(核工业西南物理研究院)

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差分方程
f i *j f i , j , t pi21/ 2 S p ,i 1/ 2, j pi21/ 2S p ,i 1/ 2, j 1 2 pi p
2 1 2 S 1 j 1/ 2 S ,i , j 1/ 2 1 j 1/ 2 ,i , j 1/ 2 Ii, j pi ____________________ i 2,3,......, N1 1
n ce

p|| the
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数值方法
利用有限差分方法求解 Fokker-Planck方程。空间差分近 似为中心差分，时间轴采用 Crank-Nicholson差分格式。 对差分方程采用5点（ 9点）强 隐式方法,这是一个高精度算法 [6,7]。 Fokker-Planck 系 数 及 其 导 数 通 过 分 布 函 数 和 Rosenbluth 势 的 Legendre系列展开求得。
____________________ j 2,3,......, N 2 1
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九点差分方程
A f
* ij i 1, j 1 * ij i , j
A f
* ij i , j 1
A f
* ij i 1, j 1
B f
* ij i 1, j
C f D f E f
5
Fokker-Planck方程
f C( f , f s ) Q( f ) P( f ) 0 t
e/s a) : collisional operator C( f , f s ) S c S c b) : diffusion operator Q( f ) S w qe E c) : dc field operatorP( f ) S E f me
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准线性扩散系数
LHCD：
DWlh
qe2 1 2 E|| 2 2 me v k
||
||
使用简单公式 D0 v1 v|| v2 D 0 elsewhere 2 其中扩散系数D0按 vthe归一化
lh
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准线性扩散系数
• ECRH:
N|| res N|| 2 1 D ec D exp 2 N|| N|| 3 Pin th 4 0 A n D 2 A n0 ln e Aeff p|| cos Pin Power incident on a given flux surface area A. Aeff effective area seen by theelectrons cos angle between th normal to the flux surface and the group velocity e N || res
相对论Fokker-Plank程序包 的开发与应用 #
龙永兴 董家齐 焦一鸣 石秉仁 王爱科 张锦华 郦文忠 （核工业西南物理研究院）
#
国家自然科学重点基金 （10135020）支持
1
程序包的功能
求解没有相对论效应的Fokker-Plank方程的程 序包已于2002年完成[1,2]。 该 程 序 包 具 有 相 对 论 效 应 ， 是 反 跳 ( bounce averaged)平均的，考虑了捕获电子效应和各种不同 加热模式（LHCD & ECRH）下的准线性扩散系 数[3-5] 。 程序包由意大利引进，可用于模拟等离子体中 粒子的动力学过程，适用于磁约束环形装置等离子 体辅助加热与电流驱动的动力学计算,对HL-1M和 HL-2A的实验数据分析非常有用。
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输入参数
使用数值方法的选取： • MODE: =5 使用五点格式. • =9 使用九点格式. • APARAM: 方法收敛参数 (通常取 60).
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输入参数
• PMAX: • PMIN: P 的最大值. P 的最小值，通常=0 包含E-E碰撞项（动量守恒） 没有E-E碰撞项 Ohmic 电场参数
* Aij f i *j 1 Bij f i *1, j Cij f i *j Dij f i 1, j Eij f i *j 1 , , , * * qij Aij f i *1, j 1 Aij f i *1, j 1 Eij f i 1, j 1 Eij f i 1, j 1
s*
DCY DCY
B n f 2 (1 0 ) c ] 0 P B (0) p0 [ B B (0) n f 2 [ (1 0 ) c ) ]} p0 P B (0) B 0
2 0


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F-P方程的离散化
f i , j f ( p0i , 0 j , t ),
25
输入参数
• DELTA: SHAFRANOV 漂移. • RMIN: • RMAJ: 小半径. tokmak 的主半径
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Fokker-Planck方程
准线性扩散 项表示为 1 v S S|| S v v v||
f f S D D|| F f v v|| f f S|| D|| D|||| F|| f v v||
8
Fokker-Planck方程
速度空间 : v v v ;
2 2 2 ||
cos
v|| v
;
v sin v
碰撞项表示为: 1 v 2 Sv 1 S sin S 2 v v v sin f 1 f Sv Dvv Dv Fv f v v f 1 f S Dv D F f v v
* ij i 1, j 1
* ij i 1, j
E f
* ij i 1, j 1
E f
* ij i , j 1
qij
___________ i 2,3,......, N1 1 ___________ j 2,3,......, N 2 1
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五点差分方程
______________ i 2,3,......, N1 1 ______________ j 2,3,......, N 2 1
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输入参数
• • • • • • • N1: 在 P方向的离散点数. N2: cos方向的离散点数，u(2)=-1,u(N2-1)=1. DT: 时间步长. PRINT: 结果输出频率. ITS: 计算的时间的总步数。 TRAP: =1 包含了捕获电子效应. TRAP: =0 没有捕获电子效应.
s
6
Fokker-Planck方程
• 速度空间总流量是:
S Sc SW S E S D f Ff
7
• 表示为ຫໍສະໝຸດ Baidu项:

