高斯定理

高斯散度定理

本文介绍的是微积分学中的一种向量分析。关于电磁学中与电通量有关的定理，详见“高斯定律”。

散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何上边的曲面；散度定理不可以用来计穿过

具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显

示。

高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表

现联系起来的定理。

散度的三重积分。更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的

直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

目录

1定理

2用散度表示

3用向量表示

4推论

5例子

6二阶张量的高斯公式

7参阅

定理

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数 P(x,y,z)、 Q(x,y,z) 、R(x,y,z) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

或

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧， cos α、 cos β、cos γ是Σ在点 (x,y,z) 处的法向量的方向余弦

这两个公式叫做高斯公式。

用散度表示

高斯公式用散度表示为：

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而

n 是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。

用向量表示

令 V 代表有一间单闭曲面 S 为边界的体积，是定义在 V 中和 S 上连续可微的矢量场。如果是外

法向矢量面元，则

推论

对于标量函数g 和向量场 F 的积，应用高斯公式可得：

对于两个向量场的向量积，应用高斯公式可得：

对于标量函数 f 和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

对于向量场 F 和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

例子

假设我们想要计算

其中 S 是由所定义的单位球，F是向量场

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

由于函数和是奇函数，我们有：

因此：

二阶张量的高斯公式

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，矢量和矢量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

两个矢量和并排放在一起所形成的量被称为矢量和的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，。

的充分必要条件是或。

二阶张量就是有限个并矢的线性组合。

分别线性地依赖于和。

二阶张量和矢量的缩并以及对和都是线性的。

特别是，当时，

所以，一般说来，。

下面举一个例子：用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写和。

我们还用到二阶张量的转置（又可以记为），定义如下：

仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于。

。

定理：设是三维欧几里得空间中的一个有限区域，是它的边界曲面，是的外法线方向上的单位矢量，是定义在的某个开邻域上的连续的二阶张量场，

是的转置，则

证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为，则

接下来利用矢量场的高斯公式，可得

于是

至此证毕