电路—第14章

a0 ak cos k1t bk sink1t
k 1
k 1
将上式等号两边同时乘以sink1t再在一个周期内积分：
2
bk T
T 0
f (t)sink1tdt
2 T
T
2 T
f (t)sink1tdt
2
1
2 0
f t sink1td1t
1
f t sink1td1t
,
二、周期函数f t 的频谱
k 1,2,3
1、f t 的频谱的分类：
幅 度 频 谱 ： 按 频 率 的 高低 把 各 次 谐 波 振 幅 大 小相 对 应 的 排 列 相 位 频 谱 ： 按 频 率 的 高低 把 各 次 谐 波 初 相 大 小相 对 应 的 排 列
那么它就可以展开成一个收敛的级数，此级数就叫 做傅里叶级数。形式为：
f (t) a0 a1 cos 1t b1 sin1t a2 cos 21t b2 sin21t ak cos k1t bk sink1t
a0 ak cos k1t bk sink1t k 1,2,3 k 1
上式可合并成另一种形式：
f (t) a0
a12
b12
a1 a12
b12
cos1t
b1 a12 b12
s
in1t
a22
b22
a2 a22 b22
cos 21t
b2 a22
b22
sin
21t
ak2
bk2
ak ak2 bk2
cos k1t
bk ak2
bk2
s
in
k1t
a0
§14 —2 周期函数分解为傅里期函数的周期为T ,则函数f (t) f (t kT ) 如果f (t)满足狄里赫利条件： （1）f (t)在一个周期内包含有限个极大值和极小值； （2）f (t)在一个周期内包含有限个第一类间断点。
工程上所遇到的周期函数一般均满足以上条件。
i
i
0
T
t
0
T
t
半波整流电流波形
全波整流电流波形
（2）、正弦电压作用下，在非线性电感（带有铁的线圈） 中所产生的电流波形：
i
0
T
t
磁化电流波形
二、谐波分析法： 分析线性电路在非正弦周期电压、电流或信号作用下的计算方法。 为了研究方便把非正弦周期电压、电流统称为非正弦周期量。
1、分析思路： （1）、顺向思维: 若干不同频率的正弦量（f互为整数倍）可合成一个非
C0 a0 ,Ck
ak2
bk2
,k
arctg
ak bk
ak
Ck
sink , bk
Ck
cos k , tgk
ak bk
在上式的无穷三角级数(傅里叶级数)中：
Ck ak
k
bk
K 0,C0 a0称为周期函数f t 的恒定分量 直流分量，
k 1,C1 sin1t 1 称为一次谐波（基波分量） k 2,C2 sin21t 2 称为二次谐波 k 3,C3 sin31t 3 称为三次谐波 二次谐波以上又可称为高次谐波。
期 周
性 期
性
i
i t
0
t
0
一、非正弦周期电流、电压的产生：
1、发电机在制造时，槽齿的影响，使磁感应强B的分布 不是纯正弦的。
2、电路中有不同频率的正弦电源同时作用（如将直流电源 视为频率为0 的正弦）。
u
uS为 正 弦 量 ，
+
u S u
UO
U
为
0
直
流
电
压
，
U0
u为 一 个 非 正 弦 周 期 电 压uS
三角函数的正交性
T
0 sink1t cos k1tdt 0
T 0
cos 2
k1tdt
T 2
,
T 0
sin2
k1tdt
T 2
2
ak T
T 0
f t cos k1tdt
2 T
T
2 T
f t cos k1tdt
2
1
2
0
f t cos k1td1t
1
f t cos k1td1t
f t a0 (ak cos k1t bk sink1t) k 1
Ck sink1t k 称为k次谐波
k 偶数时称为偶次谐波，k 奇数时称为奇次谐波。1叫做基波的角频率
这 种 把 周 期 函 数 展 开 或分 解 为 具 有 一 系 列 谐 波的 傅 里 叶 级 数 称 为 谐 波分 析 。
可见，要写出f t 的傅里叶级数，就必须求出ak , bk , a0 ,k
f t a0 (ak cos k1t bk sink1t) k 1
a0 ak cos k1t bk sink1t
k 1
k 1
将上式等号两边同时在一个周期内积分：T 0
f
t dt
a0T
0
1
a0 T
T f t dt 1
0
T
T
2
T 2
f
t dt C0
将上式等号两边同时左乘cos k1t再在一个周期内积分：
第十四章 周期性激励下电路的稳态响应 §14－1 周期性非正弦激励
在一个线性电路中有一个正弦电源作用或多个按同频率正弦 规律变化的电源同时作用时，电路各部分的稳态电压、电流都 按同频正弦规律变动。但在生产实践和科学实验中，通常还会
遇到按非正弦规律变动的电源和信号的问题。
非
正
弦
电
源
（ 电 压 、 电流 ） 非 周
u uS U0
0
t
3、为适应特殊的要求由专门的设备产生 如在自动控制、电子计算机等技术领域内大量用到的脉冲
电路中的脉冲信号。
i T
o
u
t
t
o
T
尖脉冲电流波形
方波电压波形（矩形脉冲波）
u
t
0
T
三角波电压波形
u
t
0T
锯齿波电压波形
4、负载是非线性元件，即使电源是正弦量，电路中也会产生 非正弦电流。 （1）、利用二极管整流：
k 1
ak2
bk2
ak ak2 bk2
cos k1t
bk ak2
bk2
sin
k1t
a0 ak2 bk2 sink cos k1t cos k sink1t k 1
a0 ak2 bk2 sinkω1t k C0 Cksinkω1t k
k 1
k 1
上述两种形式系数之间有如下关系：
正弦周期量。如：
u1、u2是正弦量，2 21，u u1 u2，初相位有所不同！从波形可
见，得一个非正弦周期电压。
u
u1
u
u2
0
u
u2
t
u1
（2）、反向思维: 任意一个非正弦周期量，可以分解成为若干 个频率成倍数的正弦量之和。 2、谐波分析法：
（1）、利用数学中的傅里叶级数，将非正弦周期量分解 成不同 频率正弦量的和的形式。 (2)、按叠加定理分别计算每个频率正弦量作用下的响应。用相 量法解。 （3）、各个频率下响应瞬时值相加。