反函数知识点总结讲义教案
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班级：一对一 所授年级+科目： 高一数学 授课教师： 课次：第 次 学生：
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教学目标 理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题． 教学重难点
反函数的求法，反函数与原函数的关系．
反函数知识点总结教案
【知识整理】 一．函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量x 和y ,并且对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则, y 都有唯一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数， x 就叫做自变量， x 的取值范围D 称为函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合A 叫做函数的值域，记为：)(x f y = x ∈D. 二．反函数定义
一般地，函数)(x f y = (x ∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x , y 的关系，用y 把x 表示出，得到)(y x ϕ= ,如果对于 y 在 A 中的任何一个值，通过)(y x ϕ= , x 在D 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ= 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数
)(y x ϕ= （y ∈A)叫做函数)(x f y = ( x ∈D)的反函数.记作：)(1
y f
x -=
反函数)(1
y f x -=中，x 为因变量，y 为自变量，为和习惯一致，将x , y 互换得： )(1
x f y -=
( x ∈A).
注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 三．主要方法：
1．求反函数的方法步骤：
①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域； ②由)(x f y =反解出)(1
y f x -= (把x 用y 表示出来)； ③将x , y 互换得： )(1
x f
y -=，并写出反函数的 定义域
2． 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数. 3． 原函数与反函数的联系
反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1
()y f
x -=互为反函
数，函数()
y f x
=的定义域为D、值域为A，则1
[()]()
f f x x x A
-=∈，1[()]()
f f x x x D
-=∈；
函数反函数
定义域 D A
值域 A D
4.互为反函数的函数图象间的关系
一般地，函数)
(x
f
y=的图像和它的反函数)
(1x
f
y-
=的图像关于直线y=x对称，其增减性相同.
释意：如果点(a,b)在函数)
(x
f
y=的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数)
(1x
f
y-
=的图像上。换言之，如果函数)
(x
f
y=的图像上有点(a,b)，那么它的反函数)
(1x
f
y-
=的图像上必然有点(b,a).
1．求下列函数的反函数：
（1）2
()(1)
f x x x x
=+≤-；（2）
2
2
1(01)
(){
(10)
x x
f x
x x
-≤≤
=
-≤<
.
解：（1）由2(1)
y x x x
=+≤-得22
11
()(1)
24
y x x
=+-≤-，
∴2
11
(0)
24
x y y
+=-+≥，∴所求函数的反函数为2
11
(0)
24
y x x
=--+≥．
（2）当01
x
≤≤时，得1(10)
x y y
=+-≤≤，当10
x
-≤<时，
得(01)
x y y
=-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)
(01)
x x
y
x x
⎧+-≤≤
⎪
=⎨
-<≤
⎪⎩
．
2．函数
11
(,)
1
ax
y x x R
ax a
-
=≠-∈
+
的图象关于y x
=对称，求a的值．
解：由
11
(,)
1
ax
y x x R
ax a
-
=≠-∈
+
得
1
(1)
(1)
y
x y
a y
-
=≠-
+
，∴1
1
()(1)
(1)
x
f x x
a x
-
-
=≠-
+
，由题知：1
()()
f x f x
-
=，
11
(1)1
x ax
a x ax
--
=
++
，∴1
a=．
)
(x
f
y=)
(1x
f
y-
=