b]

性：

练习 1.如 a 1 22x x 1,2 ，则的取值范围是

x4

2

类型六：函数f(x) ax2 bx c(a 0) . 可变形为xm

2

f(x) a(x m)2 s(x m) t a(x m) t s(at 0)，

x m x m

则f(x) 可由对勾函数y ax t左右平移，上下平移得到

x

2

练习 1.函数f(x) x x 1由对勾函数y x 1向 (填“左”、“右”)平x 1 x

移 单位，向 (填“上”、“下”)平移

单位 .

2

2.已知 x 1 ，求函数 f(x) x 2

7x 10的最小值； x1

2

3.已知 x 1 ，求函数 f(x) x 2

9x 9的最大值

x1

函数 f(x) 2

x m

(a 0)

ax 2

bx c

练习 1.求函数 f(x) 2x 1 在区间 (1, )上的最大值；若区间改为 [4,

x 2

x 2

最大值为

2

2.求函数 f(x) x 2 2x 3在区间 [0, )上的最大值

x 2

x 2

类型八： 函数 f(x) x b . 此类函数可变形为标准形式： xa

x a b a b a f(x) x a (b a 0)

x a x a

练习 1.求函数 f(x) x 3

的最小值；

x1

2．求函数 f(x) x 5 的值域；

x1

3.求函数 f(x) x

x 3

2的值域

2

类型九： 函数 f(x) x 2

b (a 0)。此类函数可变形为标准形式：

2

xa

22

( x a) b a 2 b a f(x) 2 x a 2 (b a o)

x 2 a x 2 a

2

练习 1. 求函数 f (x) x 5 的最小值；

x 2 4

2. 求函数 f(x) x

2x 2 17

1的值域

类型七：

) 则 f(x) 的