多元分布函数的性质

目录

引言 (4)

第一章分布函数的定义及性质 (5)

1.1分布函数的定义 (5)

1.2 分布函数的基本性质 (6)

1.3 随机变量分布函数的可导性 (10)

1.4分布函数的其他应用 (10)

第二章多元随机变量的分布函数 (14)

2.1多元分布函数的定义 (14)

2.2多元分布函数的性质 (15)

结束语 (23)

致谢 (24)

参考文献 (25)

多元分布函数的性质

摘要随机变量的分布函数)(x

F是x的一个普通实函数，它完整描述了随机变量的统计规律性，通过它人们就可以利用数学分析的方法来全面研究随机变量。了解掌握了分布函数就能研究出随机变量在某一区间内取值的概率情况。分布函数具有相当好的性质，有利于进行数学处理。在多数教科书中对于多元分布函数的性质只是简单的列出，针对于此现象，本文对多元分布函数的性质进行了详细证明，同时举了相应的例子以便于更好得理解。

关键词随机变量；分布函数；多元分布函数；性质；证明

The properties of the multivariate distribution function

Abstract Random variable distribution function is a common real function, it completely describe the statistical regularity of a random variable, through which people can make use of the mathematical analysis method to comprehensive study of random variables. Understanding of the random variable distribution function can be figured out in a certain interval probability values. Distribution function has fairly good property, beneficial to mathematic processing. Distribution function has fairly good property, beneficial to mathematic processing. In most of the textbooks for the properties of the multivariate distribution function is simply to list, for this phenomenon, this paper deals with the properties of the multivariate distribution function in detail to prove, at the same time the corresponding examples in order to better understand.

Key words A random variable; Distribution function; Multivariate distribution functions; Properties; Prove it.

引言

对于离散型的随机变量，其取值的概率分布情况可用分布列来描述，对于连续型随机变量，其取值的概率分布情况则由密度函数的积分来描述，还有连续取值而非连续型（即密度函数不存在）或混合型，则用分布函数来描述随机变量取值的概率分布情况，从而便于理论的研究。

在生产实际和理论研究中，都常常会遇到这种情况：需要同时用几个随机变量才能较好地描绘某一试验或现象，就需要多元分布函数。

分布函数能全面地表示函数的分布，用分布函数能方便地计算出各种事件的概率，概率的计算转化为对分布函数的运算。分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性，并且分布函数具有良好的性质，它使得许多概率论问题得以简化而归结为函数的运算，因此掌握好分布函数是研究随机变量的有效方法．所以我们要对性质进行深入地分析证明，以便进行数学处理。

第一章 分布函数的定义及性质

1.1分布函数的定义

定义 1.1.1 设ξ是一个随机变量，x 是任意实数，令)(x F ={}p x ξ<，则称

)(x F 为ξ的分布函数.

也可定义为

定义 1.1.2 设ξ是一个随机变量，x 是任意实数，令)(x F ={}p x ξ≤，则称

)(x F 为ξ的分布函数.

由定义1立即可以得到：当a b <时，

{}()()p a b F b F a ξ≤<=- 事实上，因为

{}{}{}a b b a ξξξ≤<=<-<， 且

{}{}a b ξξ<⊂< 故 {}{}{}P a b P b P a ξξξ≤<=<-< ()()F b F a =-

定义1.1.3 对于离散型随机变量，其分布函数为(){}k k

F x p x x x

ξ<=

=∑,其

中求和是对所有满足不等式x x k <的指标k 进行的

定义1.1.4 对于连续性随机变量，其分布函数为()()x F x f t dt -∞

=⎰

，R x ∈.

1.2 分布函数的基本性质

定理1.2.1 设()F x 为随机变量ξ的分布函数(按定义1)，则

（1）单调性 ()F x 为单调不降；

（2）连续性 ()F x 为左连续；

（3）极限性 ()lim 0,lim () 1.x x F x F x →-∞

→+∞

==

证：（1）设12x x <，由

{}{}12x x ξξ<⊂<（即左边事件发生，右边必发生） 得

(){}{}()1122F x P x P x F x ξξ=<≤<=

因而证明了()F x 为单调不降；

（2）对任意x R ∈ ，由于()F x 单调不降，要证()F x 左连续性，

事实上，11F x P x n n ξ⎛⎫⎧

⎫-=<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩

⎭

由于

{}11n x x n ξξ∞

=⎧⎫<-=<⎨⎬⎩

⎭ ，且111x x n n ξξ⎧

⎫⎧⎫<-⊂<-⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭ ，故利用概率

的连续性定理（定义证明见下面），可得

{}()11lim lim n n F x P x P x F x n n ξξ→∞→∞⎛⎫⎧

⎫-=<-=<=⎨⎬ ⎪⎝

⎭⎩⎭