量子力学期末考试题库含答案22套

量子力学自测题（１）
一、简答与证明：（共25分）
1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）
2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）
3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）
4、证明
)ˆˆ(2
2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p
ˆ之间的测不准关系。

（6分）
二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A
，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A
ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A
ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态
),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=
Y r R Y r R Y r R r ，求
1、0=t 时氢原子的E 、2L
ˆ和z L ˆ
的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L
ˆ和z L ˆ
的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下
哈密顿算符由下面的矩阵给出
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H
000000200030001ˆ 这里，H H H
'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<<C ，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令y x iS S S +=+，y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的
本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021
的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？
量子力学自测题（１）参考答案
一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：
)(Et r p i Ae -⋅=
ψ
2、定态：定态是能量取确定值的状态。

性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。

两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q A ϕϕϕϕφ-=。

4、)ˆˆ(2
2x x
p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2 =+=，因为x p ˆ是厄密算符，所以)ˆˆ(2
2x x p x x p
i -是厄密算符。

5、设F ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。

以F 、
G 和k 依次表示F ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG
ˆ-=∆， 则有
42
2
2
k )G ˆ()F
ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。

坐标x 和动量x p
ˆ之间的测不准关系为：2ˆ
≥∆⋅∆x p
x
二、解1、由于1ˆ2=A
，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A
ˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A
设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 100122121
12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，
21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，
∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01
1212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
=010*
12
*12b b *
12121
b b =∴
令δ
i e b =12，其中δ为任意实常数，得B
ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-00)(ˆδδi i e
e A B
2、类似地，可求出在B 表象中算符A ˆ的矩阵表示为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e B A
在B 表象中算符A
ˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-βαλβαδ
δ00
i i e e ，即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0=---λλ
δ
δ
i i e
e ⇒ 012=-λ
1±=∴λ
对1=λ有：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+
121δϕi A
e ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
121δϕi A e 所以，在B 表象中算符A ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-121δi e
3、类似地，在A 表象中算符B ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-121δi e
从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B
ˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
-1121δδ
i i e e S
三、解： 已知氢原子的本征解为：
)
3,2,1(122
02 =-
=n n a e E s n
),()(),,(ϕθϕθφlm nl nlm Y r R r =，将)0,(r ψ向氢原子的本征态展开，
1、)0,(r ψ=∑nlm
nlm nlm
r c
)
,,()0(ϕθφ，不为零的展开系数只有三个，即
21)0(210=
c ，
21)0(310-=c ，21)0(121=-c ，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：54
，于是归一化的展开系数为：
51
5421)0(210=
=
c ，52542
1)0(310-=-=c ， 52
542
1
)0(121==-c
（1）能量的取值几率
535251)0,(2=+=
E W ，52
)0,(3=E W ，
平均值为：
3
252
53E E E += （2）2L
ˆ取值几率只有：1)0,2(2= W ，平均值222ˆ =L （3）z L
ˆ
的取值几率为： 535251)0,0(=+=
W ，52
)0,(=- W ，平均值
52ˆ-=z
L
2、0>t 时体系的波函数为：),(t r ψ=∑-
nlm
n nlm nlm t E i
r c )ex p(),,()0( ϕθφ
)exp(),,()0()exp()],,()0(),,()0([33103102121121210210t E i
r c t E i r c r c
-+-
+=--ϕθφϕθφϕθφ)
ex p(),,(52)ex p()],,(52),,(51[33102121210t E i
r t E i r r ---+=-ϕθφϕθφϕθφ 由于E 、2L
ˆ和z L ˆ皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与0=t 时的结果是一样的。

四、解：（1）H
ˆ的本征值是方程0)ˆ
det(=-I H λ的根 )
34)(2(20
0301022C C C C
C -+---=----=λλλλ
λλ
结果：2-=C λ，212C +±=λ，这是H
ˆ的精确解。

（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：)
2()1()0(n n n n E E E E ++=
由题设可知：能量的一级修正为：011
='H ，022='H ，C H ='33
对于二级修正，有：
2)2(10312
2)
0(3)0(13113)0(2)0(12112)2(1
C C E E H H E E H H E
-=--+-=-''+-''=
2)2(30132
2)
0(3)0(23223)0(1)0(21221)2(2
C C E E H H E E H H E =--+-=-''+-''=0)
0(2)0(32332)0(1)0(31331)2(3=-''+-''=E E H H E E H H E 所以，
2121C E -=，232
2C E +=，C E +-=23 将2
12C +±=λ展开：)211(21222
++±=+±=C C λ
=⇒1λ2213C +，=2λ221
1C -，
)1(2
<<C （3）对比可知，根据微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。

五、解：021
)2(212212121=-+-=+++=++ i i iS S S y x ，
2121)2(212212121+=+-++=-+-=-
+ i i iS S S y x
2121)2(212212121-=---=+-+=+- i i iS S S y x 021)2(212212121=+--+=---=-
- i i iS S S y x
所以+S 和-S 分别作用于z S 的本征态
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+
0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021
的结果是
021=+
+S ，2121+=-+ S ，2121-=+- S ，021=--S
结果表明：称+S 为自旋升算符是合理的，因为它将z 方向的自旋从
2 -增加到2 。

