基于线性规划思想解决非线性规划问题的研究

基于线性规划思想解决非线性规划问题的研究

---非线性规划问题的图解法思想

摘要：本文主要阐述如何将部分非线性规划模型转化成线性规划的模型，以及根据非线性规划问题的题型来利用线性规划的思想进行求解，主要包括非线性规划的以下三个题型：几何问题、函数问题、不等式问题。笼统来说，线性规划的常用解题思想---图解法就是找到决策变量、约束条件，目标函数以及可行域，这样就可以缩小我们的目标范围，降低我们的难度。

关键词：线性规划；非线性规划；数形结合；图解法

Abstract:This paper mainly describes how to convert partial nonlinear programming models into linear programming models, and solve the problems of nonlinear programming based on the concept of linear programming. These problems mainly include the following three types of nonlinear programming: geometric problems, Function problems, inequality problems. In general, the commonly used problem solving concept of linear programming—the graphical method—is to find decision variables, constraints, objective functions, and feasible regions. This can narrow our target range and reduce our difficulty.

Key words: Linear programming; Nonlinear programming;Number-form combination；Graphic method

目录

摘要 (Ⅰ)

Abstract (Ⅰ)

目录 (Ⅱ)

1 绪论 (1)

1.1 线性规划 (1)

1.1.1 建立线性规划模型 (1)

1.1.2 线性规划常用解决方法---图解法 (1)

1.2 非线性规划 (3)

2 利用线性规划思想解决非线性规划问题 (3)

2.1 能转化线性规划模型的非线性规划模型 (3)

2.1.1 问题的假设 (3)

2.1.2 模型的标准化及求解 (3)

2.2 根据图解法思想解决非线性规划问题 (5)

2.2.1 几何题型 (5)

2.2.2 函数题型 (6)

2.2.3 不等式题型 (7)

3 结束语 (8)

1 绪论

1.1 线性规划

1.1.1 建立线性规划的模型

根据具体事例具体分析来抽取其中的数学模型有以下的三个步骤：

1．找到属于它的决策变量，根据事例要求写出其约束条件以及目标函数。

2．根据约束条件描绘出其确定下来的可行域。

3．最后，在可行域中去寻找目标函数的最优值以及最优解。

当我们得到的数学模型的目标函数是线性函数，以及约束条件是线性等式或

者是线性不等式的时候，我们称这个数学模型是线性规划模型。

1.1.2 线性规划常用解决方法---图解法

我们根据具体事例来具体分析可以建立一个数学模型如下：

12max 2=+W x x

1212

122212520..416,0

x x x s t x x x +≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 第一步：建立一个直角坐标系，将所有约束条件在直角坐标系上表示出来。

x 16≤

1515x ≤

图 1-1 约束条件

第二步：根据直角坐标系上约束条件所画出来的图形，可以确定满足约束条件的

解的范围，也就是我们通常说的可行域，我们的最优值以及最优解都必须在可行

域去寻找，这样才可以完全满足约束条件，如果约束条件没有公共区域，那我们

就说这个事件没有最优值和最优解；如果约束条件有属于它的公共区域，那我们

就说这个事件有最优值以及最优解，且它的最优值和最优解在约束条件所确定的

公共区域内。

如图1-1可以看出黄色阴影部分即为约束条件的公共区域，称之为可行域。

第三步：在直角坐标系上，绘制出目标函数的线段。

W=6 W=7 W=8 W=9

图1-2 目标函数

从上图1-2可以看出，上图中的平行的线段距离原点越远，W 的值就会越大。

如果 、 没有限制，W 的取值就会无限变大。可是在对待所有的线性规划的问

题中， 、 取值的范围是一定会具有限制的，即图1-1阴影可行域所包含的范

围。 第四步：在可行域中根据目标函数的线段来确定最优解以及最优值。

将图1-1与图1-2结合起来，可以发现，题中目标函数与凸多边形相切于 ，

该点可由直线方程2515x ≤和 122212x x +≤得到，为()()12,3,3x x =。将其代入目标

函数得到9W =。