杨辉三角形

4
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是 _4_._已_知__(_1_+_x2_)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.

Cn0

C
1 n

C
2 n
Cn3


(1)n
C
n n
即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
Cn0

C
2 n




C
1 n

C
3 n



小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特
定的值1，-1等来整体得到所求。
1答案
2答案
赋值法
已知(1 2x)7
比它的二项式系数和大992,
⑴求展开式中二项式系数最大的项.
90x
6
,270
x
22 3
⑵求展开式中系数最大的项.
（（21））解解：：系4数n 通2n项a9r91＝2 C5r
3r
,设ar
最大,则
1
二 得项 （2naa＝ 式 2rrn）3系 1122或数aa22最 rrn－n2＝大即99－的2＝ 3项 CC（155rr0为 33，舍2rr C即去52 (CC（）x55rr+-22311得)n333rrn+-3311＝x2得2）52272（ 2与2Cnr35(3x12392）)2 (＝3x02 )3
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 (律a b)n展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5
(a b)6
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
得7 2 r 8 2
5
5
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C280 312 28 x12 y8
（3）因为系数为正的项为奇数项，故可 设第2r-1项系数最大。（以下同2）
r=5.
课堂练习：
1）已知 C155

a, C195
b
，那么
C10 16
=
；
2） (a b)9的展开式中，二项式系数的最大值 是；

C r1 20
319r
2r1
C2r0
320r
2r

C r1 20

321 r
2r1
即 3(r+1)>2(20-r) 得 2
2
2(21-r)>3r
7 r8
5
5
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C280 312 28 x12 y8
即 3(r+1)>2(20-r) 2(21-r)>3r
例题分析:
例1．证明：
（1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数
的和
Cn0

C
1 n

C
2 n


C
r n

Cnn 2n
令a=b=1，则
2n

C
0 n

Cn1

Cn2


C
r n

Cnn
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项
图象的对称轴：r n 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于： C kn

n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!

k
1)

Ck 1 n

n

k k

1
nk 1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
决定．
k
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由：n k 1 1 k n 1
2
2
(4)2(a0 a2 a4 a6 ) f (1) f (1)
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解
练习（: 1 x x2 x3）4的展开式中奇次项
系数和是______
提示 : 设f (x) (1 x x2 x3)4
k
2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数
C
2取得最大值；
n
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
n1
Cn2
、
Cn2 相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C0n
C1n

C
2 n
Cnn

2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
这是组合总数公式．
1.3.2“杨辉三角” 与二项式系数的性
质
一、新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n wk.baidu.comn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2

C
r n
a
nr
br


C
n n
bn
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
C
C0 n
nn

C
C1 n1
nn

C n2C nn 2

Cnn1Cn1

CnnCn0

C
n 2n
再由 Cnm

C nm n
得
(Cn0 )2

(C
1 n
)2

(Cn2
)2


(Cnn )2

C
n 2n
.
思考3
2答案
思考:求证：Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn n 2 2n1
式有关问题的一种重要方法——赋值法。
继续思考1: （2）试证明在(a+b)n的展开式中，奇数 项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的
和即.证：Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
证明：在展开式C
0 n
a
n

C n1a n1b

Cnnbn中
令a=1，b=－1得
(1 1)n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cmn

Cnm n
得到．
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一
项的二项式系数最大，则n=
；
例1 证明在 (a b)n的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和．
例2
已知 (3 x 2 )n 的展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
即r903x,6即与第247项0xC25332(x 3 )2 (3x2 )3 270x 3
学习小结:
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题;
2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值;
3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考:
1.求证：Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn n 2 2n1
0行(1２)基杨本辉性三质角：的杨主辉要三性角质1形的两条斜边上的 1行数字都是1，而其余各1数都1等于它肩上的两
2行个数字之和，
3行
即1Cnr
2Cnr111

Cr n1
13 3 1
4行(2)对称性：Cnr1 C4nnr 6 4 1
5行(3)最值：当1n是5偶数10时,中1间0 的一5 项1取最大 6行值;当n是1奇数6 时1,中5 间的20两项1相5 等,6且同1时取
7行最大值1. 7 21 …35… 3…5 …21 7 1
n-1行 1
C C 1 n 1
2…
n 1
C C C … r1 r
n2
n1 n1
n 1
1
n行
1
C
1 n
C
2 n
… ……
C…nr …
…
C n1 n
1
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
解 : 设f (x) (1 2x)7
(3) f (1) a0 a1 a2 a7
f (1) a0 a1a2 a3 a7
2(a1 a3 a5 a7) f (1) f (1)
a1 a3 a5 a7

f (1) f (1) 1 37
a0 a1x a2x2 ... a12x12
f f
((1)1)aa00aa11aa22a3 a12
a12
44
0
思考：
(1 2x)7展开式中求a1 a2 a3 ... a7
2
例4. 设 (x 3 3x 2 )n 的展开式中，各项系数和
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C( )
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
思考2求证: (Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2 (Cnn )2 C2nn .
略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
A.210 B.120 C.461 D.416
例4、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项； （3）展开式中系数最大的项。
课堂练习
1、已知
a x

x 2
的9 展开式中x3的系数
为 9 ，则常数a的值是_______
a1

a2

...
a7
a0
(a0
a1

a1a2
a7
a7
)

a0
f (1) f (0) 11 2
例2
已知(1 2x)7 a0 a1x a2x2 a6x6 a7x7
(3)a1 a3 a5 a7 (4)a0 a2 a4 a6
求：(1)a0

a0 a1x a2x2 a6x6
(2)a1 a2 a3 ... a7

a7 x7
解 : 设f (x) (1 2x)7
（1）令x 0 即f (0) (1 2 0)7 1,
a0 f (0) 1展开式右边即为a0 （2）令x 1 f (1) (1 21)7 1
Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn n 1 2n1
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)
系数最大的项;
解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.
则
C2r0
320r
2r
证明：∵ 2 Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn
n 1 Cn0 nCn1
2

C n1 n

Cnn
n 2(Cn0 Cn1 Cn2 Cnn )
n 2 2n
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm

C nm n
（2）
Cnm

C m1 n

Cm n1
（3）当 r 当r

n 1 n21
2
时， 时，
C nr Cnr

1
C r1 n
Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
例3： (1 2x)n的展开式中第6项与第7项的系
数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最
大的项。
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若
(x3

1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不
含x的项等于( )