同样，称-S 为自旋降算符，因为它将z 方向的自旋
从2 降到2 -。

+S 和-S 容许我们从z S 的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。

量子力学自测题（２）
一、填空题（本题20分）
1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。

力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。

当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。

测量结果的不确定性来源于 。

2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。

一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。

二、（本题15分）
1．设全同二粒子的体系的Hamilton 量为H ˆ（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明交换算符12
ˆP 是一个守恒量。

2．设U ˆ是一个幺正算符，求证+⋅=U dt
U d i H ˆˆˆ 是厄米算符。

3．设y σ为Pauli 矩阵， （1）求证：θσθθσsin cos y i i e
y
+=
（2）试求：y
i Tre
θσ
三、（本题10分）
求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2
ˆl 的本征值为22 的本征函数。

四、（本题15分）
设一量子体系处于用波函数)cos sin (41),(θθπ
ϕθψϕ+=
i e 所描述的量子态。

求：（1）在该态下，z l ˆ的可能测值和各个值出现的几率。

（2）z l ˆ的平均值。

如有必要可利用，
θπcos 4310=
Y ，ϕθπ
i e Y ±±=sin 83
11 。

五、（本题20分）
已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为
2
2
222ma n E n π=
，a
x
n a n πψsin 2=
， （n=1，2，3…） 设粒子受到微扰：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='),(2,2)(ˆx a a k x a k x H a x a a x <<<<2
20 求基态（n=1）能量的一级近似值。

如有必要，可利用积分公式⎰
+=y y y ydy y sin cos cos 。

六、（本题20分）
设),3,2,1 =n n 表示一维谐振子的能量本征态，且已知
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=121211n n
n n n x α，
ω
αm =
（1）求矩阵元n x m 2。

（2）设该谐振子在t=0时处于基态0，从t>0开始受微扰kt
e
x H 22
-='的作用。

求：经充分长时时)(∞→t 以后体系跃迁到2态的几率。

量子力学自测题2参考答案
一、填空题
1．矢量，算符，厄米，本征值，态的叠加
2．力学量，Hamilton 量，状态，状态，本征态 二、
1．证明 全同粒子的不可区分性体现在体系Hamilton 量的交换对称性。

也就是说，
)1,2(ˆ)2,1(ˆH H
= 因此，
)2,1(ˆ)2,1(ˆ)1,2()1,2(ˆ)2,1()2,1(ˆˆ12
12ψψψP H H H P == 由此得到，
0)2,1()
ˆˆ)2,1(ˆˆ(121212=-ψP H H P 0)2,1()]2,1(ˆ,ˆ[12
=ψH P 所以
0]ˆ,ˆ[12=H P ，12
ˆP 为守恒量 2．证明
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+++++
++U dt U d U U dt d i dt U d U i U dt U d i H ˆˆ)ˆˆ(ˆˆˆˆˆ 因为H
ˆ是幺正的， 1ˆˆ=+U U
，
所以
0)ˆˆ(=+
U U dt
d 因此
H U dt
U d i H ˆˆˆˆ=⋅=++ 可见H
ˆ为厄米算符。

3．证明（1）
+--
+=3
322!
3!211y y y i i i e
y
σθσθθσθσ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= !5!3!4!2115
342θθθσθθy i θσθsin cos y i +=
(2)由于
θσθsin cos y i +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-θθθθ
cos sin sin cos 因此，
y
i Tre
θσ=Tr ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-θθ
θθ
cos sin sin cos =θcos 2 三、证明 因为
)(ˆz y i y z z y i l x --=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-= ψψ )(ˆx z i z x x
z i l y --=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂
-= ψψ
)(ˆy x i x y y x i l z --=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-= ψψ 由此得到
)(ˆ22z y l x += ψ，)(ˆ22x z l x += ψ，)(ˆ22y x l x
+= ψ 因此，
ψψψψψ222222)(2ˆˆˆˆ =++=++=z y x l l l l z y x
可见，z y x ++=ψ是2
ˆl 的本征值为2
2 的本征函数。

四、解 先把),(ϕθψ用球谐函数展开如下：
),(ϕθψ=
()
θθπ
ϕ
cos sin 41+i e
=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+θπθπϕ
cos 43sin 83231i e =
()
111010113
23
123
1
Y Y Y Y -
=
+- 可见，体系的l =1，m=0，1。

