平面向量共线的坐标表示练习题

[例 2] (1)若点 A(1，－3)，B8，12，C(x,1)共线，则 x＝ ________.
(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC ＝(10，k)，求当 k 为 何值时，A、B、C 三点共线．
(1)[解析] AB＝7，72， AC ＝(x－1,4)． ∵A，B，C 共线，∴ AB与 AC 共线 ∴7×4－72(x－1)＝0，解得 x＝9. [答案] 9
[答案] A
[活学活用] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，(ka＋b)∥(a－ 3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？ 解：∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)， ∴ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)． 由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13. 此时 ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)， ∴当 k＝－13时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反.
向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理，由 a＝λb(b≠0)推出 a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式 x1y2－x2y1＝0 直接求解．
[随堂即时演练]
1．已知 a＝(－1,3)，b＝(x，－1)，且 a∥b，则 x＝( )
A．3
B．－3
1 C.3 解析：选 C
D．－13 ∵a∥b，∴(－1)×(－1)＝3x，∴x＝13.
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－ 1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa＋μb)∥(a＋b)， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ
4．已知 A(－1,4)，B(x，－2)，若 C(3,3)在直线 AB 上，则 x＝ ________. 解析： AB＝(x＋1，－6)， AC ＝(4，－1)， ∵ AB∥ AC ，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23. 答案：23
2．已知 A(2，－1)，B(3,1)，则与 AB平行且方向相反的向量 a
是
()
A．(2,1)
B．(－6，－3)
C．(－1,2)
D．(－4，－8)
解析：选 D AB＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2) 与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若 λa＋μb 与 a＋b 共线，则 λ 与 μ 的关系是________．
∴yx＝＝－2＋11＋231＋×＋2323×23－31，，
即xy＝＝3545.，
故 P 点坐标为54，35.
(2)当 P1P 与 PP2 反向时，则有 P1P ＝－23 PP2 ，设 P 点坐
9.错用两向量共线的条件致误
[典例] 已知 P1(2，－1)，P2(－1,3)，P 在直线 P1P2 上，且 | P1P |＝23| PP2 |.则 P 点的坐标为________．
[解析] (1)当 P1P 与 PP2 同向时， 则有 P1P ＝23 PP2 ，设 P 点坐标为(x，y)， P1P ＝(x－2，y＋1)， PP2 ＝(－1－x,3－y)． ∴(x－2，y＋1)＝23(－1－x,3－y)，
(2)[解] 法一：若 A，B，C 三点共线，则 AB， AC 共线， 则存在实数 λ，使得 AB＝λ AC ， ∵ AB＝OB－OA＝(4－k，－7)， AC ＝OC －OA＝(10－k，k－12)． ∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即4－－7k＝＝λλk1－0－12k，， 解得 k＝－2 或 k＝11. ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
所以(x1＋1，y1)＝23，23，故 E－13，23；
因为 BF ＝13 BC ， 所以 BF ＝－23，1，所以(x2－3，y2＋1)＝－23，1， 故 F73，0. 所以 EF ＝83，－23. 又因为 4×－23－83×(－1)＝0， 所以 EF ∥ AB.
[例 1] (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a
－2b)，则 λ 的值等于
()
1 A.2 C．1
1 B.3
D．2
(1)[解析] 法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得 2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得 λ＝12.
法二：假设 a，b 不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得 a ＋2b＝μ(2a－2b)，从而12＝＝2－μ2，μ， 方程组显然无解，即 a＋ 2b 与 2a－2b 不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设 不成立，故应有 a，b 共线，所以1λ＝21，即 λ＝12.
法二：由题意知 AB， AC 共线， ∵ AB＝OB－OA＝(4－k，－7)， AC ＝OC －OA＝(10－k，k－12)， ∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， ∴k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 k＝11. ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
[类题通法] 三点共线的实质与证明步骤
5．已知 A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,2)，并且 AE ＝13 AC ，BF ＝
1 3
BC
，求证：
EF
∥
AB
.
证明：设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，
依题意有 AC ＝(2,2)， BC ＝(－2,3)， AB＝(4，－1)．
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因为 AE ＝13 AC ，
所以 AE ＝23，23，
(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量 共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行 是一致的．
(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成： ①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
[活学活用] 已知点 A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)． (1)求实数 x 的值，使向量 AB与CD共线； (2)当向量 AB与CD共线时，点 A，B，C，D 是否在一条直线上？