数学高考中的巧思妙解

数学高考中的巧思妙解
福建省厦门第一中学 王淼生
2017年12月2日 福建教育学院
一、欣赏巧思妙解
案例 1：已知点 P 为曲线 xy 则 OP 的最小值为（ ）.
5 x 2 y 3 0 上任意一点， O 为坐标原点， 2
5 A. 2
6 B. 2
C.
2
2 3 D. 3
剖析 1：设 P( x，y ) ，则 OP
显然函数图象为开口向上的抛物线，而且可以得到
( y 3) 2 4( y 2 3 y 3) 3( y 1) 2 0 .
剖析 6：利用上述剖析 2 的过程所得并构造二次函数：
f ( y) y 2 ( x 3) y ( x 2 3x 3) .
显然函数图象为开口向上的抛物线，而且可以得到
由此可见案例1是在案例3的基础上“加工”而成，鉴于案例3属于轮 换对称，显得较为“单薄”，因此专家命制案例1时特意“避开”轮换对 称，并且“故意”将案例1中的数据变得“奇怪”，以此加大考生的心理 压力！案例2在“遗传”案例1的同时实施“变异”，以此掩盖问题的本 质，这就是为何仅从外观感觉案例1与案例2毫无关联的原因所在.案例1 通过设点P的坐标而与案例3靠近，案例2则通过三角自身的隐含条件（同 一个角的正余弦平方和等于1）与案例1靠近，这正是专家命制案例1与案 例2的心路历程.正是因为我们完全掌握了命题专家的“套路”，因此我 们完全可以借助案例3的解法来处理案例1与案例2，这就是前面案例1的 巧思妙解的由来.
案例 3：求证：对任意的实数 x 、 y 恒有 x 2 y 2 xy 3( x y 1) .
剖析 1：按 x 的降幂（即将 x 作为主元）排列可得
x 2 y 2 xy 3( x y 1)
x 2 ( y 3) x ( y 2 3 y 3)
1 巧思妙解源自回归教材
教材是人类获得完整、系统、准确知识的有效载体，教材是一个 国家教育思想和理念的重要依托，教材是连接课程方案与教学实践的 桥梁枢纽，教材是课程目标和教学内容的具体体现，教材是教师教学 的蓝本依据，教材是学生阅读的规范文本，教材是顶尖专家、一流学 者及名家大师的智慧结晶，教材是历经多方论证、反复打磨、高度浓 缩的精品，教材是优化学生思维品质、激发学生创新意识与创造能力 的不竭源泉，因此教材是是实施巧思妙解的根本动力，正如于永正先 生指出：“这法那法，研究教材才是根本之法.”
2
二、诠释巧思妙解
思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括及间接反映.解题就是一种 思维活动.解题不仅要结果，而且要呈现解题活动的必要过程，更要充分暴露解题 的思维.巧思妙解则是解题的最高境界，因此巧思妙解的构思过程就是思维发散的 历程．而发散思维则指大脑在思维时呈现一种扩散状态的思维模式，主要表现为视 野广阔、多维发散，故而发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维 ．巧思妙解有利于培养学生发散思维，优化思维品质，激发创新意识及创造力． 安振平先生指出：“巧思妙解不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技， 而是一种高思维层次、高智力水平的艺术，是一种独立于史诗、音乐、绘画之外的 数学美．”罗增儒教授指出：“巧思妙解不是低层次技巧的堆切，而是对知识内容 的深层认识．巧思妙解不是特殊技巧的神秘操作，而是对题目结构特征的充分挖掘 ．”基于此，怎样才能对知识内容达到深层次的认识呢？怎样才能对题目的结构特 征进行充分挖掘呢？
2 2
剖析 3：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