因此，z l ˆ的可能测值为0或 ，出现0的几率为3
1
，出现 的几率为
3
2。

z l ˆ
的平均值为 3
203132=⋅+=
z l 五、解 受到微扰H 'ˆ的作用后基态能量的一级修正值为 )ˆ,(1
111)1(ψψH H E '='= dx H dx H a
a a 12
*112
*
1ˆˆψψψψ'+'=⎰⎰
xdx a x a a k xdx a x a k a
a
a π
π22
22
022sin )(4sin 4⎰⎰-+=
dx x a x a a k dx x a x a k a
a a
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰ππ2cos
1)(22cos
122
22
02 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=222222221882ππk a a a a k
六、解（1） 利用公式：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=
121211n n
n n a n x
得到
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=1212112
n x n
n x n a n x
+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++++=
n n n n n a 212222112
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--+2212212
n n n n n a
[]
2
)1()12(2)2)(1(212
--+
+++++=
n n n n n n n n a
因此，
=
n x m 2[]
2)1()12(2)2)(1(21
2
--++++++n m n n n m n n m n n a []
2,,2,2
)1()12()2)(1(21
-+-+++++=n m n m n m n n n n n a δδδ
由此可见
ω
m a x
2122022
2==
（2）在一级近似下，体系从能级E 0跃迁到E n 的跃迁振幅为，
⎰'=t
i n dt e H n i t a t n 0
0001)(ω
其中，)(1
00E E n n -=
ω。

因此，从基态0跃迁振幅 dt e i x dt e x i t a t
t k i t t k i ⎰
⎰--=
=0
)2(20)2(2202020
02021)(ωω
)
2()1(0220220)2(20
20)2(22020k i i e x k
i e i x t k i t t
k i --=
-⋅
=
--ωωωω
经充分长时间后)(∞=t ，
k
i i x t a 21
02)(20220--
=∞→ω
因此，跃迁几率为
2
20
2222
202041
21)()(ωω+⋅=
∞=∞k m a P 2
02222
22)(421E E k m -+⋅
= ω )
(81
44212
2222222222ωωωω+=+⋅=k m k m
量子力学自测题3
一、 简答题（每小题5分，共40分）
1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=
，写出粒子位于dx x x +~间的几率。

2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V
中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。

3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：
∑=n
n n x c x )()(ψψ，
写出展开式系数n c 的表达式。

4. 给出如下对易关系：
[][][]
[][]?
,?
,?
,?,?,2
=====y
z
x z x
y z s s L L
p x p z σσ
5. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=2,2,,
r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r
处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。

6. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j
的表达式。

7. 散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？
8. 一维运动中，哈密顿量)(22
x V m
p H +=，求[][]?,?,==H p H x
二、 计算题（共60分。

9—11题各10分；12、13题各15分）
9. 在时间0=t 时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态： )()(2
1)(51)0,(3320x u c x u x u x ++=
ψ， 式中)(x u n 是振子的第n 个本征函数。

（1）试求3c 的数值；
（2）写出在t 时刻的波函数；
（3）在0=t 时振子能量的期望值是多少？1=t 秒时呢？ 10.
n 为z L 的本征态，本征值为 n 。

求在z L
的本征态n 下，x L 和y L 的平均值。

11. 氢原子处于状态 ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=21
011211122
321
,ψψψY R Y R s r z
， （1）求轨道角动量的z 分量z L 的平均值； （2）求自旋角动量的z 分量z s 的平均值；
（3）求总磁矩s e L e M
μ
μ--=2的z 分量z M 的平均值。

12. s 、L
分别为电子的自旋和轨道角动量，L s J +=为电子的总角动量。

证明：[L s J ⋅,]=0；[αJ J ,2
]=0，。

z y x ,,=α
13. 质量为μ的粒子受微扰后，在一维势场中运动，
⎪⎩⎪⎨⎧
><∞≤≤=a
x x a x a
x A x V ,0,
0,
cos )(π
（1）题中应当把什么看作微扰势？
（2）写出未受微扰时的能级和波函数；
（3）用微扰论计算基态能量到二级近似，其中2
2
210a
A μπ =。

量子力学自测题3参考答案
三、 简答题（每小题5分，共40分）
1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=
，写出粒子位于dx x x +~间的几率。

解： ⎰
⎰+∞
∞
-+∞
∞
-2
)
(r dz dy dx
ψ。

2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V
中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。

解： )0(2)0()0(2
ψγ
ψψ m -='-'-
+。

3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：
∑=n
n n x c x )()(ψψ，
写出展开式系数n c 的表达式。

解： ()dx x x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。

4. 给出如下对易关系：
[][][]
?,?
,?
,===z x
y z L L
p x p z
[]
[]?,?
,2
==y z
x s s
σσ
解： [
]
[][]
y z x
y
z L i L L
p x i p z
-===,0
,,
[][]
x y z
x i s s
σσσ
2,0
,2
-==
5. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=2,2,,
r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r
处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。

解： ()()r d r r 3
222,,2,⎰
- ψψ
6. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j
的表达式。

解：单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。

()
**
2),(ψψψψ∇-∇-
=m
i t r j
7. 散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？
解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法处理；低能粒子散射宜采用分波法处理。

8. 一维运动中，哈密顿量)(22
x V m
p H +=，求[][]?,?,==H p H x
解：[][])(,,,x V dx
d i H p m
p i H x -==
二、计算题（共60分。

9—11题各10分；12、13题各15分）
9. 在时间0=t 时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态： )()(2
1)(51)0,(3320x u c x u x u x ++=
ψ， 式中)(x u n 是振子的第n 个本征函数。

（1）试求3c 的数值；
（2）写出在t 时刻的波函数；
（3）在0=t 时振子能量的平均值是多少？1=t 秒时呢？ 解：（1）,1215122
2++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛c 得 103
=c 。

