上海市17区县高三数学一模试题分类汇编 专题十二 应用题 理

上海市17区县高三数学一模试题分类汇编 专题十二 应用题

理

2013年2月

（杨浦区2013届高三一模 理科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀， 其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____平方米 . 12． 48；

（松江区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满

分6分，第2小题满分8分

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当

420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）。

（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；

（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达

到最大，并求出最大值．

21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，

由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得18

5

2

a b ⎧

=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………4分

故函数()x v =**

2,04,15,420,8

2x x N x x x N ⎧<≤∈⎪

⎨-+≤≤∈⎪⎩…………………………6分 （2）依题意并由（1）可得()=x f *2*

2,04,15,

420,.8

2x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪

⎨-+≤≤∈⎪⎩………8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； …………10分 当420x ≤≤时，()2

222

1511100(20)(10)82888

f x x x x x x =-+=--=--+，

()max (10)12.5f x f ==．…………………………12分

所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．

（浦东新区2013届高三一模 理科）20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形

ABC 的空地上修建一个占地面积为S 的矩形AMPN 健身场地，如图点M 在AC 上，点N

在AB 上，且P 点在斜边BC 上，已知 60=∠ACB 且30||=AC 米，=AM x ，]20,10[∈x . （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为S

k

37，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪， 每平方米的造价为

S

k

12（k 为正常数），求总造价T 关于S 的函数)(S f T =； 试问如何选取||AM 的长使总造价T 最低（不要求求出最低造价）. 解：（1）在PMC Rt ∆中，显然x MC -=30||， 60=∠PCM ，

∴)30(3tan ||||x PCM MC PM -=∠⋅=，………………2分

矩形AMPN 的面积)30(3||||x x MC PM S -=

⋅=，[10,20]x ∈…4分

于是32253200≤≤S 为所求.……………………………6分

（2）矩形AMPN 健身场地造价=1T S k 37……………………7分 又ABC ∆的面积为3450，即草坪造价=

2T )3450(12S S

k

-，……………8分 由总造价21T T T +=，∴)3

216(25S

S k T +

=，32253200≤≤S .…10分 36123

216≥+

S

S ，……………………………………………………11分 当且仅当S

S 3

216=

即3216=S 时等号成立，……………………………12分 此时3216)30(3=-x x ，解得12=x 或18=x ，

N

N

P

M

D

C

B

A

N

P

M D C B

A 所以选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.………………………14分

（黄浦区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图所示，ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点， 且矩形AMPN 的面积小于150平方米．

（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DC

NA AM

=

， ∴

46x x AM -=，即64

x AM x =-，……………………3分 故2

64x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分

由2

61504

x S x =<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<，

故所求函数的解析式为2

64

x S x =-，定义域为(5,20)． …………………………………8分

（2）令4x t -=，则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈，

故2266(4)16

6(8)

x t S t t t +===++…………………………10分

8)96≥=， …………………………12分

当且仅当16

t t

=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值96．

故当AN 的长为8时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96平方米． …………14分