地球物理中常用数值解法基本原理-有限元素法
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极小，即要给出 u 属于哪一个函数空间。从位能的计算公式看出，为 使积分有意义，必须对 u，f 作必要的限制。但又不能限制过严而把取
极小值的函数 u* u* x 排斥在外。因此，适当地选取函数空间十分
重要。这样的空间称为 Sobolev（索波列夫）空间。
设 I a,b, I a,b 。用 L2 I 表示由定义在 I 上的平方可
点不等式），
则 x, y 称为 x，y 之间的距离，R 称为距离空间。
设 f x 是距离空间 X 到 R1(数轴)的映射，则称 f x 为泛
函。
第一节 几个基本概念
线性空间： 设 k 是实（或复）数域，若下列条件成立，便称 X 为一实（复）
线性空间：
1）可以在集合 X 中定义加法运算，即对任何 x, y, z X ，则 x y X ，且满足 x y y x （交换律），
第一节 几个基本概念
有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。
第一节 几个基本概念
测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接推广。
积的可测函数组成的空间，内积和范数分别为
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡
L2 I 关于“加法”及“数乘”运算是线性空间，关于（，）是完全内 积空间，因此 L2 I 是 Hilbert（希尔伯特）空间。
定义
f 是 f 的广义导数。 H 1 I 是线性空间。于 H 1 I 引进内积
在线性赋范空间中，可以用范数定义距离：
若 x, y X ,则 x, y x y
第一节 几个基本概念
内积空间：
设 H 是实数域 R1 上的线性空间，若对其中任意元素 x, y H ,
可以定义一个实数，记为 x y ，它满足以下四条公理： 1） ax y a x y （ a R1 的任意实数）；
例子：有理数空间不是完备的，因为 2 的有限位小数表
示是一个柯西序列，但是其极限 2 不在有理数空间内。 实
数空间是完备的，开区间(0,1)不是完备的。 正交系全在某空间中，则该空间为完备空间。 Hilbert 空间: 完备的内积空间。
第一节 几个基本概念
Lebesque（勒贝格）积分：设 y f x 是在集合 E a,b
有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后 又用于流体力学、物理学和其它工程科学。有限元法和差分 法一样，已成为求解偏微分方程，特别是椭圆型偏微分方程 的一种有效数值方法。
第一节 几个基本概念
伽辽金（Galerkin）法是由俄罗斯数学家伽辽金发明的一 种数值分析方法。应用它可以将求解微分方程问题（通过方程 所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题，从 而达到求解微分方程的目的。
Rn
使
J
x0
min
x0Rn
J
x
,
（2）求方程组 Ax＝b 的解。
正定：设A是n阶实系 数对称矩阵，如果对 任何非零向量x都有 xTAx>0，就称A正定。
泛函就是从任意的向 量空间到标量的映射。
称为 Rn 上的二次泛函或简称泛函数。
定理 1 表明，在矩阵 A 为对称正定的条件下，若 x0 是极值问
题
J
在满足边值条件的一切可能位置中，使位能取最小者。设弦处于
某一位置 u x ，计算它的位能(W 1 T 2, 为伸缩率):
2
应变位能 外力作功
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡 总位能
根据极小位能原理， u* u* x 是下列变分问题的解：
J
u*
min u
J
u
第三节 两点边值问题
和范数
H 1 I 是完全内积空间，因此是 Hilbert 空间，称之为 Sobolev（索
第一节 几个基本概念
线性赋范空间：
设 X 是线性空间，若对其中任一元素 x X ,可以引入一个与 之对应的数，记为 x ，它满足以下条件：
1） x 0 （非负性），等号只在 x 0 时成立；
2） x x （正齐次性）， 为绝对值或模；
3） x y x y （三角不等式） 称 x 为 x 的范数，称 X 为线性赋范空间。
可测函数：设 f x 是可测集 E 上的函数，若对于任意实数 a，
集合 E x f x a 也是可测集，则称 f x 是可测函数。
第一节 几个基本概念
泛函：简单地说，泛函就是定义域是一个函数，而值域是一个 实数，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。
设{y(x)}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一 函数 y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为 П(y(x))，则 П(y(x))是定义于集合{y(x)}上的一个泛函。
处取极值的必要条件
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值
若A 对称,则
