一类非线性色散波方程的低正则解

一类非线性色散波方程的低正则解

许多实际的非线性问题最终都可归结为非线性系统来描述。最近几年来，物理、力学、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融等领域中诞生了许多非线性偏微分方程，但是由于方程的非线性以及本身的复杂性，使得对这些方程的研究具有很大的挑战性。本文研究了一类有着深刻物理背景的非线性色散偏微分方程，即Fornberg-Whithajn方程和一般DegasperisProeesi方程低正则解的存在性、唯一性及局部适定性。同时，我们在最后通过方程的行波解构造出了周期解，证明此周期解满足方程分布解的条件，由此验证结论。关键字：非线性现象；非线性色散偏微分方程；非线性模型

一、非线性现象历史发展背景利用现代数学手段描述与刻画流体运动现象，是揭示流体运动规律与内在联系，实现代数学以及应用数学的重要内容。非线性偏微分方程是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域中的非线性问题之间的一座重要的桥梁，它直接联系着众多复杂自然现象和实际问题，其涉及的领域越来越广，研究的问题也越来越深入，不断地提出需要解决的新课题，不断产生解决问题的新方法，不断地促进着许多相关数学分支的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。正因为非线性偏微分方程反应的自然现象的复杂性，其应用的广泛性和重要性，决定了这个研究领域具有旺盛的生命力。时

至今日，以实际问题为背景的非线性偏微分方程的研究已成为传统应用数学中的一个最主要研究领域，与非线性偏微分方程相关的一系列问题已成为国内外无数学者研究的热点问题。

二、水波的孤立波现象的非线性模型物理中的水波研究一直是一个吸引人的课题，因为这种现象人们很熟悉而且其中蕴含的数学问题也是多种多样。但是一直到20世纪后半叶，水波的研究差不多还是紧紧局限于使用线性理论。线性化理论只适用于处理初始静态的水的表面的小扰动，而不能处理水的表面有较大扰动的情形。例如线性水波理论忽略了诸如波的破碎，孤立波等实际非线性行为所表现的现象。于是诞生了许多描述水波的孤立波现象的非线性模型。

三、非线性科学的迅速发展1984年，英国科学家Soott-Russell在爱丁堡道格拉斯哥的狭长运河中，站在匀速行驶的船头对河中的水波运动进行了考察，并且随后在文中，作了关于水波的报告，在这个报告中，他虽然没有应用纯粹的线性模型来模拟水波，但这却推动了非线性偏微分方程在流体、等离子体、凝聚态、光通讯、量子物理、弹性杆、金融等领域的发展。

非线性科学是继量子力学、相对论后20世纪自然科学的重要发现。物理学大师爱因斯坦曾预言:“由于物理学的基本系统都是非线性的，因此所有的数学物理都必须从头研究”。非线性科学的迅速发展使它成为众多科学的前沿课题之一。

近年来，关于孤立波研究的工作在理论及应用方面均取得突破性成果。无论是可积系统，还是耗散系统及其时空动力学复杂行为规律，因它们在拟序结构、高速光纤通讯、化学反应斑图、生物中斑图、纳米的量子效应等方面的巨大潜在应用背景，使对它们的研究成为众多科技关注的热点之一。另一方面，关于浅水波方程相关性质的研究由于在超弹性材料力学及浅水波运动规律研究中有广泛的应用前景而成为目前国内外数学物理学界关注的热点问题之一。讨论浅水波方程解的相关性质(特别是水波方程的局部适定性理论、稳定性理论、散射理论、解的整体存在性及blow一叩理论(爆破现象))并揭示波的传播规律，在准确解释自然现象，确定物理材料属性等方面均具有极大的应用价值。C alnassa-Holm方程和Degasperis-Procesi方程已经吸引了无数国内外学者对它们进行研究，研究的方面包罗万象，主要有:可积性问题强解的局部适定性和整体适定性、各种弱解的存在性、初边值问题、求精确解(包括了行波解中的重要的孤立子解)、讨论解的各种性质、数值计算等等。这些理论和数值方面的研究，帮助人们更好地认识了客观自然现象和过程，推动了偏微分方程理论自身的完善，也促进了相关学科的发展。但是，关于Fornberg一whithaln方程现有的研究成果还比较少。