1.1归纳与类比
归纳推理与类比推理
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总结词
类比推理可以分为简单类比和复杂类比两种类型。
详细描述
简单类比是指基于两个对象之间的直接相似性进行推理，例如通过比较两个物体 的形状、大小、颜色等表面特征来推断它们的其他属性。复杂类比则涉及到更抽 象的概念和关系，需要更深入的分析和理解。
类比推理的优缺点
总结词
类比推理的优点在于能够通过相似性快速推断出其他属性，但也可能因为相似性不足而 导致推断不准确。
归纳推理与类比推理
目录
• 引言 • 归纳推理 • 类比推理 • 归纳推理与类比推理的应用场景 • 归纳推理与类比推理的案例分析 • 结论
01 引言
主题简介
归纳推理与类比推理是两种重要的推理方法，在 逻辑学、数学、科学和日常生活中广泛应用。
归纳推理是从个别到一般的推理过程，通过观察、 实验和经验归纳出一般性规律或结论。
未来研究可以进一步探讨归纳 推理和类比推理的内在机制和 认知过程，以及它们在人类思
维和人工智能领域的应用。
研究可以探索归纳推理和类比 推理在不同领域的应用，例如 心理学、教育学、商业管理和
人工智能等。
未来研究可以关注如何提高归 纳推理和类比推理的准确性和 效率，以及如何将它们应用于 实际问题解决和决策制定中。
类比推理的定义
总结词
类比推理是一种基于两个或多个对象之间的相似性来推断出其他属性的推理方 法。
详细描述
类比推理是通过比较两个或多个对象之间的相似性，推断出它们在其他属性上 的相似性。这种方法基于已有的经验和知识，通过比较不同对象之间的相似点 或共同特征，来推断出它们在其他方面的相似性。
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第1节归纳与类比
§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积． 归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1， 可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】 在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】 如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1． 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ， 所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明． 思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点， 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ， 所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1， 将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ， 将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较 归纳推理类比类推相同点 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不 同 点特点 由部分到整体，由个别到一般 由特殊到特殊推理过程 从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。
《归纳、类比、演绎推理》课件
构建数学：
类比推理的定义:
类比推理：根据两个（或两类）对象之间在
某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方 面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比 推理.(简称：类比)
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的特点:
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特 殊属性.即类比推理是由特殊到特殊的推理． 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
7、归纳推理的几个特点:
1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象,因而,由 归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推 断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践证明，因此它不能 作为数学证明工具。 3.归纳推理的前提是特殊的情况,因而归纳推理是 立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳推理是 一种具有创造性的推理，通过归纳得到的猜想可作 为进一步研究得起点，帮助人们发现问题和提出问 题。
情景创设1： 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班 （后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
情景创设2：
数学巩固：
1. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：
(1)
1 1 , 2 2
1 1 2 , 2 6 3
1 1 1 3 , 2 6 12 4
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比演绎推理的三段论素材北师大版选修2-2(new)
1。
1 演绎推理的三段论演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式．其主要形式是由大前提、小前提和推出的结论的三段论式推理，可以表示为：用集合论的观点来讲，就是:若集合Ｍ的所有元素都具有性质Ｐ，Ｓ是Ｍ的子集，那么Ｓ中所有元素都具有性质Ｐ．其推理规则可用符号表示为：“如果M P S M ⇒⇒，，则S P ⇒．”三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生第三个判断——-结论．为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论,把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提． BFD A ∠=∠，例1 如图，D E F ，，分别是BC CA AB ，，上的点，DE BA ∥，求证：ED AF =． 证明：(1）同位角相等,两条直线平行,（大前提）BFD ∠与A ∠是同位角,且BFD A ∠=∠，（小前提）所以，DE BA ∥．（结论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形,（大前提）DE BA ∥且DF EA ∥，（小前提）所以，四边形AFDE 为平行四边形．（结论）（3）平行四边形的对边相等，（大前提） 大前提:M 是PED 和AF 为平行四边形的对边，（小前提）所以，ED AF =．（结论）上面的证明通常简略地表述为：BFD A DF EA DE BA ∠=∠⇒⎫⇒⎬⎭∥∥ 四边形AFDE 是平行四边形ED AF ⇒=． 例2 已知a b m ，，均为正实数，b a <，求证：b b m a a m+<+． 证明：0b a mb ma ab mb ab ma m <⎫⇒<⇒+<+⎬>⎭, ()()()()()0()()b a m a b m b a m a b m b b m a a m a a m a a m a a m ⇒+<+⎫+++⇒<⇒<⎬+>+++⎭又．评注：1．每一步推理（即每一个“因为”，“所以"）都体现一个演绎推理“三段论"，并且环环紧扣，推理清晰．2．演绎的前提是一般原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别，特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．3．演绎推理是一种必然性推理，因此，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的．但错误的前提可能导致错误的结论．如整数是自然数（大前提)，－3是整数（小前提)，所以－3是自然数（结论)．由错误的大前提导致了错误的结论．但将小前提改为：3是整数，则结论:3是自然数．此时大前提错误,但结论正确．4．演绎推理是一种收敛性的思维方式,它较少创造性,但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