（2）t i t i t i e x u e x u e x u t x ωωωψ27
32
5
221
0)(10
3)(21)(51),(---++=。

（3）在0=t 时振子能量的平均值是
ωωωω 51210327212551212
22=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=E ； 1=t
秒时振子能量的平均值也是
ω 5
12。

10.
n 为z L 的本征态，本征值为 n 。

求在z L
的本征态n 下，x L 和y L 的平均值。

解：[]
n L L n n L L n i n L L L L n i n L L n i L y z z y y z z y z y x -=-==
1
][1],[1 []
,0=-=
n L n n L n i
n
y y 同理， 0=y L 。

11. 氢原子处于状态 ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=21
011211122
321
,ψψψY R Y R s r z
， （1）求轨道角动量的z 分量z L 的平均值； （2）求自旋角动量的z 分量z s 的平均值；
（3）求总磁矩s e L e M
μ
μ--=2的z 分量z M 的平均值。

解：
（1）4230212
2
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=z L ； （2）42322122
2
-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=z s ； （3）B z z z e e e s e L e M μμμμμμ4
184422==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=--= 。

12. s 、L
分别为电子的自旋和轨道角动量，L s J +=为电子的总角动量。

证明：
[L s J ⋅,]=0；[αJ J ,2
]=0，。

z y x ,,=α
证： ],[],[z z y y x x x x x L s L s L s s L L s J +++=⋅
z z x y y x z x z y x y L s s L s s L L s L L s ],[],[],[],[+++= ()0=-+-=z y y z y z z y L s L s L s L s i 。

同理， 0],[,0],[=⋅=⋅L s J L s J z y
，从而 [L s J ⋅,]=0。

],[],[],[],[22
22x z x y x x x J J J J J J J J ++=
z x z x z z y x y x y y J J J J J J J J J J J J ],[],[],[],[+++= ()0=++--=z y y z y z z y J J J J J J J J i 。

同理， 0],[,0],[2
2==z y J J J J ，从而 0],[2=αJ J 。

13. 质量为μ的粒子受微扰后，在一维势场
⎪⎩⎪⎨⎧
><∞≤≤=a
x x a x a
x A x V ,0,
0,
cos )(π
中运动。

（1）题中应当把什么看作微扰势？ （2）写出未受微扰时的能级和波函数；
（3）用微扰论计算基态能量到二级近似，其中2
2
210a
A μπ =。

解：（1）应当把)(x V 看作微扰势，即
⎪⎩⎪⎨⎧
><∞≤≤=='a
x x a x a
x A x V H ,0,
0,
cos )(π 。

（2）未受微扰时的波函数和能级分别为 ,3,2,1,2,
sin 2)(2
222)
0()
0(===n a
n E
a
x
n a x n
n
μππψ
（3）未受微扰时的基态波函数和能量分别为
2
2
2)
0(1
)0(1
2,sin 2)(a
E
a
x a x μππψ
==
， 基态能量的一级修正： a x d a x A dx a x A a x a H E
a
a
πππππsin sin 2cos sin 20
20211)1(1
⎰⎰=⋅='= 0sin 320
3==a
a x
A ππ，
基态能量的二级修正： ∑-'=n
n
n E
E
H E )0()
0(1
21)
2(1
'
，
220
0012
22sin sin 2sin sin
sin cos 2sin sin 2cos sin 2
n n a
a
a
n
A A y yd ny A
a
x
d a x a x n A
dx a
x a x a x n a A dx a
x a a x A a x n a H δδπππ
πππππππππππ
=⋅=
⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅='⎰⎰⎰⎰
所以 ()()2
2222
222)
0(2
)0(12
)
2(1
64121
42
πμμπA a a A E E A E
-=-⋅=-=。

2222
2222
22
600106a a a μπμππμ
-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⋅-=。

2
2
2222222)2(1
)1(1
)0(1
16002996002a
a a E
E
E
E μπμπμπ =-=++=。

量子力学自测题4
一、（共25分）
1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）
2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）
3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）
4、在一维情况下，求宇称算符P ˆ和坐标x 的共同本征函数。

（6分）
5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。

（5分）
二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A
，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A
ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B
ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态
)21exp(3231)0,(2
2x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，其中
μω
α=，求
1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。

2、0>t 时体系波函数和体系能量
的取值几率及平均值
四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛++λλλλλλ
23303220
21
的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。

五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
量子力学自测题4参考答案
一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征
函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。

3、全同玻色子的波函数是对称波函数。

两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=
4、宇称算符P ˆ和坐标x 的对易关系是：P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不准关系知，只有当0ˆ=P
x 时的状态才可能使P ˆ和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P
ˆ和x 的共同本征函数。

5、设F
ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。

以F 、G 和k 依次表示F
ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有
4222k )G ˆ()F ˆ(≥
⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。

