2020-2021学年高二数学：平面解析几何的高考热点问题

2020-2021学年高二数学：平面解析几何的

高考热点问题

1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .

(1)若直线MN 的斜率为34

，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .

解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝

⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，

解得c a ＝12，c a

＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12

. (2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，

所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，

故b 2a

＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.

设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则

⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.

代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②

将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a

＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.

2．(2019·郑州模拟)已知动圆E 经过点F (1，0)，且和直线l ：x ＝－1相切．

(1)求该动圆圆心E 的轨迹G 的方程；

(2)已知点A (3，0)，若斜率为1的直线l ′与线段OA 相交(不经过坐标原点O 和点A )，且与曲线G 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．

解：(1)由题意可知点E 到点F 的距离等于点E 到直线l 的距离，所以动点E 的轨迹是以F (1，0)为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，

故轨迹G 的方程是y 2＝4x .

(2)设直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，其中－3

联立得方程组⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，消去y ，得x 2＋(2m －4)x ＋m 2＝0， Δ＝(2m －4)2－4m 2＝16(1－m )恒大于零．

设C (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得

x 1＋x 2＝4－2m ，x 1·x 2＝m 2，所以|CB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝2（x 1－x 2）2＝

2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝42（1－m ），

故A 到直线l ′的距离d ＝3＋m 2

， 所以S △ABC ＝12×42（1－m ）×3＋m 2

＝21－m ×(3＋m )， 令1－m ＝t ，t ∈(1，2)，则m ＝1－t 2，