归纳法和类比法
12
12 12 15
6
8 7 7 6
V+F-E=2
——笛卡儿-欧拉多面体定理
7 10
8
12
一、 归纳法的概念
归纳法，是指通过特别分析引出普遍的结论 的推理方法。和类比一样，它在数学发现中也具 有十分重要的作用。 在科学认识活动中，归纳法可以理解为用来 概括由观察和实验获得的事实，确立科学认识基 础的客观性，从而探索事物的规律性。即归纳常 常建立在有目的、有计划的观察和实验基础上。 归纳法也是一种或然性推理，其猜想或论断 尽管是符合情理的，但不一定是正确的，还需要 有严格的证明。
引例2：观察如下几个等式： 10=3+7，20=13+7，30=13+17
再如： 6=3+3， 8=3+5，10=3+7=5+5， 12=5+7，14=3+11=7+7
能否有论断：“任何一个大于4的偶数都 是两个奇质数之和”。 ——哥德巴赫猜想 1966年，数学家陈景润证明了“每一个充分 大的偶数都能够表示为一个质数及一个不超过二 个质数的乘积之和”。
二、 归纳法的类型
归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种。 所谓完全归纳法，是根据某类事物中每一个 对象的情况或每一个子类的情况，而作出关于该 类事物的一般性结论的推理。如果它的前提是真 的，那么它的结论也一定是真的。 所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的 一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般 性结论的推理。
S梯
h( a b ) H ( S1 S 0 S 2 ) , V四 棱 台 2 3
在小学数学解题中,类比也有着相当广泛的应用, 具体过程正如波利亚所说的那样“选择一个类似的、 较容易的问题去解决它，以便它可以作为一个模式。 然后利用这个刚刚建立起来的模式，以达到原来问 题的解决。” 例5 6 计 算 1 1 1 1 1 3 7 7 11 11 15 15 19 19 23
归纳与类比
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = πR3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
我珍视类比胜过任 何别的东西，它是我 最信赖的老师，它能 揭示自然界的秘密。
德国天文学家开普勒（ Kepler，
1571-1630）
“即使在数学里，发 现真理的主要工具也 是归纳和类比．”
法国数学家 拉普拉斯 （Laplase,1749-1827)
例3：传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一 块黄铜板，板上插着三根神针，传说主神再创世 时，在其中一根神针上，从下到上放下了由大到 小的64片金片。并言，将此64片金片移动到第三 根上时，世界末日就到了。其移动的规则是： 1）每次只许移动一片金片； 2) 金片只能在三根神针上存放； 3) 大金片任何时候不能放在小金片上面。 于是从此开始有一个僧侣24小时不间断地（允许 换班）移来移去。问题显然是：什么时候是世界 末日呢？
an 1 2(an 1 1) ∴数列 an 1 是以1位首项，2为
公比的等比数列．
an 2 1
n
an 1 2
n
当n=64时， a64 回到故事中，
2 1
64
=18446744073709551615．
归纳推理与类比推理异同点比较
归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理一归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明二归纳推理和类比推理的区别:一归纳推理1归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2归纳推理的特点:（1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．3归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法3归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．二类比推理（以下简称类比）1类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具例1如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n=．【答案】a n=3n2-3n1【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个,a1=1;图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个,a2=232;图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称,a3=34543;……;可以猜想:第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=nn1…2n-1…n1n=3n2-3n1【评析】上例是利用归纳推理解决问题的归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一例2如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△LCV．得=。
归纳与类比
•问题： 什么是推理？ 怎么进行推理？
１、当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家 等现象时， 我们会得到一个判断：天要下雨了。 ２、谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五 雪扎灯。”
根据一个或几个已知的命 推理： 题得出另一个新命题的思 维过程。
案例：1
• 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是 用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鳄鱼、 海龟、蜥蜴都是爬行动物 • 所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的
从一般性的命题推演出特殊命题的推理方 法称为演绎推理．
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论
36
案例分析：
从一般性的命题推演出特殊命题的推理方 法称为演绎推理．
得到怎样的结论？
归纳推理
类比推理
34
案例：
完成下列推理， 它们是合情推理吗？
它们有什么特点？
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论
35
案例分析：
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基 本定理.