时间t 和能量E 之间的测不准关系为：
2
≥
∆⋅∆E t
二、1、由于1ˆ2=A
，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ˆ的矩阵是：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 100122121
12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，
21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01
12
12b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
=010*
12
*12b b *
12121
b b =∴
令δ
i e b =12，（δ为任意实常数）得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e A B
2、在A 表象中算符B ˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-βαλβαδδ00
i i e e
即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程
的系数行列式为零，即
=---λλδδ
i i e e ⇒ 012=-λ 1±=∴λ
对1=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+
121δϕi B
e ，对1-=λ有：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
121δϕi B e 所以，在A 表象中算符B ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-121δi e 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B
ˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
-1121δδ
i i e e S
三、解：1、0=t 的情况：已知线谐振子的能量本征解为：
ω )21(+=n E n )2,1,0( =n ， )()exp(!2)(22x H x n x n n
n ααπαϕ-=
当1,0=n 时有：
)exp()(220x x απαϕ-=
，)exp()(2)(221x x x ααπα
ϕ-=
于是0=t 时的波函数可写成：)
(32
)(31
)0,(10x x x ϕϕψ-=，容易验证它是归一化的波函数，于是0=t 时的能量取值几率为：
31)0,21(0==ω E W ，32
)0,23(1=
=ω E W ，能量取其他值的几率皆为零。

能量的平均值为：
ω 67
323110=+=
E E E
2、 0>t 时体系波函数
)23ex p()(32)2ex p()(31),(10t i
x t i x t x ωϕωϕψ---=
显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0>t 时体系能量的取值几率和平均值与0=t 的结果完全相同。

四、解：将矩阵改写成：
='+=H H H ˆˆˆ0⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ
λλ
λ
λ
23032020
300020001
能量的零级近似为：1)
0(1=E ，2)0(2=E ，
3)0(3=E 能量的一级修正为：0)1(1=E ，λ=)
1(2E ，
λ2)1(3=E
能量的二级修正为：
2
)0(3
)0(1
213)0(2
)
0(1
212)2(14λ-=-'+
-'=E
E
H E
E
H E ，
2
22)0(3
)0(2
223
)0(1
)0(2
221)2(2594λλλ-=-=-'+
-'=
E
E
H E
E
H E ，
2
)
0(2
)0(3232
)
0(1)
0(3231
)2(39λ=-'+
-'=
E E H E E H E
所以体系近似到二级的能量为：2141λ-≈E ，2
252λλ-+≈E ，23923λλ++≈E
先求出0ˆ
H 属于本征值1、2和3的本征函数分别为：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=001)
0(1ϕ，
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=010)0(2
ϕ，
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100)
0(3ϕ，
利用波函数的一级修正公式
)
0()0()0()1(i i
k ik
k
i k
E E H ϕϕ
-'=∑
≠，可求出波函数的一级修正
为：
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=0102)
1(1λϕ，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=302)1(2
λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0103)
1(3λϕ 近似到一级的波函数为：
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≈0211λϕ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈λλϕ3122，
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛≈1303λϕ 五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。

以i q 表示第i )3,2,1(=i 个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：
（1）)()()(312111)
1(q q q s φφφϕ=；（2）)()()(322212)2(q q q s φφφϕ=
（3）
[)()()()()()()()()(311221312211322111)
3(q q q q q q q q q C s φφφφφφφφφϕ++=； （4）
=)4(s ϕ])()()()()()()()()([113222322112312212q q q q q q q q q C φφφφφφφφφ++
量子力学自测题5
一、填空题（本题20分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子 特性，Einstein 的光量子假说揭示了光的 性。

Bohr 的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解
决了原子的 的起源问题。

2．力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。

对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于 。

测量结果的不确定性来源于 。

两个力学量同时具有确定值的条件是 。

二、（本题15分）
1．设算符a
ˆ具有性质{
}1ˆ,ˆ,0ˆ2
==+
a a a 。

求证：
（1）a a N ˆˆˆ+
≡本征值必为实数。

（2）N N
ˆˆ2= （3）N
ˆ的本征值为0或者1。

2．利用对易式σσσi 2=⨯，求证：{}
0,=j i σσ，),,,(z y x j i =，其中，j i σσ,为Pauli 矩阵。

三、（本题15分）
1．设氦原子中的两个电子都处于1s 态，（不简并）两个电子体系的空间波函数为
)()(),(2100110021r r r r ψψψ=
（1）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数4321,,,χχχχ。

（2）写出对两个电子的交换反对称的总体波函数),,,(2121z z s s r r ϕ（同时考虑空间自 由度和自旋自由度）。

2．一电子处于自旋态)(2
1z z ↓+↑=
ψ，求：
（1）在自旋态ψ下，z
S ˆ的可能测值与相应的几率。

（2）在自旋态ψ下，x
S ˆ的可能测值与几率。

四、（本题15分）
设一个类氢离子的电荷数由Z 变成Z+1，试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。

已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为
a e Z E n 222-=，a
Zr
e
a Z -
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=2
/31001πψ
计算时，可利用积分公式
2
241α=
⎰
∞
-dx xe ax 。

