d3_3复合函数的求导法则

提示：
y ln 1 x x2 2x
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二、抽象函数的求导
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二、抽象函数的求导
例8. y f (sin 1 ) 求 y
x
解Biblioteka Baidu
y ( f (sin 1 )) x
f (sin
1) x
(sin
1 ) x
f (sin 1)(cos 1)( 1) x xx
1 x2
cos
1 x
f
(sin
1) x
1). y ex3 , 2). y 3 1 2x2 , 3). y cot 3x,
解 1). y (ex3 ) ex3 (x3) 3x2ex3 .
2).
y
(3
1
2x2
)
(1
2
x
2
1
)3
1
(1
2x2
2
)3
(1
2x2
)
4x
.
3
33 (1 2x2 )2
3). y (cot 3x) csc2 3x (3x) 3csc2 3x.
(
u v
)
uv uv v2
3
练习一下
已知 f x xx 1x 2 x 100 求 f 0
解： f x 1x 1x 2 x 100
x 1 x 2 x 100
方
x x 1 1 x 100
1
法
•••
x x 1x 2 1
从而 f 0 1 2 100 100!
4
方法2：
若 y f (u) , u (x) 均可导， 则复合函数 y f [ (x)] 也可导，且其导数为：
dy dy du f ( u )( x )
dx du dx
8
证
由y
f (u) 在点u0
(x0) 可导，知lim y
u0 u
f (u0 )
由极限与无穷小关系知
y u
f
(u0 ) ,
lim 0
例7 已知 y 1 ln 1 e2x x ex arctanex 求 y 2
解：
y
1 2
1 1 e2x
0 e2x 2
1
ex arctanex ex 1 ex 1 e2x
ex arctanex
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提高题目
例7 已知 y 1 xln 1 x x2 2x x2 2x
求 y
x 2
.
dx du dv dx
1 v2 2
4 x2
另解
dy 2 arccos
dx 2 arccos x
2
x 2
arccos
1
1
x
2
x
2 x 2
2 arccos x 2
4 x2
.
2
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例5. y sin nx sin n x(n为常数）求 y
解
y (sin nx) sin n x sin nx (sin n x)
用定义
f 0 lim f x f 0 x0 x 0
lim xx 1x 2 x 100 0
x0
x0
limx 1x 2 x 100 x0
1 2 100
100 !
方法3：
直接观察
5
一、复合函数的求导法则 例子 已知 y sin 2x ，求 y y 2cos2x
6
复习：复合函数的定义 ❖ 已知函数
u0
于是 y f (u )u u 0
y x
f
(u0
)
u x
u x
lim y x0 x
f
(u0
)
lim
x0
u x
lim
x0
u x
即
dy f (u )(x )
dx xx0
0
0
9
例1. 求下列函数的导数：
1). y sin x2, 2). y sin 2 x, 3). y ln tan x,
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例6. y ln( x x2 1) 求 y 典型例题
解 y (x x2 1 )
x x2 1
1 (x2 1) 2 x2 1
x x2 1
1 x2 1
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说明 1）在求导过程中必须搞清函数是怎样复合的. 2）求导时由外到里逐层求导. 注意:一定要到底,不要遗漏 ,不要重复.
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练习一下
dy dx
dy du
du dx
1 u
sec2
x
sec2 x tan x
sin
1 x cos
x
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复合函数求导步骤：
（ 1）选定中间变量，分解复合函数； (2) 将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导; (3) 将中间变量代回为自变量的函数.
简记为分解－求导－回代
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例2. 求下列函数的导数：
注意: ( f (sin 1 ))与 f (sin 1 )的区别
x
x
没有求导
求过导数
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例9 已知
f 1 x x 1 x
求 f ln x
解：
f x 1
x 1
f
x
x
1
12
f
ln
x
ln
1 x
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别忘记了：
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思考题目
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小结
1）复合函数求导的链式规则 2）抽象函数的求导
两条经验
1).复合函数求导，看清结构，由外到里逐层求导 2).抽象函数求导，先求导，后代值
y f (u), u Df , y Z f ; u g(x), x Dg , u Z g
如果 Z g D f 则称函数 y f [g(x)] F(x)
x DF x | g(x) D f 是由y f (u)
与 u g(x) 复合而成的复合函数。
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定理1 复合函数的求导规则
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
dy dy d u dv dx d u dv dx
f (u) g(v) h(x)
.
u链 式
v规 则
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导
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例3. y ln cos(ex ) 求 dy dx
解 y ln cos(ex ) y ln u, u cosv, v ex.
解. 1). y sin x2 y sin u, u x2
dy dy du cosu 2x 2x cos x2 dx du dx
2). y sin 2 x y u2, u sin x
dy dx
dy du
du dx
2u
cos
x
2sin
x cos
x
sin
2x
3). y ln tan x y ln u, u tan x
dy dx
dy du
du dv
dv dx
1 (sin v) ex
u
ex
sin ex cos ex
ex tan ex.
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例4.
y
arccos
x
2
求
dy
2 dx
解
y
arccos
x
2
y u2, u arccos v, v x .
2
2
dy dy du dv 2u
1
1
2
arccos
微积分I
1
§3.3 、复合函数的求导法则
1、复合函数的链式求导法则 2、抽象函数的求导
2
复习：上节课的主要内容
1、16个基本求导数公式
( x ) x1 (sin x) cos x
(cos x) sin x
2、四则运算规则
(u v) u v
(ln x ) 1 x
等等
(u v) uv u v
n cos nx sin n x n sin nx sin n1 x(sin x) n cos nx sin n x n sin nx sin n1 x cos x n sin n1 x(cos nx sin x sin nx cos x) n sin n1 x sin( n 1)x
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作业
P82 4单 6单
5单 9
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