由平面向量的数量积判断三角形形状

由平面向量的数量积判断三角形形状

河北 张军红

由平面向量的数量积定义及其几何意义可知数量积是数与形的结合点，利用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，从而较容易判断三角形的形状。本文总结如下：

例1：在△ABC 中，AB a =，BC b =，且0a b ⋅>，则△ABC 是什么三角形 （ ）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C. 钝角三角形

D.等腰直角三角形 解：0AB BC ⋅>，即│AB │·│BC │cos(π－B)>0，∴cosB<0∴△ABC 是钝角三角形 例2：以O(0,0)，A(a,b)，B(b+a,b －a)为顶点的三角形的形状是 （ ）

A 直角三角形

B 等腰三角形

C 等边三角形

D 等腰直角三角形

解∵OA =(a,b)， AB =(b,－a),∴()0OA AB ab b a ⋅=+-=∴OA ⊥AB 又∵│AB │=22b a +，│OA │=22b a +，∴│AB │=│OA │所以△ABC 为等腰直角三角形

说明：向量如果用坐标表示，应用数量积的坐标运算，先看AB 、BC 、AC 是否有一对垂直。

例3：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -+-=则△ABC 的形状为（ ）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C. 等边三角形

D.等腰直角三角形 解：原式可化为()0CB OB OA OC OA -+-=即()0CB AB AC +=

结合图可知平行四边形ABCD 为菱形, 所以△ABC 为等腰三角形

例4：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足0OB OC CO CO OA BC ++=，则△ABC 的形状为（ ）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C. 等边三角形

D.等腰直角三角形 解：原式可变为()0OC OB OC OA BC -+=∴0OC CB OA BC +=

即()00CB OC OA CB AC -=∴=∴CB AC ⊥∴△ABC 为直角三角形

说明：以上两例式子中都含与三角形无关的O ，应先通过向量知识使式子中不含有O ，再通过数量积求解。

例5：已知AB 、AC 是非零向量且满足(AB －2AC ) ⊥AB ，(AC －2AB ) ⊥AC ，则△ABC 的形状是（ ）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C. 等边三角形

D.等腰直角三角形 解：(AB －2AC ) ⊥AB ⇒(AB －2AC ) ·AB =0即AB ·AB －2AC ·AB =0AB AC +D

C B A

(AC －2AB ) ⊥AC ⇒ (AC －2AB ) ·AC =0即AC ·AC －2AB ·AC =0 ∴AB ·AB =AC ·AC =2AB ·AC 即│AB │=│AC │

而cos ∠A=AB AC AB AC ⋅=12

∴∠A=60°所以△ABC 为等边三角形 说明：本题对数量积的性质及运算率基本上都考到了，是一道值得研究的好题。

例6：在△ABC 中，若BC a =，CA b =，AB c =，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则△ABC 的形状是（ ）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C. 等边三角形

D.等腰直角三角形

解：由画图可知0a b c ++=∴22()a b c a b c c a c b c c +=-∴+⋅=-∴⋅+⋅=-，

22()a c b a c b b a b c b b +=-∴+⋅=-∴⋅+⋅=-，又∵a b a c ⋅=⋅∴22c b =同理可得 222c b a ==所以△ABC 是等边三角形

方法2：如图延长AB 至D 点，使AB=BD 连CD

∵a b b c ⋅=⋅⇒()0b a c ⋅-=又∵a c DC -=∴AC ⊥CD 即△ACD 为Rt

△，又∵AB=BD ∴AB=BC 同理可得AC=BC=AB,所以△ABC 是等边三角形

（注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）

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