五、（本题20分）
设一维谐振子的能量本征函数为)(x n ψ，求：
（1）动量ρ
ˆ在)(x n ψ态下的平均值。

（2）动能T ˆ在)(x n
ψ态下的平均值。

如有必要，可以利用 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+-)(21
)(2)(11x n x n x dx d n n n ψψαψ 六、（本题15分）设一量子体系的Hamilton 量为
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=3*
3
*2
32*1
211
ˆE a a a E a a a E H
而且，1,,2
32
22
1<<a a a ，试利用微扰法计算体系能量的一，二级修正值。

量子力学自测题5参考答案
一、填空题
1．能量的量子化，粒子，稳定性，线光谱
2．厄米，实数，该力学量的本征值，该力学量的某一本征态，态的叠加，两个力学量算符对易
二、1．证明 （1）因为N a a a a
N
ˆˆˆ)ˆˆ(ˆ===++++
，所以N ˆ是一个厄米算符，它的本征值必为实数。

（2）N a a a a a a a a a a N
ˆˆˆˆ)ˆˆ1(ˆˆˆˆˆˆ2==-==+++++。

（3）设N
ˆ的本征值为n ，本征矢量为n ，则因为 n N n N
ˆˆ2= 所以
n n n n =2
从而得到n 2
-n=0,可见，N
ˆ的本征值为n=0或n=1。

2．证明 由 σσσi 2=⨯ 得
z y x i σσσ2],[=
即
z x y y x i σσσσσ2=- （1）
（1）式的两边左乘x σ得，
z x x y x y i σσσσσσ2==
右乘x σ得，
x z y x y x i σσσσσσ2=-
两式相加得
0)(2=+x z z x i σσσσ
这就是说，
{}0,=x z σσ
完全相同的方法可以证明，
{}0,=z y
σσ
，{}0,=y x σσ
三、1．解 (1)四个可能的自旋态有，
↑↑=1χ
)(2
12↓↑+↑↓=
χ
↓↓=3χ
)(2
14↓↑-↑↓=
χ
（2）因为空间波函数对21ˆ,ˆr r 的交换对称，对两个电子的交换反对称的总体波函数为：
))(ˆ()ˆ(2
1)ˆ()ˆ(1001100421001100↓↑-↑↓==r r
r r
ψψχψψϕ 2．解 （1
）在自旋态)(2
1
z z ↓+↑=
ψ下，z
S ˆ的可能测值为2 或-2 ，相应的几率分别为
2
1。

（2）把自旋态ψ
写成
x z z ↑=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=↓+↑=
1121100121][21
ψ
可见，自旋态ψ正是z
S ˆ的本征值为2 的本征态x ↑，因此z
S ˆ的测值为2
，几率为1。

四、解 类氢离子的Hamilton 量为
r
Ze H 2
2202ˆ-∇-=μ
当1+→Z Z 时，体系的Hamilton 量变为
H H r
e r Ze r e Z H '+=--∇-=+-∇-=ˆˆ2)1(2ˆ02
222222μμ 其中
r
e H
2
ˆ-=' 因此，能量的一级修正值
)ˆ,(ˆ100
10011)1(ψψH H E '='= ⎰⎰⎰-
-
=r
d e
r a Z e a
Zr ˆ132332π ⎰⎰⎰-
-
=ϕθθπd d dr r e
r a Z e a
Zr sin 1223
32
a
Ze dr re a Z e a
Zr
2
233
24-=-=⎰∞
-ππ 在计算中利用了积分公式
2
241a
dx xe ax =
⎰
∞
- 因此，基态能量的一级近似值是
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+=122222)
1()
0(a Z a Ze a Ze a e Z E
E
E 五、解 （1）利用
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-)(21
)(2)(11x n x n a x dx d n n n ψψψ ⎪⎭⎫
⎝
⎛-==n n n n dx d i p
p ψψψψ,)ˆ,( 0),(2
1
),(211=++-=+-n n n n n a i n a
i ψψψψ （2）谐振子的动能2
2
22dx d m T -=的平均值
),(222
2n n dx
d m T ψψ -=
利用
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=+-)(21
)(2)(11x n x n a x dx d n n n ψψψ 可以得到
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-112221
2
n n n n n a dx d dx d ψψψ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-11212n n dx d n dx d n a ψψ
[
]
222
)2)(1()12()1(2
+-++++-+=n n n n n n n n a ψψψ
因此，
n n n E n n m a n a m T 21
2121)12(4)12(2,22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=ωψψ 六、解 先把Hamilton 量分解成H H H '+=ˆˆˆ0
，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=321
00
000
00ˆE E E H ，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛='3*
3*
2
3*1
21
00ˆE a a a a a a H
很容易看出，能量的一级修正值
011)1(1='=H E ，022
)
1(2='=H E ，033)1(3='=H E 二级修正值
312
2
212
1
3
12
13
2
12
12
)2(1E E a E E a E E H E E H E -+
-=
-'+
-'=
3
22
3
212
1)
2(2E E a E E a E -+
-=
，2
32
3
132
2
)
2(3
E E a E E a E -+
-=
量子力学自测题6
一、填空题（本题18分）
自由粒子的能量算符H
ˆ= ，它是 量。

kx cos =ψ是自由粒子能量算符的本征值为 的本征函数，它是平面单色波 和 的叠加态，在该态下，
具有确定值，但 不具有确定值，它的可能测值是 或 。

二、（本题12分）
在下列两种情况下，求一维运动粒子的动量平均值ρ： （1）波函数)(x ψ是实函数。

（2）波函数)(x ψ=)(x ψx
ik e
0，其中)(x ψ是归一化的实函数，0k 是实常数。

三、（本题10分）
在氯化钠晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看成束缚在边长为晶格常数的立方体内的粒子。

