高考数学难点突破八立体几何中的翻折问题

高考数学难点突破八--------立体几何中的翻折问题
一、知识储备
翻折问题就是把平面图形经过折叠变成一个空间图形，实际上，折叠问题就是轴对称的问题，折痕就是对称轴，重合的即是全等图形，解决折叠问题时，要把运动着的空间图形不断地与原平面图形进行对照，看清楚其中哪些量在变化，哪些量没有变化，从而寻找出解决问题的方法，达到空间问题与平面问题相互转化的目的。

核心是抓牢折痕就是翻折前与翻折后平面图形的公共底边，折痕与公共底边上两高所在平面垂直。

二、应用举例
例1.如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且1AM AD ==，3AB =，将ADM ∆沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为
( )
A
B
C
D
例2.在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==,E 为边AD 上的一点，
1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE '∆，使得点A '在平面 BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角 A BE C '--的大小为θ，直线,A B A C ''与平面BCDE 所成的角分 别为αβ，，则 A.βαθ<< B.βθα<< C.αθβ<< D.αβθ<
<
例3.如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC 沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE a ∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ ）
A. ,2a ββγ>>
B. ,2a ββγ><
C. ,2a ββγ<>
D. ,2a ββγ<<
例4.如图，在ABC △中，1AB =，22BC =，4
B π
=
，将ABC △绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP ⊥面ABC ，D 是BC 中点，设Q 是线段PA 上的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 的长度为（ ） A ．
5 B ．
25
C ．
35
D ．
25
例5.已知在矩形ABCD 中，2AD AB =
，
沿直线BD 将ABD ∆ 折成'A BD ∆，使得点'A 在平面BCD 上的射影在BCD ∆内（不含边界），设二面角'A BD C --的大小为θ，直线
','A D A C 与平面BCD 所成的角分别为,αβ，则（ ）
A. αθβ<<
B. βθα<<
C. βαθ<<
D. αβθ<<
Q D
P
C
B
A
例6、（嘉兴市2020年1月期终）已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为AB 、
CD 的中点，沿直线DE 将ADE △翻折成PDE △，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为 ．
例7、（宁波市2020年1月期终）已知平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，BC CD =，AB AD >，现将ABD △沿对角线BD 翻折得到三棱锥A BCD '-，在此过程中，二面角
A BC D '--、A CD
B '--的大小分别为α，β，
直线A B '与平面BCD 所成角为γ，直线A D '与平面BCD 所成角为δ，则（ ）
A ．γδβ<<
B ．γαβ<<
C ．αδβ<<
D ．γαδ<<
例8、（柯桥一中2020年1月期终）已知在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示， 沿EF 将四边形AEFB 翻折成
A EF
B ''，则在翻折过程中，二面角B CD E '--的大小为θ，则tan θ的最大值为（ ） A
．
5
C.4
例9、（2020年3月名校合作体）已知C 为ABD Rt ∆斜边BD 上一点，且ACD ∆为等边三角形，现将ABC ∆沿AC 翻折至C B A '∆，若在三棱锥ACD B -'中，直线B C '和直线B A '与平面ACD 所成角分别为βα，，则（ ）
A. βα<<0
B.βαβ2≤<
C.βαβ32≤≤
D.βα3≥
例10、（2020年1月嘉兴期终）已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿直线DE 将ADE △翻折成PDE △，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为 ．
例11、（2020年4月温州模拟）如图，在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，将ABN ∆沿着AM 翻折成M B A '∆，且点B '不在平面AMC 内，点P 是线段C B '上一点，若二面角B AM P '--与二面角C AM P --的平面角相等，则直线AP 经过C B A '∆的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D.外心
B D
A
C
G P
F
D C B A
例12、（2020年嘉兴一模）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角
A BD C --的平面角的大小为π
3
，若点E ,F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE CF 的取值范围为 （ ）
A ．[1,0]-
B ．1[1,]4-
C ．1[,0]2-
D ． 11
[,]24
-
例13、(2020年5月暨阳联考）如图:ABC ∆中，︒
=∠⊥90,ACB BC AB ，D 为AC 的中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与BC 直线所成的最大角，最小角分别记为
11βα，，直线AD 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为22βα，，则有（ ）
A. ββαα≤<121,
B. 2121ββαα><，
C. 2121ββαα≤≥，
D.2121ββαα>≥，
例14、（2020年4月台州二模）如下图①，在直角梯形ABCD 中，
90=∠=∠=∠DAB CDB ABC ， 30=∠BCD ，4=BC ，点E 在线段CD 上运动，如
下图②，沿BE 将BEC ∆折至C BE '∆，使得平面⊥'C BE 平面ABED ，则C A '的最小值为 .
⇒
例15、（2020年9月嘉兴基础知识测试）如图，矩形ABCD 中，2,1==BC AB ，点E 为AD 中点，
将ABE ∆沿BE 折起，在翻折过程中，记二面角B DC A --的平面角大小为α，则当α最大时，=αtan （ ） A. 22 B. 32 C. 31 D.2
1。