对 数 运 算 法 则

几个简单的对数增长阶算法

数学算法对数增长阶实现

最近在看scip，不得不说，这本书的确是经典之作，每天抽出时间看一会上面所讲的东西，对我这样编程算法基础薄弱的人，也是受益匪浅。所以想把上面的一些好的算法用自己熟悉的javascript重新写一遍，加深记忆。

最大公约数

两个整数a和b的最大公约数（GCD）定义为能除尽这两个数的那个最大的整数。在SCIP中提到了一种基于欧几里得算法的对数增加阶的实现。该算法的思想是：如果r是a除以b的余数，那么可以有结论r和b的公约数等于a和b的公约数。基于该理论，有如下实现

function GCD(a,b){

let gcd = 0;

if(b === 0){

let r = a%b;

GCD(b,r);

return gcd;

增长阶是log(n)底数是1.6180。

素数检测

素数检测是数学中一个经久不衰的话题，同样，本文也只讨论素数检测的对数级复杂度的算法。

关于这个算法，需要介绍一下这个算法的核心理论：

费马小定理推论：对于一个整数n，取另外一个整数a满足a n，计算a^n%n是否等于n，如果结果不是a，那肯定不是素数，相反，那么n是素数的概率就很大。

费马小定理的检测实际上是属于概率算法的领域，一般情况我们选取越多的a去检测n是否符合条件，通过的越多，那么n是素数的概率也会增加，也会使得检测出错的概率减小。当然，对于概率算法，无论怎么增加a的数量，也会有一些能够骗过费马检测的数。数学上把它们称为卡尔麦克数，现在数学家们已经找到所有10 ^ 16以内的卡尔麦克数，最大的一个是9585921133193329。对于这种情况，我们可以通过建立一个表来排除这些数，使得错误概率再次减小。

下面是算法的过程：

**************算法核心***************

function fermatTest(n) {--随机生成a判断是否满足费马检测

function tryIt(a) {

return (expmod(a, n, n) === a) ? true : false;

return tryIt(parseInt(Math.random() * (n - 1) + 2, 10) + 1);

function fasePrime(n, times) { --最终检测，输入数值和检测次数 if (times === 0) {

return true;

if (fermatTest(n)) {

fasePrime(n, (times - 1));

return false;

**************main***************

function expmod(base, exp, n) { --表示一个数的a的冥对n取模的过程

if (exp === 0) {

return 1;

if (isEven(exp)) {

return reminder(square(expmod(base, (n - 2), n)), n);

return reminder(base * (expmod(base, (exp - 1), n)), n);

function isEven(n) { --判断是否是偶数

return n % 2 === 0 ? true : false;

function reminder(a, b) {

return a % b;

function square(n) {

return n * n;

算法的思想是对于给定次数，生成小于n的随机数a，通过费马小定理判断素数。通常运用多次随机选择a进行判断，该算法错误概率能减小到所需要的任何程度。

斐波那契数

该算法又称乘法的“俄罗斯农名的方法”，它的历史悠久，使用它的实例可以在莱茵德纸草书中找到，这也是现存最悠久的两份数学文献之一。通过该算法，计算斐波那契数只需要对数的步数。

算法核心理论：对于两个状态变量a，b,定义变换规则,a– a + b和b– a，将这种变换称为T变换。通过观察发现，从1和0开始将T反复应用n次，可以产生一对数Fib(n+1)和Fib(n)，其中FIb表示斐波那契数列第n项。

var fibonacci = function(n) {

return caculate(1,0,0,1,n);

function caculate(a,b,p,q,count){

if(count == 0){

return b;

if(count %2 == 0){

return caculate(a,b,(p*p+q*q),(2*p*q+q*q),(count-2))

return caculate((b*q+a*q+a*p),(b*p+a*q),p,q,(count -1))

一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：

可见，在变量的上方加一横线表示“非”。逻辑变量为0时，“非”运算的结果为1。逻辑变量为1时，“非”运算的结果为0。

h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights)) #

1.0-(1+exp(-Z)) Z = dataMatrix * weights

其中，第三个和四个参数分别是公钥和私钥，而第二个参数就是私钥与公钥对应的曲线，在程序中往往通过函数EC_KEY_set_group(eckey, group)对EC_KEY的grope进行赋值(将grope赋值给eckey)：随着操作数位数的增加，电路中进位的速度对运算时间的影响也越来