2Ax0＝b
令
则二次函数 J(x)于 x0 取极值的必要条件是：x0 是线性代数 方程组 Ax＝b 的解。
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值
定理 1 设矩阵 A 对称正定，则下列两个问题等价：
（1）求
x0
确界，称为 E 的内测度，记为 m*E 。上确界表示最大的意思。
第一节 几个基本概念
m*(E)=inf{G|E包含于G且G为开集}，此乃外测度。 m*(E)=sup{F|E包含F且F为闭集}，此乃内测度。 从外面测，用一个最小的集合来套它，从内部测，用一个最 大的集合来充填它。无论内外力求严丝密缝。 可测集——设 E 是有界点集，当 E 的内测度 m*E = E 的外测 度 m*E 时，称 E 为勒贝格可测集，简称 L 可测集。
内容
第一节 几个基本概念 第二节 边值问题的变分形式 第三节 两点边值问题 第四节 Ritz-Galerkin方法 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法
第一节 几个基本概念
有限元法，实质上就是 Ritz-Galerkin法。它和传统的 Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应用样条函数方法提供 了一种选取“局部基函数”或“分片多项式空间”的新技巧， 从而在很大程度上克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有 困难。
构造微分方程数值解法的基础。为了便于理解一般形式的变分 原理，先以二次函数的极值问题为例，介绍变分问题的基本概 念和方法。
在 n 维欧氏空间 Rn 中
, y 1,2,...,n T
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值 定义 x, y 的内积为 考虑 n 个变量的二次函数
F(x) 在 x0
x0
min
x0Rn
J
x
的解，则它也是线性方程组
Ax＝b
的
解；反之亦然。
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值
为了确定并计算 x0 ，可采取两种不同的途径：
一种是求方程组 Ax=b 的解，
另一种是求泛函数 J x 的极小值所对应的 x。
求泛函J(x)的极小更有意义：
（１）因为许多数学物理问题，其直接的数学形式就是求意 义更广的“二次泛函”的极小值，只是对解作了某些“光滑 性”假设之后，才归结到微分方程； （２）即便是熟知的微分方程边值问题，也宁愿把它化为某 一“二次泛函”的极小值问题，因为从极值问题出发建立数 值解法往往更灵活方便。
E 是有界集 存在常数 M ，使对任意的 x (x1, x2, , xn ) E ，
都有| xi | M (i 1, 2, , n) .
有界集 E 的外测度—— m*E inf Ii , i 1
最小的意思。
Ii E ， inf 表示
i 1
有界集 E 的内测度——有界集 E 所包含的一切有界闭集的测度的上
伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取 有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要 求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身） 满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自 然边界条件能够自动满足。
必须强调指出的是，伽辽金法所得到的只是在原求解域内 的一个近似解。
3.1 两点边值问题——弦的平衡 确定弦的平衡位置，有两个不同形式的数学问题：
（1）变分问题
根据极小位能原理， u* u* x 是下列变分问题的解：
J
u*
min u
J
u
（2）两点边值问题
二者之间应具有某种等价关系。
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡
为了精确地表述变分问题，必须指出 J u 在哪一个函数类里取
yk yk 1
mek
令l
max k
yk
yk 1
，于是对任意
n， Sn
sn
l
mE
，从而
Sn, sn 有共同的极限，记为 S ，按 Sn sn
n k 1
yk yk 1
mek
知 ， Tn 也 有 极 限 S
。仍用积分符号 S
f xdx 。 将
E
S E f xdx 定义的积分称为 f x 在点集 E a,b 上的勒贝
n
yk-1
（4） mE mek
k 1
A
a ek
ek b x
第一节 几个基本概念
引入勒贝格积分和 Tn
n k
1
k
mek
，k
yk 1, yk
再考虑大和与小和 Sn
n k
1
yk
mek
,
sn
n k 1
yk
1mek
,
它们都是有界的，且 sn Tn Sn ,
Sn sn
n k 1
上的有界函数，它的值域是 A, B 。
在 A, B 中插入分点 A y0 y1 y2 yn B ，
考虑集合 ek x yk1 f x yk ，它是 E 的子集。
（1）所有 e1, e2 , , en 互不相交
y
（2） E e1 e2 en
B
（3）对每个 ek 可求出它的测度，记为 mek yk