Fokker-Planck方程
• 波加热项只是扩散.
F W 0 • DC电场只是磨擦力. qe E FE ; DE 0 me • 碰撞项包含了扩散与磨擦力。
s*
DCY

P
2 (1 0 )[
B f 1 B n f 2 ( (1 0 ) c ) ] B (0) p0 p0 0 B (0) 0
2 f 1 0 f B (p ) f s0 1 0 { f DLH [ 0 ] t 0 [1 ( 0 )] p0 p0 0 p0 p0
4
参考文献
1.龙永兴 石秉仁 董家齐等,“Fokker-Planck程序包的开发与利用” 《科学技术与工程》Vol.3No5,p257(2003). 2.石秉仁 龙永兴 董家齐等,“Fokker-Planck study of tokamak electron cyclotron resonance heating”，《中国物理Chinese Physics》,vol.12,no.11,(2003) 3．D. Farina, IFP Internal Report, FP 99/14, 2000. 4．A. Simonetto et. IFP Internal Report, FP 00/08, 2000. 5． A. Cardinali, Recent research Developments in Plasmas, Trasnworld Research Network Magazine, Vol. 1 185 (2000). 6．M. Shoucri, I. Shkarofsky, Comp. Phys. Comm. 82 287 (1994) 7．Y. Peysson, M. Shoucri, Comp. Phys. Comm. 109 55 (1998) 8. 焦一鸣 龙永兴 董家齐 石秉仁 高庆弟,”捕获电子效应对低杂 波电流驱动的影响”,2003年GF报告，《物理学报》2005,n0.1 待发表。
0 cos 0
0 p0 pmax , 1 0 1 p0i (i 1) p, i 1, 2,..., N1
0 j 1 ( j 1) , j 2,..., N 2 1
Pmax 2 p , ( N1 1) ( N 2 2 1)
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程序包的功能
我们将程序包成功移植，增加 了计算功能，验证了程序的可靠 性，并利用开发的编码程序对低 杂波在托卡马克等离子体中的吸 收和驱动效率进行了数值模拟， 数值结果与理论分析完全一致， 详细分析见文[8]。
3
程序包的功能
计算结果包括： 1. (不同坐标系)分布函数 2.密度,能量密度 3. 各向异性参数 4.加热功率 5.电流驱动效率 6.高能成份,能量传输等值.
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F-P方程(code)
f S I 0 ( f M , 0 f1 ) t 1 1 2 2 S 2 ( p0 S P 0 ) ( 1 0 S 0 ) p0 p0 p0 0
2 f 1 0 f f s p0 0 f DLH 0 [ 0 ] [ A( p0 ) F ( p0 ) f ] p0 p0 0 p0
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• TRUNC: =1 • =0 • EEPS： •
输入参数
• Ti: 粒子温度
• Te:
• Z: • COLLF:
电子温度
有效电荷 碰撞损失项
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输入参数
• LHCD • V1: 速度的最小值 • V2: • DDIF: 速度的最大值 扩散系数。
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输入参数
ECRH • DNRES: . 共振折射指数 • DNPAR: • DPERP: • OMC: 共振宽度 扩散系数 波频率
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差分格式
f i 1/ 2, j p f i , j 1/ 2 f i , j 1/ 2 p f i 1/ 2, j f i 1, j f i , j p f i , j 1 f i , j
f i 1, j 1 f i 1, j 1 f i 1, j f i 1, j 1 f i , j 1 f i , j ( ) 2 p p 4 p f i 1, j 1 f i 1, j 1 f i , j 1 f i , j 1 1 f i 1, j f i , j ( ) 2 4