设在室温下电子处于基态，求处于基态的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。

四、（本题10分）
一个电子在t=0时，观测到自旋沿z 轴正向。

问在t>0时电子的自旋方向在x-z 平面内与z 轴成⎪⎭
⎫
⎝
⎛<
2πθθ角的几率是多少？ 五、（本题15分）
设一个置于中心力场中的粒子，其轨道角动量量子数l =2，自旋角动量量子数s=1。

体系的自旋一轨道相互作用Hamilton 量为
S
L A H ˆˆˆ ⋅= （A 为常数） 求体系的能级和各个能级的简并度。

六、（本题15分）
阱宽为a 的一维无限深对称方势阱中⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22
a x a
运动粒子的能量本征值和本征函数
分别为
2
2
222ma n E n π =，a
x n a x n πψcos 2)(=
，n=1，3，5，… （只考虑偶宇称态）
设阱内粒子处于状态
])2/[(30
)
(225x a a
x -ψ （1）求粒子处于各个能量本征态的几率。

（2）利用所求得的几率，求体系的能量平均值。

如有必要可利用：
965
131114
444
π=+++ ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--⎰3333
2/)1(2
/2
/242)1(cos πππn a n a dx a x n x n a a ，n=1，3，5，…
七、（本题20分）
一根长为l 的细绳（忽略它的质量）的一端固定，另一端系一质量为m 的质点，在重力的作用下，质点在竖直平面内小角摆动（简谐振动）。

用量子力学方法
（1）求质点的简谐振动能级（势能项关于摆动角θ的展开式取到2
θ项）。

（2）把小角近似带来的误差作为微扰，计算质点基态能量的一级近似值（把势能的4
θ项当作微扰计算）。

量子力学自测题6参考答案
一、填空题
222∇-m ，守恒，ikx ikx e e m
-,,22 ，能量，动量， k k -, 二、解 （1）由于)(x ψ是实函数， )()(*
x x ψψ=，因此，动量平均值
dx x dx d
x i dx x dx d x i p )()()()(*
ψψψψ⎰⎰∞
∞
-∞∞--=-=
进行分部积分得
dx x x dx d x dx x dx d x )()()()()(2ψψψψψ⋅-=⎰⎰∞
∞
-∞
∞-∞∞- dx x dx
d
x )()
(ψψ⎰∞
∞
--= 这就是说，
p p -=
由此得到动量平均值
0=p
（2）由于)(x ψ是实函数，动量的平均值
dx e x dx d i e x dx x p
x p x ik x ik 00)()()(ˆ)(*ψψϕϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛
-==-∞
∞
-∞∞-⎰⎰ dx e x ik dx x d e x i x ik x
ik 00
)()()(0⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎰
∞
∞--ψψψ
dx x k dx dx x d x i )()
()(20⎰⎰∞
∞
-∞
∞-+-=ψψψ
但前面已经证明，当)(x ψ是实函数时，上式的第一项等于零。

在上式的第二项中，由于)(x ψ是归一化的，
1)(2
=⎰∞
∞
-dx x ψ
因此最后得动量平均值
0k p =
三、解 空穴中电子的能量
)(22
322212
22,,3
21n n n ma
E n n n ++=π ，n 1,n 2,n 3=1,2,3… 基态和第一激发态的能量分别为
222111
23ma E π =，2
221121212113ma E E E π === 因此，电子从基态跃迁到第一激发态时所吸收电磁波的频率满足
hv E E E =-=∆111211
电磁波的波长
ππλ 343222
22c ma hc ma E hc v c ==∆==
四、解 电子的自旋初态为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=010ψ，自旋方向在x —z 平面内（0=ϕ）与z 轴成θ
角的态为
⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛=2sin 2cos θθψ 因此，在t>0时，电子的自旋方向在x —z 平面内与z 轴成θ角的几率为
2cos 012sin ,2cos )(22
2
θθθψψθ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==P 五、解 选取{}22ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆS L J J H z
为力学量完全集，设其共同本征矢量为
s l m j ,,,，
其中
S L J
ˆˆˆ+= j,m 分别为z
J J ˆˆ和 的相应量子数。