2） x y z x z y z, z H ；
3） x y y x （在复线性空间中为 x y y x ）；
4） x x 0 ，等号当且仅当 x=0 时成立，
则称 x y 为 x 与 y 的内积，称 H 为内积空间。
范数 x x x
第一节 几个基本概念
完备空间： 完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间
中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，
两者都是某种“不缺点”。 在数学中，一个柯西序列是指，其元素随着序数的增加而
愈发靠近。柯西序列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度 量空间中柯西列才有意义。
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡
用 u x 表示在荷载 f x 作用下弦的平衡位置，它满足
T 是弦的张力（假定是常数）
强迫振动方程：
2u t 2
T
2u x2
f
x,t ,
为弦的线密度
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡
由力学的“极小位能原理”，弦的平衡位置（记为 u* u* x ）是
x y z x y z （结合律）；
2）对任何 , k ， x, y X ，定义数乘，即 x X ，且满足
x x x ; x x ; x y x y ; 1 x x ;
3）在 X 中存在零元素，记为“0”，它满足 x 0 x 4）对每个 x X ，存在 x 的加法逆元素，记为“-x” X ，使 x x 0
格积分。
勒贝格积分不要求被积函数连续（与黎曼积分不同）。
第一节 几个基本概念
L2 空间 由全体勒贝格平方可积函数（存在积分的函数）组成的
完备的函数空间。 它为线性空间、完备空间。
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值 边值问题的变分形式（变分法就是求泛函极值的方法。变
分问题就是求泛函的极值问题。） 数学物理中的变分原理，有重要的理论和实际意义，也是
泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的 “自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。
抽象空间中定义的函数。
第一节 几个基本概念
距离空间：
设 R 为一个非空集合，对于 R 中的任意一对元素 x，y，若有
一个确定的实数 x, y 满足 1） x, y 0 （非负性），当且仅当 x=y 时取等号； 2） x, y y, x （对称性）； 3）若 x, y, z R ，则必有 x, z x, y y, z （三
极小值的函数 u* u* x 排斥在外。因此，适当地选取函数空间十分
重要。这样的空间称为 Sobolev（索波列夫）空间。
设 I a,b, I a,b 。用 L2 I 表示由定义在 I 上的平方可
点不等式），
则 x, y 称为 x，y 之间的距离，R 称为距离空间。
设 f x 是距离空间 X 到 R1(数轴)的映射，则称 f x 为泛
函。
第一节 几个基本概念
线性空间： 设 k 是实（或复）数域，若下列条件成立，便称 X 为一实（复）
线性空间：
1）可以在集合 X 中定义加法运算，即对任何 x, y, z X ，则 x y X ，且满足 x y y x （交换律），
第一节 几个基本概念
有限元法的基本问题可归纳为： （1）把问题转化成变分形式； （2）选定单元的形状，对求解域作剖分； （3）构造基函数或单元形状函数； （4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）； （5）提供有限元方程的有效解法； （6）收敛性及误差估计。
第一节 几个基本概念
测度：有界开集和有界闭集的测度是区间长度的直接推广。
积的可测函数组成的空间，内积和范数分别为
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡
L2 I 关于“加法”及“数乘”运算是线性空间，关于（，）是完全内 积空间，因此 L2 I 是 Hilbert（希尔伯特）空间。
定义
f 是 f 的广义导数。 H 1 I 是线性空间。于 H 1 I 引进内积
在线性赋范空间中，可以用范数定义距离：
若 x, y X ,则 x, y x y
第一节 几个基本概念
内积空间：
设 H 是实数域 R1 上的线性空间，若对其中任意元素 x, y H ,
可以定义一个实数，记为 x y ，它满足以下四条公理： 1） ax y a x y （ a R1 的任意实数）；
例子：有理数空间不是完备的，因为 2 的有限位小数表
示是一个柯西序列，但是其极限 2 不在有理数空间内。 实
数空间是完备的，开区间(0,1)不是完备的。 正交系全在某空间中，则该空间为完备空间。 Hilbert 空间: 完备的内积空间。
第一节 几个基本概念
Lebesque（勒贝格）积分：设 y f x 是在集合 E a,b
有限元法首先成功地应用于结构力学和固体力学，以后 又用于流体力学、物理学和其它工程科学。有限元法和差分 法一样，已成为求解偏微分方程，特别是椭圆型偏微分方程 的一种有效数值方法。