在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点 之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一 种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比)
类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性, 是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.
归纳推理与类比推理的PPT
类比推理过程中涉及的主观判断和经验等因素较 多，容易影响推理的客观性和准确性。
05
归纳推理与类比推理的 未来发展
归纳推理的未来发展
人工智能应用
随着人工智能技术的不断发展，归纳推理在自然语言处理、机器学习等领域的应用将更加广泛，有望实现更高效、准 确的推理过程。
跨领域应用
归纳推理不仅在逻辑学和哲学领域有应用，未来还可能拓展到其他领域，如医学、生物学等，为解决复杂问题提供新 的思路和方法。
区别
01
归纳推理是从个别到一般的推理，即从具体事例出发，概括出一般性结论；而 类比推理则是从一般到一般的属性也可能相同。
02
归纳推理的结论范围比前提更广泛，即结论是前提的一个超集；而类比推理的 结论并不一定包含前提的范围，即前提和结论之间不一定有包含关系。
教育与培训应用
类比推理在教育和培训领域具有重要价值，未来将进一步 探索其在培养创新思维、解决问题能力等方面的应用，为 教育和培训提供新的方法和工具。
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根据某一类事物的部分成员的特 征，推出该类事物的一般性结论。
基于对事物内在机制的认识，通 过因果关系推导出一般性结论的 推理方法。
归纳推理的应用
科学研究
在科学研究中，归纳推理是常用 的推理方法之一，通过对大量实 验和观察数据的分析，得出科学 规律和理论。
法律审判
在法律审判中，法官根据证据和 事实进行归纳推理，推断出被告 人的罪行和责任。
归纳推理的逻辑不严密
归纳推理的逻辑基础是假设总体具有与样本 相似的特征，但这一假设并不总是成立，因 此归纳推理的逻辑并不严密。
类比推理的局限性
“归纳”与“类比”
解：观察下列等式： 左边是：从1开始的依次的自然数的那么 多个奇数的和， 右边是：依次的自然数的平方.
有1 3 5 2n 1 n2
n项
2 2 1 1
2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 7 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 92
2
2
n 1 n 2 即， 1 2 3 n 2
6 2011 陕西 文 观察下列等式 11 23 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49
那么N点的坐标一定是 m, n ，设点P的坐标为 x, y ，则k PM 与k PN 的值 存在的情况下 可以表示出来，求两者的积，整理、化简即可 得结论. x2 y 2 解： 1 类似的性质：若M , N 是双曲线 2 2 1上关于原点对称的 a b 两点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM , PN的斜率存在，
步骤 P30中间虚框阴影部分：
1.找出两类事物之间的相似性或一致性； 2.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题 猜想 .