222ˆ,ˆ,ˆ,ˆ
S L J J z 的本征值方程分别为
s l m j j j s l m j J
,,,)1(,,,ˆ22 += s l m j l l s l m j L
,,,)1(,,,ˆ22 += s l m j s s s l m j S
,,,)1(,,,ˆ22 += s l m j m s l m j J z
,,,,,,ˆ = 由于
S L S L S L J
ˆˆ2ˆˆ)ˆˆ(ˆ2222⋅++=+= 相互作用Hamilton 量及其本征值方程可以写成
)ˆˆˆ(2
1ˆˆˆ222S L J A S L A H
--=⋅= jmls E jmls S L J A jmls H
=--=)ˆˆˆ(2
1ˆ222 同时，由于1,2==s l ，体系的总角动量量子数
1,2,3,,1,=--++=s l s l s l j
因此，体系的能量为 j=3时，
)]1()1()1([22
3+-+-+=
s s l l j j A E 2
22)]11(1)12(2)13(3[2
A A =+-+-+=
j=2时，
22
2)]11(1)12(2)12(2[2
A A E -=+-+-+=
j=1时，
22
13)]11(1)12(2)11(1[2
A A E -=+-+-+=
简并度：j=3时，f=2j+1=7,j=2时，f=5,j=1时，f=3。

六、解 （1）把波函数)(x ψ用能量本征函数)(x n ψ展开：
∑∑=
=n n
n n
n a
x
n c a x c x πψψcos 2)()( 因此
dx a x
n x a a c a a n n πψψcos ])2/[(152),(2
/2
/223⎰--==
3
32
/)1(15
8)
1(π
n n --=，n=1，3，5… 由此得到粒子处于各个能级的几率
6
62
960
n
c n
π=
，n=1，3，5… （2）利用以上结果，能量平均值
2
2
4422262
531112960ma
ma E c E n n
n
=⎪⎭⎫ ⎝⎛++==∑ππ 七、解 （1）以质点运动的平衡位置作为势能零点，则在小角近似下质点的势能
2
4221!4!21)cos (θθθθmgl mgl mgl l l mg V ≈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--=-= （近似到2
θ项）
因此，体系的Hamlton 量为
222222
12ˆ21)(21ˆx m m p mgl l m H ωθθ+=+=
其中，
θl x =，l
g =
ω，θ ml p
=ˆ 由此可见，质点的简谐振动能级
ω ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=21n E n ，n=1，2，3…
（2）小角近似带来的势能的误差（精确到4
θ项）
!
421)cos (ˆ4
2θθθmgl mgl l l mg H
V -=--='=∆ 4
3
42424x l mg mgl -=-
=θ 因此，基态能量的一级修正值
00240240ˆ223
4300
x x l mg x l mg H E ⋅-=-='=∆ 利用
{2)1()12(2)2)(1(21
2
2--+
+++++=
n n n n n n n n a n x
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
021221102
2a x ，22 ωm a = 得到
2
22
2
22
4
43412100ωω
m m h x =⎪⎭
⎫
⎝⎛+= 因此，最后得到能量的一级修正值
2
2
22233232ml m l mg E -=⋅-=∆ω
能量的一级近似值
2
2
03221ml
E E E -=∆+=ω 量子力学自测题七
一、（共25分）
1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）
2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）
3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）
4、在一维情况下，求宇称算符P ˆ和坐标x 的共同本征函数。

（6分）
5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。

（5分）
二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A
，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A
ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B
ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态
)21exp(3231)0,(2
2x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，其中
μω
α=，求
1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。

2、0>t 时体系波函数和体系能量
的取值几率及平均值
四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛++λλλλλλ
23303220
21
的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。

五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
量子力学自测题七参考答案
一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。

3、全同玻色子的波函数是对称波函数。

两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：
[])()()()(21
12212211q q q q S ϕϕϕϕφ+=
4、宇称算符P ˆ和坐标x 的对易关系是：P x x P ˆ2],ˆ[-=，将其代入测不准关系知，
只有当0ˆ=P
x 时的状态才可能使P ˆ和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P
ˆ和x 的共同本征函数。

5、设F
ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。

以F 、G 和k 依次表示F
ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有
42
2
2
k )G ˆ()F
ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。

时间t 和能量E 之间的测不准关系为：
2
≥
∆⋅∆E t
二、1、由于1ˆ2=A
，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A
ˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：
02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 100122121
12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，
21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01
12
12b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
=010*
12
*12b b *
12121
b b =∴
令δ
i e b =12，（δ为任意实常数）得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e A B
2、在A 表象中算符B ˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδ
δ00
i i e e 即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00
λβαβλαδ
δi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0
=---λλ
δ
δ
i i e
e ⇒ 012=-λ 1±=∴λ
对1=λ有：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+121δϕi B e ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-121δ
ϕi B e 所以，在A 表象中算符B
ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-121δi e 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B
ˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=-1121δδ
i i e e S
三、解：1、0=t 的情况：已知线谐振子的能量本征解为：
ω )21(+=n E n )2,1,0( =n ， )()exp(!2)(22x H x n x n n
n ααπαϕ-=
当1,0=n 时有：
)exp()(220x x απαϕ-=
，)exp()(2)(221x x x ααπα
ϕ-=
于是0=t 时的波函数可写成：)
(32
)(31
)0,(10x x x ϕϕψ-=，容易验证它是归一化的波函数，于是0=t 时的能量取值几率为：
31)0,21(0==ω E W ，32
)0,23(1=
=ω E W ，能量取其他值的几率皆为零。