x 2 y 2 xy 3( x y 1) ( x 2 2x 1) ( y 2 2 y 1) ( xy x y 1)
( x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 1)( y 1)
剖析 2：按 y 的降幂（即将 y 作为主元）排列可得
x 2 y 2 xy 3( x y 1) y 2 ( x 3) y ( x 2 3x 3)
x 3 3 2 3 3 y x x 2 4 2 4 x 3 3 y ( x 1) 2 0 . 2 4
先求 x 2 y 2 的最小值.以 y 作为主元（构造单主元）得到：
x2 y2
5 x 2y 3 2 5 y 2 ( x 2) y x 2 x 3 2 2 2 5 x 2 x 2 2 y x x3 2 2 2 x 2 y 2 xy
2 2
x 2 y 2 ，欲求 OP 最小值，
先求 x y 的最小值.以 x 作为主元（构造单主元）得到：
x2 y2
x 2 y 2 xy 5 x 2y 3 2
5 x 2 y x y 2 2 y 3 2 2 2 y 5 y 5 x y2 2y 3 2 4 2 4
x2 y 2 案例 1：已知双曲线 2 2 1 （ a 0 ， b 0 ） ，过 x 轴上点 P 的直线 l 与双曲线的右支 a b
相交于 M ， N （ M 在第一象限） ，如图所示，直线 MO 交双曲线左支于点 Q （ O 为坐标原点） ， 连接 QN ．若 MPO 60 ， MNQ 30 ，则双曲线的离心率 e 为（
y 3 3 2 3 3 x y y 2 4 2 4
y 3 3 2 x ( y 1) 0 . 2 4
当且仅当 x
2
2
y 3 0 ， y 1 0 ，即当 x 1 ， y 1 0 时等号成立. 2
1 深度剖析案例1
案例1源自2015年湖北省高三二月份调研考试理科选择题压轴题，显然案例 1起着把关作用．仅从表面上看，案例1是一道考查曲线、函数及不等式等相关 知识的综合性试题，因此一般思路是从导数的视角切入．倘若从导数切入，运 算量极大，解答过程极其复杂.那为何得到上述巧思妙解呢？依据又是什么呢？ 换一句话说，怎样想到上述解法呢？俗话说得好，擒贼先擒王．如果我们明白 命题专家命制案例1的心路历程，顺藤摸瓜，自然就可以获得上述巧思妙解．莫 斯科大学雅诺夫斯卡娅一语道破：“数学解题意味着什么？数学解题就是把问 题归结为已经见过的、熟悉的，甚至已经解决了的问题．” 非常有趣的是：2015年湖北省高三四月份调研考试理科试题中也有一道 填空题压轴题，原题如下（以下简称案例2）：
x 3 3 3 5 y 1 x 2 x 2 4 2 4 4
2
1 3 5 5 y x 1 ( x 1) 2 . 2 4 4 4 1 1 当且仅当 y x 1 0 ， x 1 0 x 1 ， y 时等号成立. 2 2
( x 3) 2 4( x 2 3x 3) 3( x 1) 2 0 .
2 巧思妙解案例2
你会巧思妙解案例2吗？
数学既是神秘深奥的也是好玩有趣的！这就是数学教师独有的高雅的精 神享受！这就是数学王国对数学教师的最高奖赏！这就是数学迷宫吸引无数 人为之疯狂的魅力所在！试题是专家集体智慧结晶，因而这些试题呈现在我 们面前时显得高雅、高质、高贵，但命制试题又是有规律且可掌控的！应该 说绝大部分试题都是在原有试题（包括教科书例题、习题、高考试题、竞赛 试题乃至国际奥赛试题）上进行高质量加工、改编、拼接、组装、引申、拓 展．只是命题专家精心“无痕”“嫁接”，我们在短时间内难以发现“庐山 真面目”而已，这也是数学高深莫测的缘由之一．一旦寻觅到命制原创试题 专家的意图，顺着思路与构思，我们就可以从源头上找到真正的巧思妙解.