注：书上“两个表格中的内容” 自看
题型1.类比推理在数列中的应用
11.根据等差数列的性质，利用类比推理写出等比数列的性质 等差数列an , 公差d 则 am a n a p a q 若m n 2 p , 则 am a n 2 a p ak , ak m , ak 2 m 构成公差为md 的等差数列 am an m n d 若m n p q m, n, p , q N *
高中数学第一章-1.1
§1归纳与类比1．1归纳推理[学习目标]1．通过具体实例理解归纳推理的意义．2．会用归纳推理分析具体问题．[知识链接]什么情况下可以进行归纳推理？答若干个特殊的对象具有相同的形式和结论，可以进行归纳，进而推广到一般情形．[预习导引]1．归纳推理的含义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．3．归纳推理结论真假利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．4．思维过程流程图实验、观察→概括、推广→猜想一般性结论要点一数列中的归纳推理例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)51114115 (5)…………记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N＋)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6；(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11；(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4.由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N＋，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N ＋. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 几何中的归纳推理例2 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)、图(3)是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )A ．25B ．66C ．91D ．120 答案 C解析 图(1)是1个小正方体木块， 图(2)是(2＋1×4)个小正方体木块， 图(3)是[3＋(1＋2)×4]个小正方体木块，按照前三个图所反映出来的规律，归纳推理可知，第七个叠放的图形中小正方体木块数应是7＋(1＋2＋3＋…＋6)×4＝91.故选C.规律方法 由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，也是高考的热点问题．这类问题颇有智力趣题的味道，可以激励学生仔细观察，从不同的角度探索规律．解决这类问题常常可从两个方面入手：(1)图形的数量规律；(2)图形的结构变化规律．跟踪演练2从大、小正方形的数量关系上，观察下图所示的几何图形，试归纳得出结论．解从大、小正方形的数量关系上容易发现：1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62，猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.要点三不等式中的归纳推理例3对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系．解当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52；当n＝6时，26＞62.…归纳猜想，当n＝3时，2n＜n2；当n∈N，且n≠3时，2n≥n2.＋规律方法对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，在不能用作差、作商法比较时，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量．跟踪演练3观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，猜想第n个不等式为________．答案1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2＜2n＋1n＋1解析观察式子的结构可知：如果不等式的左边是n项的和(n≥2)，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1n2，而右端分母正好是n，分子是2n－1，因此可以猜想，n≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n2＜2n－1n.∴第n个不等式为：1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2＜2n＋1n＋1.1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128答案B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65. 2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________．答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律： (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．归纳推理的特点(1)归纳是依据特殊现象推出一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳是依据若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而，由归纳所得的结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．说明：一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠．2．归纳推理的一般步骤一、基础达标1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是()A．27 B．28 C．29 D．30答案B解析第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，归纳推理得第n个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n＝(1＋n)n2.由此可以得出第七个三角形数是28.2．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝11 111；12 345×9＋6＝111 111.A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案B3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为() A．01 B．43 C．07 D．49答案B解析因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又因为2 011＝4×502＋3，所以72 011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B.4．n个连续自然数按规律排成下表：03→47→811…↓↑↓↑↓↑1→25→69→10根据规律，从2 012到2 014，箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓答案A解析由前几项可归纳出4n－44n－1→↓↑4n－3→4n－2则n≥1，n∈N*，2 012＝4n，n＝503，∴2 012↓2 013→20145．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a、b都成立的条件不等式：________.答案当a＋b＝20时，有a＋b＜210，a、b∈R＋解析各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20.6．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．答案5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81解析由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.7．已知：1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝42，…根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论．解注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为1＝2×1－1；3＝2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1，…又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；…由此总结出一般结论：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.二、能力提升8．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈(N*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是S n.按此规律推断出S n与n的关系式为()A．S n＝2n B．S n＝4nC．S n＝2n D．S n＝4n－4答案D解析由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推断第n个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为S n＝4n－4. 9．观察下列等式：①cos 2α＝2cos2α－1；②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos 10α＝m cos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋n cos4α＋p cos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.答案962解析各式第一项系数依次为2,23,25,27，m，依规律可得m＝29＝512；各式中cos2α的系数依次为2×12，－2×22,2×32，－2×42，p，由规律推出p＝2×52＝50；由各式系数和为1可推出n＝－400，则m－n＋p＝962.10．设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 答案 x(2n －1)x ＋2n解析 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n . 所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n.11．观察下列等式，并从中归纳出一般结论：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，….解 观察可得两个等式的左边都是平方项的和，角度依次相差60°，等式的右边都是常数32，由此可得出一般结论：sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23且S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．解 先化简递推关系：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n ＋1S n＋2＝S n －S n －1，∴1S n＋S n －1＋2＝0.当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43， ∴S 2＝－34.当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45. 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56. 猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N ＋. 三、探究与创新13．设{a n }是集合{2t ＋2s |0≤s ＜t ，且s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，….将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；(2)求a 100.解 (1)将前三行各数分别写成2t ＋2s 的形式：第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；由此归纳猜想：第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23；第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；第5行各数依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91(个)数．因此，a 100应当是第14行中的第9个数．所以a100＝214＋28＝16 640.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
1.1 归纳与类比 课件(北师大选修2-2)
n 2 －1，不等式右边为 ，由此可得一般性结论． 2
[精解详析]
1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24
－1，……猜想不等式左边最后一项的分母为 2n－1，而不等 1 2 3 4 n 式右端依次分别为： ， ， ， ，…， . 2 2 2 2 2 1 1 1 n 归纳得一般结论：1＋ ＋ ＋…＋ n > (n∈N＋)． 2 3 2 －1 2
系． (2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生 一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
4．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数
等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)．
试求第七个三角形数是
(
)
A．27
C．29
B．28
D．30
解析：第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
表性，那么推广的一般性结论也就越可靠。
2.类比推理的特点 （1）运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象； （2）如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性 质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越
可靠；
（3）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结 论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类 比推理不能作为数学证明的工具.