第一节 几个基本概念
伽辽金（Galerkin）法是由俄罗斯数学家伽辽金发明的一 种数值分析方法。应用它可以将求解微分方程问题（通过方程 所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题，从 而达到求解微分方程的目的。
Rn
使
J
x0
min
x0Rn
J
x
,
（2）求方程组 Ax＝b 的解。
正定：设A是n阶实系 数对称矩阵，如果对 任何非零向量x都有 xTAx>0，就称A正定。
泛函就是从任意的向 量空间到标量的映射。
称为 Rn 上的二次泛函或简称泛函数。
定理 1 表明，在矩阵 A 为对称正定的条件下，若 x0 是极值问
题
J
在满足边值条件的一切可能位置中，使位能取最小者。设弦处于
某一位置 u x ，计算它的位能(W 1 T 2, 为伸缩率):
2
应变位能 外力作功
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡 总位能
根据极小位能原理， u* u* x 是下列变分问题的解：
J
u*
min u
J
u
第三节 两点边值问题
和范数
H 1 I 是完全内积空间，因此是 Hilbert 空间，称之为 Sobolev（索
第一节 几个基本概念
线性赋范空间：
设 X 是线性空间，若对其中任一元素 x X ,可以引入一个与 之对应的数，记为 x ，它满足以下条件：
1） x 0 （非负性），等号只在 x 0 时成立；
2） x x （正齐次性）， 为绝对值或模；
3） x y x y （三角不等式） 称 x 为 x 的范数，称 X 为线性赋范空间。
可测函数：设 f x 是可测集 E 上的函数，若对于任意实数 a，
集合 E x f x a 也是可测集，则称 f x 是可测函数。
第一节 几个基本概念
泛函：简单地说，泛函就是定义域是一个函数，而值域是一个 实数，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。
设{y(x)}是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一 函数 y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为 П(y(x))，则 П(y(x))是定义于集合{y(x)}上的一个泛函。
处取极值的必要条件
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值
若A 对称,则
2Ax0＝b
令
则二次函数 J(x)于 x0 取极值的必要条件是：x0 是线性代数 方程组 Ax＝b 的解。
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值
定理 1 设矩阵 A 对称正定，则下列两个问题等价：
（1）求
x0
确界，称为 E 的内测度，记为 m*E 。上确界表示最大的意思。
第一节 几个基本概念
m*(E)=inf{G|E包含于G且G为开集}，此乃外测度。 m*(E)=sup{F|E包含F且F为闭集}，此乃内测度。 从外面测，用一个最小的集合来套它，从内部测，用一个最 大的集合来充填它。无论内外力求严丝密缝。 可测集——设 E 是有界点集，当 E 的内测度 m*E = E 的外测 度 m*E 时，称 E 为勒贝格可测集，简称 L 可测集。
内容
第一节 几个基本概念 第二节 边值问题的变分形式 第三节 两点边值问题 第四节 Ritz-Galerkin方法 第五节 椭圆和抛物型方程的有限元法
第一节 几个基本概念
有限元法，实质上就是 Ritz-Galerkin法。它和传统的 Ritz-Galerkin法的主要区别在于，它应用样条函数方法提供 了一种选取“局部基函数”或“分片多项式空间”的新技巧， 从而在很大程度上克服了Ritz-Galerkin法选取基函数的固有 困难。
构造微分方程数值解法的基础。为了便于理解一般形式的变分 原理，先以二次函数的极值问题为例，介绍变分问题的基本概 念和方法。
在 n 维欧氏空间 Rn 中
, y 1,2,...,n T
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值 定义 x, y 的内积为 考虑 n 个变量的二次函数
F(x) 在 x0
x0
min
x0Rn
J
x
的解，则它也是线性方程组
Ax＝b
的
解；反之亦然。
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值
为了确定并计算 x0 ，可采取两种不同的途径：
一种是求方程组 Ax=b 的解，
另一种是求泛函数 J x 的极小值所对应的 x。
求泛函J(x)的极小更有意义：
（１）因为许多数学物理问题，其直接的数学形式就是求意 义更广的“二次泛函”的极小值，只是对解作了某些“光滑 性”假设之后，才归结到微分方程； （２）即便是熟知的微分方程边值问题，也宁愿把它化为某 一“二次泛函”的极小值问题，因为从极值问题出发建立数 值解法往往更灵活方便。
E 是有界集 存在常数 M ，使对任意的 x (x1, x2, , xn ) E ，
都有| xi | M (i 1, 2, , n) .