案例 2：已知函数 f ( x) sin x cos x sin x
2 cos x （ 0 x ） ，则函数 f ( x) 的最 5 2
大值为（ ）. 案例1与案例2都是2015年湖北省高三调研试题的压轴题.这让我产生浓厚兴趣！一则 ，看似案例1与案例2毫不相干，其本质完全相同！二则，同一地区、同一届高三毕业班在 短短两个月的时间内的调研试题所采用的解法本质相同.也许命题专家考虑到二月份作为 压轴题考过，应该大部分学生基本掌握，为了进一步巩固这类题型，有意在四月份作为选 择题（倒数第二）而不是作为倒数第一个选择题的原因吧；三则，一般来说在较短的时间 内不会考查同一解法的试题，尤其是“把关”题，毕竟调研卷还是面稍微大一些、题型多 一些，这样更利于学生全面铺开复习、见识更多题型、掌握更多方法，显然命题专家有其 明确用意.四则，对于重点知识、重要模块，尤其是涉及曲线、函数及不等式等高考必考 的相关知识的综合性试题可以经常考、反复考、重点考也在情理之中；五则，这道优美试 题是如何构思的？换句话说，命题专家是如何命制出这样两道高质量试题呢？ 原来命题专家之所以能够命制出上述案例1、案例2这样高质量的试题，源自2009 年中国科技大学自主招生中的一道试题（以下简称案例3），原题如下：
山重水复疑无路——砥砺前行
教材所选例题、习题都是历经长期打磨、反复检验，具有典型的代表性、丰富 的内涵性、高质的推广性、广泛的应用性．搞好例题、习题教学，特别是搞好教材 例题、习题的剖析教学，不仅能加深对概念、公式、定理的理解，而且对培养学生 发现问题、解决问题的能力以及抽象思维能力大有裨益，因此教师必须将教材中的 习题、例题精雕细琢． 吃透这些例题、习题，领悟其本质，以不变应万变，摒弃无 休止“题海肉搏战”．一般来说，对教材例题、习题的剖析可以从横向剖析、纵向 剖析、变式剖析等方面入手．正因为这样，教材中经典例题、习题，既是专家命题 抓手，也是命制高质量试题原材料．在新课改背景下，教师引导学生创造性开发、 拓展教材例题、习题中所蕴含的巨大能量与价值显得尤其重要而紧迫，对于参加自 主招生、各类竞赛的考生来说如虎添翼．遗憾的是，目前课堂教学中，普遍存在未 真正领悟教材价值，流于表面，甚至出现完全脱离教材的现象，这是令人担忧的．
三、研究巧思妙解
数学解题是一种创造性活动．解题目的是为了理解概念、巩固 知识、提炼方法、渗透思想、发展思维、增强素养．我们每每欣赏别 人巧思妙解时心潮澎拜、热心沸腾、惊叹不已，可看完、听完之后却 两手空空、大脑空白、一无所获，为什么？因为我们没有真正掌握巧 思妙解的源泉！巧思妙解确实高深莫测，但还是可以寻觅其中的奥秘 ，这也正是本讲座的目的，那就是巧思妙解源自回归教材、基本性质 、熟悉公式、原始概念、转化化归、解题理论、空间想象、题根演绎 、经验反思、多维视角等不同途径.
y 5 3 1 5 5 x y . 2 4 4 2 4 4 y 5 1 1 当且仅当 x 0 ， y 0 x 1 ， y 时等号成立. 2 4 2 2
2 2
剖析 2：设 P( x，y ) ，则 OP
x 2 y 2 ，欲求 OP 最小值，
y 1 3 ( x 1) ( y 1) 2 0 . 2 4
2
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剖析 4：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
剖析 5：利用上述剖析 1 的过程所得并构造二次函数：
f ( x) x 2 ( y 3) x ( y 2 3 y 3) .
0
0
）
y
A． 2
B． 3
C ．2
D ．4
M
案例1为2017届厦门市高三质检理科压轴题，得分率 极低．作为选择题，命题专家没有给出解答过程，仅仅 给出答案，导致不少教师直到讲评试卷时都不知道如何 解答．为何得分如此之低？为何不少教师都束手无策？
O Q
P
x
N
（1）回归教材
（2）领悟教材
（3）命题依据
（4）训练题组