答案：B
5．将自然数0,1,2，…，按照如下形式进行摆放：
根据以上规律判定，从2 010到2 012的箭头方向是(
)
解析：本题中的数字及箭头方向都有一定的规律．箭头
每经过四个数就要重复出现，即以4为周期变化.2 012恰 好是4的倍数，2 010应该与2的起始位置相同． 答案：C
6．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互 相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则f(4)＝____________；当n>4时， f(n)＝______________.(用含n的数学表达式表示)
1。1_归纳与类比
结论： 凸n边形的内角和是(n-2)180 .?
6
例3.前提：
2 3
<
2+1 3+1
，
2 3
<
2+2 3+2
，
2 3
<
2+3 3+3
，…
结论：b a
<
b+m a+m
(a、b、m均为正实数).
以上三个推理有什么特征？
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
29
课堂小结:
1.定义
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
2.主要步骤（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质； （3）猜测新的结论.
R ________________ .
3V S1 S2 S3 S4 B
O
O D
C
练习
(直击高考：09浙江文第16题)
设等差数列an的前n项和为Sn ,则S4，S8 S4，
S12 S8，S16 S12成等差数列.类比以上结论：
设等比数列bn的前n项积为Tn ,
则T4，____,
abc
分析：面积法 由12r(a+b+c)=S 2S r=a+b+c
变式：已知VABC三边长为a, b, c,面积为S,则
VABC内切圆半径r= 2S . abc
根据类比推理的方法, 若一个四面体A-BCD四个面的
归纳推理及类比推理
三、求同求异并用法（契合差异并用 求同求异并用法（ 法）
1、含义：如果被研究现象出现的若干场合（正事例组）中， 、含义：如果被研究现象出现的若干场合（正事例组） 只有一个共同的情况，而在被研究现象不出现的若干场合 只有一个共同的情况， 负事例组） 却没有这个情况， （负事例组）中，却没有这个情况，那么这个情况就与被研 究现象之间有因果联系。 究现象之间有因果联系。 2、用公式表示为： 、用公式表示为： 场合 相关情况 被研究现象 a （1） A，B，C，F ） ， ， ， a （2） A，D，E，Q ） ， ， ， a （3） A，F，Q，C ） ， ， ， …… …… …… （11） ﹁ A，B，C，F ﹁ a ） ， ， ， （22） ﹁ A，D，E，Q ﹁ a ） ， ， ， （33） ﹁ A，F，Q，D ﹁ a ） ， ， ， 所以， 与 所以，A与a 之间有因果关系
假说
一、假说的特征 1、含义：就是人们根据已有的事实材料和科学 、含义： 原理， 原理，对未知的事物或规律性所提出的一个假 定性的、系列的解释。 定性的、系列的解释。 2、特征 、 1）假说是以事实材料和科学原理为依据的，不 ）假说是以事实材料和科学原理为依据的， 同于神话，不同于妄说。 同于神话，不同于妄说。 2）假说有推测的性质，还不是可靠的认识，需 ）假说有推测的性质，还不是可靠的认识， 要实践的检验。 要实践的检验。 3）假说是人的认识接近客观真理的方式。 ）假说是人的认识接近客观真理的方式。
二、如何提高类比推理结论的可靠性 1、如果前提所提供的类比对象越多（相似）的属 、如果前提所提供的类比对象越多（相似） 那么，结论的可靠性就越高。 性，那么，结论的可靠性就越高。 2、前提中所提供的相同属性与推移属性之间的联 、 系越密切，则结论的可靠程度就越高。 系越密切，则结论的可靠程度就越高。 三、类比推理的作用 1、类比推理可以启发人的思路，在创造性思维中， 、类比推理可以启发人的思路，在创造性思维中， 常常用到类比推理。 常常用到类比推理。 2、科学史上许多科学事实的发现和科学假说的提 、 都是借助于类比推理。 出，都是借助于类比推理。
数学课件第1章 1.1、1.2 归纳与类比
解：如右图，在四面体 A-BCD 中，任取一点 O，连接 AO，
DO，BO，CO 并延长分别交四个面于点 E，F，G，H，
则OAEE＋ODFF＋OBGG＋OCHH＝1.
