材料力学 第11章 能量法讲解

x Me
A
l FAy
B FBy
(1) 应变能计算
梁的约束力
FA

FB

Me l
梁的弯矩方程
代入应变能公式
M (x)

FA x M e

x Me(l
1)
Vε
M 2(x) dx
l 2EI
1 2EI
l 0
M
2 e
(
x l
1)2 dx

M e2l 6EI
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11.1 外力功与应变能 【例11-1】解
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11.1 外力功与应变能
11.1.3 克拉贝依隆原理
F1Δ12 F2 Δ21
W

1 2
F1 Δ11


1 2
F2 Δ22

F1 Δ12

上式可推广到有多个广义力共同作用于线性弹性体的情况 Vε W
Vε
W

1 2
Fi Δi
上式称为克拉贝依隆原理。
式中为全部外力（F1，F2，…，Fi，…，Fn）在广义力Fi处
l GI p
M xdq
2
w M EI
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11.1 外力功与应变能
M(x)
T(x) FN(x) FN(x)
11.1.4 杆件的应变能
dq
T(x) M(x)
dj
dx
dx dd
dx
dx
dVε

FN2 (x)dx 2EA

T 2 (x)dx 2GIp

M 2 (x)dx 2EI
则整个圆截面杆的应变能 Vε
FN2 (x) dx l 2EA
T 2 (x) dx l 2GIp
M 2 (x)dx l 2EI
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11.1 外力功与应变能
【例11-1】
如图所示简支梁AB，其弯曲刚度EI为常数，受集中力偶 Me作 用，试计算梁的应变能与横截面A的转角。
x Me
A l
FAy
B FBy
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11.1 外力功与应变能 【例11-1】解
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11.1 外力功与应变能
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11.1 外力功与应变能
11.1.1 外力功
若广义力在自己的作用方向上有相应的广义位移（不管位移 产生的原因），广义力就作功。
常力功
弹性体在平衡力系的作
FFpp
用下，在一定的变形状态保 持平衡，这时，如果某种外
界因素使这一变形状态发生
改变，作用在弹性体上的力
M 2 x dx
莫尔定理 求C点在载荷F1, F2……Fi作用下的位移
F1 F2 Fi CB
假想先作用单位力F0=1

F0单独作用时的应变能: Vε0
M 2 x dx
2EI
F1 F2 Fi
F0
A
C
B
M x单位力作用下梁的弯矩方程

然后增加载荷F1, F2……Fi F1, F2……Fi作用，梁存储的应变能:
11.1 外力功与应变能
11.1.2 互等定理 证明
FFF111 1
11 1121
FF11 11
12 11
FF22
21 2 22 21
FFF222
2222 2 21
Vε1 W1 Vε2 W2 Vε1 Vε2 W1 W2
W1

1 2
F1 Δ11
1 2
F2
Δ22
作功，是常力功:
W＝FP Δ
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11.1 外力功与应变能
11.1.1 外力功 变力功
FP
0
FP
Fp
W

1 2
FPΔ

Δ
O

作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和 变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为变力功。
对于材料满足胡克定律、又在 小变形条件下工作的弹性杆件，作 用在杆件上的力与位移成线性关系。
第十一章 能量法 Chapter 11 Energy Method
第十一章 能量法
11.1 外力功与应变能 11.2 莫尔定理及其应用 11.3 能量法解超静定问题 11.4 动应力与冲击应力
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设弹性体在支座约束作用下无任何刚性位移，则弹性体在外 力（即载荷）作用下发生变形，同时外力作用点在外力作用方向 产生位移，因此外力在应的位移上作功，用 W 表示。
W

1 2
FP Δ
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11.1 外力功与应变能 11.1.1 外力功
常力功
F
F1
非线性 变力功
F
F1
线性 变力功
F F1
F
O
1
W F1 Δ1

O
d1 O
1
W Δ1 Fd 0
W

1 2
F1 Δ1
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11.1 外力功与应变能 11.1.1 外力功
广义力 集中力 集中力偶 一对等值反向的力 一对等值反向的力偶
广义位移 线位移 角位移 相对线位移 相对角位移
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11.1 外力功与应变能
11.1.2 互等定理
F1
1
2
11
21
F2
1
2
12
22
对于线弹性体（梁、桁架、 框架等），第一组力在第二组力 引起的位移上所作的功，等于第 二组力在第一组力引起的位移上 所作的功。
F1Δ12 F2 Δ21
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x Me
A l
FAy
由此计算得
(2) 转角计算
设横截面A的转角为qA ，
B
且与力偶矩Me同向
FBy
Vε
W


1 2
Fi Δi
M eq A

M
2 e
l
2 6EI
qA

M el 3EI
逆时针
所得qA为正，说明转角qA与力偶矩Me同向的假设正确
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11.2 莫尔定理及其应用
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11.2 莫尔定理及其应用
沿Fi方向共同产生的广义位移。
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11.1 外力功与应变能
M(x)
T(x) FN(x) FN(x)
11.1.4 杆件的应变能
dq
T(x) M(x)
dj
dx
dx dd
dx
dx
dVε d W =
FN xdd +
2
l l
FN xdx EAx
T xdj +
2
j Tdx
F1 Δ12
注: 由于在F2作用之前F1已经作用在
梁上，因此F1在F2引起的位移12上
作功是常力作功F1 12
W2

1 2
F2 Δ22

1 2
F1 Δ11
F2 Δ21
两次加载作的功应等于弹性体存储 的应变能。而应变能与加载次序无 关（若有关，则和能量守恒相矛 盾）。
F1Δ12 F2 Δ21
而弹性体由于变形的发生就要积蓄一定的能量，这种因变形 而储存的能量称为应变能，用 Ve 表示。根据功能原理，若弹性 体的外力由零缓慢地增至最终值，忽略弹性体在变形过程中的其 他能量损耗，则储存在弹性体内的应变能在数值上等于外力在其 相应位移上所作的功。
Vε W
利用外力功与应变能的关系计算和分析构件及结构的位移、 变形、内力和应力的方法称为能量法。能量法是一种重要的应用 非常广泛的计算方法。本章从基本概念入手，介绍能量法的基本 理论和方法及应用。