有界集 E 的外测度—— m*E inf Ii , i 1
最小的意思。
Ii E ， inf 表示
i 1
有界集 E 的内测度——有界集 E 所包含的一切有界闭集的测度的上
伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取 有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要 求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身） 满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自 然边界条件能够自动满足。
必须强调指出的是，伽辽金法所得到的只是在原求解域内 的一个近似解。
3.1 两点边值问题——弦的平衡 确定弦的平衡位置，有两个不同形式的数学问题：
（1）变分问题
根据极小位能原理， u* u* x 是下列变分问题的解：
J
u*
min u
J
u
（2）两点边值问题
二者之间应具有某种等价关系。
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡
为了精确地表述变分问题，必须指出 J u 在哪一个函数类里取
yk yk 1
mek
令l
max k
yk
yk 1
，于是对任意
n， Sn
sn
l
mE
，从而
Sn, sn 有共同的极限，记为 S ，按 Sn sn
n k 1
yk yk 1
mek
知 ， Tn 也 有 极 限 S
。仍用积分符号 S
f xdx 。 将
E
S E f xdx 定义的积分称为 f x 在点集 E a,b 上的勒贝
n
yk-1
（4） mE mek
k 1
A
a ek
ek b x
第一节 几个基本概念
引入勒贝格积分和 Tn
n k
1
k
mek
，k
yk 1, yk
再考虑大和与小和 Sn
n k
1
yk
mek
,
sn
n k 1
yk
1mek
,
它们都是有界的，且 sn Tn Sn ,
Sn sn
n k 1
上的有界函数，它的值域是 A, B 。
在 A, B 中插入分点 A y0 y1 y2 yn B ，
考虑集合 ek x yk1 f x yk ，它是 E 的子集。
（1）所有 e1, e2 , , en 互不相交
y
（2） E e1 e2 en
B
（3）对每个 ek 可求出它的测度，记为 mek yk
2） x y z x z y z, z H ；
3） x y y x （在复线性空间中为 x y y x ）；
4） x x 0 ，等号当且仅当 x=0 时成立，
则称 x y 为 x 与 y 的内积，称 H 为内积空间。
范数 x x x
第一节 几个基本概念
完备空间： 完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间
中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，
两者都是某种“不缺点”。 在数学中，一个柯西序列是指，其元素随着序数的增加而
愈发靠近。柯西序列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度 量空间中柯西列才有意义。
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡
用 u x 表示在荷载 f x 作用下弦的平衡位置，它满足
T 是弦的张力（假定是常数）
强迫振动方程：
2u t 2
T
2u x2
f
x,t ,
为弦的线密度
第三节 两点边值问题
3.1 两点边值问题——弦的平衡
由力学的“极小位能原理”，弦的平衡位置（记为 u* u* x ）是
x y z x y z （结合律）；
2）对任何 , k ， x, y X ，定义数乘，即 x X ，且满足
x x x ; x x ; x y x y ; 1 x x ;
3）在 X 中存在零元素，记为“0”，它满足 x 0 x 4）对每个 x X ，存在 x 的加法逆元素，记为“-x” X ，使 x x 0
格积分。
勒贝格积分不要求被积函数连续（与黎曼积分不同）。
第一节 几个基本概念
L2 空间 由全体勒贝格平方可积函数（存在积分的函数）组成的
完备的函数空间。 它为线性空间、完备空间。
第二节 边值问题的变分形式
2.1 二次函数的极值 边值问题的变分形式（变分法就是求泛函极值的方法。变
分问题就是求泛函的极值问题。） 数学物理中的变分原理，有重要的理论和实际意义，也是
泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的 “自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。
抽象空间中定义的函数。
第一节 几个基本概念
距离空间：
设 R 为一个非空集合，对于 R 中的任意一对元素 x，y，若有
一个确定的实数 x, y 满足 1） x, y 0 （非负性），当且仅当 x=y 时取等号； 2） x, y y, x （对称性）； 3）若 x, y, z R ，则必有 x, z x, y y, z （三