对偶单纯形法(经典运筹学)

解：问题化为标准型 max Z 2 x1 x 2 5 x1 x 2 x3 2 x 2 x3 x 4 5 s.t 6x xx 9 xx 2 2 6 x3 3 5 5 9 44 x1 , x 2 , x3，x 4，x5 0
X1 X2 X3 X4 X 5
2 检 0 1 -1 1 2 -4 0 -2 1 1 -6 0 0 1 0 0 0 0 1
Z Z-10
X1 1 X4 0
5 5 -9
X5 0
4
14 13 X1 X 2 X 3
检
X1 X4
0 1 0 0 0 0 0 1
X4
X5
-1/4 Z-31/4 1/4 1/2 11/4 1/2
所在行的基变量出基 则取br
4、以ari0 为主元素进行换基迭代 ，得一新的单纯形表， 转2
例：用对偶单纯形法 求解下列问题 max Z 2 x1 x 2 x1 x 2 x3 5 2x x 5 11 9 2 3 最优解 X （ ，） s.t 4 4 4 x 6 x 9 2 3 31 x1 , x 2 ,Z x3 0 最优值
-1/2 0 -1/2 0 -2 3/2 1 0
X2
-1/4 9/4
11 9 1 最优解 X （ ，， 0， ， 0 ） 4 4 2 初始基 B （P ） 1，P 4，P 5 31 最优值 Z 不是典则形式 4
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应 可用对偶单 的典则形式中目标函数的系数（检 纯形法 验数）均≤0的情形。 B的典则形式
对偶单纯形法是求解对偶规划的一种方法 × 对偶单纯形法：利用对偶理论得到的一个 求解线性规划问题的方法
单纯形法（原始单纯形法）的两个条件：
1、问题为标准型 2、有初始基本可行解
求 min Z 2 x1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x 3 x 6 2 s.t 1 x1 2 x 2 3 x1 , x 2 0
3 6 最优解 X （ ，， 0， 0， 0 ） 5 5
最优值 Z 12
5
对偶单纯形法步骤：
1、找出一个初始对偶可行解。 即找出一个基B，
把原问题写成该基的典则形式时，目标函数的系数均≤0
2、判断： （1）若B-1b≥0，则得到最优解 （2）若B-1b≥0， 记B 1b b1 , b2 , , bm
X B 0, X N 0
XB XN
0 X B (CN CB B 1 N ) X N Z CB B 1b
X B B 1 NX N B 1b
初始单纯形表：
常数项 检验行 0 XB E CN- CBB-1N B-1N
? 0 Z- C B
B
-1b
X 1为最优解 若CN B 1 N 0， 否则，选定入基、出基 变量 对该单纯形表做行变换
(始终保持C N B N 0 ）
1
直至B 1b 0， XB E B-1N B-1b ?0 得最优对偶单纯形表 最优对偶单纯形表的充 要条件：B 1b 0
检验行 0 CN- CBB-1N
0 Z- CBB-1b
例：求 min Z 2 x1 x2 3x1 x 2 3 4 x 3x 6 2 s.t 1 x1 2 x2 3 检验行 x1 , x2 0 ≤0 解：标准型为
A P1 P2 Pm Pm1 Pn 设B P 1
P2 Pm 是可行基
BX B NX N b
B B 1b B 1 NX N
且Z C B XB C N X CB X B CN X N N
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s.t a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm x1 , x2 , xn 0
分析： 若X3或X4所在的行的aij均 非负， 则问题一定无可行解 否则，做换基迭代
X 1 X2 X3 X4 X5 检 X3 X4 X5 -2 -1 0 -3 -1 1 -4 -3 0 1 2 0 X2 0 0 1 0 X2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Z -3 -6 3 X5 0 Z+2 -1 2 -1
X 0 B b,0

1


结束
若存在某个 b j 0, 且a rj 0

j 1,2, n
则问题无可行解。 否则转下一步 3、换基迭代： minbi | bi 0 （1）确定出基变量：设br
i i0 （2）确定入基变量 设 min | a ri 0 , 则取xi0 为入基变量 a ri a ri 0
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
i i0 设 min | a ri 0 a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X1 检 0 X3 0 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
1、不需要人工变量； 2、当变量多于约束时，用对偶单 纯形法可减少迭代次数； 3、在灵敏度分析中，有时需要用对 偶单纯形法处理简化。
原始单纯形法的基本思路：
对标准型 max z CX s.t AX b X 0, b 0
A B, N
C CB CN
XB X X N
原始单纯形法的迭代过程：
对问题 max z CX s.t AX b X 0
max Z CB B1b (CN CB B1N ) X N
取可行基 B P1 P2
Pm
令X N 0 得X B B 1b 0
得基本可行解 X 1 B b,0

1


X B B 1b B 1 NX N
1
1
令X N 0 得X B B b 0 得基本可行解 X 1 B b,0
1
1

1 、若所有的检验数 CN B 1 N 0 , 则X 1为最优解
2、检验数 C N C B B 1 N中存在一个分量 0, 且该分量对应的列 向量中所有的分量 0, 则目标函数值在可行解 域内无上界
m ax Z 2 x1 x 2 3 x1 x 2 x3 3 4 x 3x x 6 1 2 4 s.t 基 B的典则形式 x1 2 x 2 x5 3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
取基B P 3, P 4,P 5
3、若检验数 C N C B B 1 N中至少有一个分量 0, 且该分量对应 的列向量中至少有一个 分量 0, 则存在更好的基本可行 解
做换基迭代 : 在迭代过程中，始终保 持对应的基本解可行 即X B B 1b 0
并使检验数 C N C B B 1 N中 0的分量 个数越来越少，最终 C N C B B 1 N 0
B-1b
0
直至CN B 1 N 0，
得最优单纯形表
1
CN B N 0， 最优单纯形表的充要条 件：
对偶单纯形法的基本思路：
对 max z CX s.t AX b X 0
取基B P 1 P2 Pm
1
maxZ CB B1b (CN CB B1N ) X N
引进人工变量 x6，x7 max Z 2 x1 x 2 Mx6 Mx7 3x1 x 2 x3 x6 3 4 x 3 x x x 6 2 4 7 s.t 1 x1 2 x 2 x5 3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
例：求 min Z 2 x1 x 2 3x1 x 2 3 4 x 3x 6 2 s.t 1 x1 2 x 2 3 x1 , x 2 0
所求问题的最优解 3 6 X （ ，） 5 5 12 最优值 Z 5
解：标准型为 max Z 2 x1 x 2 3 x1 x 2 x3 3 4 x 3x x 6 1 2 4 s.t x1 2 x 2 x5 3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X 3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 -1 -1 0
X2 0 X1 1
1 0
0 0
1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X （ ，， 0， 0， 0 ） 5 5 最优值Z 12 5
则取xi0 为入基变量
标准型为 max Z 2 x1 x 2 3 x1 x 2 x3 3 4 x 3x x 6 2 4 s.t 1 x1 2 x 2 x5 3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
用单纯形 法求解
对偶单纯形法的优点：
基本解 X 0， 0， 3 ， 6， 3
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 -2 -1 0 -3 -1 1 0 0 0 0 Z -3
X4
X5
-4 -3 0
1 2 0
1
0
0
1
-6
3
不 可 行
即max Z 2 x1 x2
3 3x1 x 2 x3 4 x 3x x4 6 1 2 s.t x5 3 x1 2 x 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0