证明如下：
在四面体 O -BCD 与 A-BCD 中，
1
OAEE＝hhOA
-BCD＝3S△BCD·hO
-BCD
1 3S△BCD·hA
做势能．
[想一想] 4.橡皮筋拉的越长，弹性势能越大吗？ 提示：不是.在弹性限度内，橡皮筋拉的越长，弹性势能越大 ;如果超过了橡皮筋的弹性限度，弹性势能就不再随着橡皮筋 的拉长而增大.
对动能的理解
1．动能是标量 动能只与运动物体的质量以及速率有关，而与其运动方向无 关，即动能只有大小，没有方向． 2．动能是状态量 速度是状态量，一定质量的物体，速率不同，动能不同，动 能也是状态量．
5．类比推理的一般步骤 第一步，找出两类事物之间的相似性或一致性；第二步， 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的 命题(猜想)． 6．根据解决问题的需要，我们有时对概念、结论进行类 比，有时对方法进行类比．
7．归纳推理与类比推理的区别与联系 (1)联系 ①都是合情推理，都是常用的思维方法． ②都能由已知推测未知，都能用于猜测、推理，得出的结 论都有待于进一步证明． ③二者的推理过程可概括为：
2．已知 O 是△ABC 内任意一点，连接 AO，BO，CO 并延 长交对边于点 A′，B′，C′，则OAAA′′＋OBBB′′＋OCCC′′＝1， 这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”．
OAAA′′＋OBBB′′＋OCCC′′＝SS△△OABBCC＋SS△△OABCCA＋SS△△OABACB＝SS△ △AABBCC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体 A-BCD，存在什么 类似的结论？并证明．
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。
第一章 §1 归纳与类比
§1归纳与类比学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方法，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理1．合情推理的含义：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．2．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想1．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．(√)3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×) 4．归纳推理是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象．(√)一、归纳推理命题角度1等式、不等式中的归纳推理例1 (1)观察下列等式： 1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式为_________________________________． 答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)解析 观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)． (2)观察下列不等式：12×1≥1×12，13×⎝⎛⎭⎫1＋13≥12⎝⎛⎭⎫12＋14， 14×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15≥13⎝⎛⎭⎫12＋14＋16， 15×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15＋17≥14⎝⎛⎭⎫12＋14＋16＋18，试写出第n 个不等式． 解 第1个不等式为12×1≥1×12，即11＋1×1≥1×12×1；第2个不等式为13×⎝⎛⎭⎫1＋13≥12⎝⎛⎭⎫12＋14， 即12＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×2－1≥12⎝⎛⎭⎫12×1＋12×2； 第3个不等式为14×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15≥13⎝⎛⎭⎫12＋14＋16， 即13＋1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12×2－1＋12×3－1≥13⎝⎛⎭⎫12×1＋12×2＋12×3； 第4个不等式为15×⎝⎛⎭⎫1＋13＋15＋17≥ 14⎝⎛⎭⎫12＋14＋16＋18； 即14＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×2－1＋12×3－1＋12×4－1≥14⎝⎛⎭⎫12×1＋12×2＋12×3＋12×4； 归纳可得第n 个不等式为1n ＋1×⎝⎛⎭⎪⎫1＋13＋15＋…＋12n －1≥1n ⎝⎛⎭⎫12＋14＋16＋…＋12n (n ∈N ＋)． 命题角度2 图形中的归纳推理例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是________．答案 31解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31. 命题角度3 数列中的归纳推理例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)．试归纳猜想数列{a n }的通项公式．解 由于a 1＝2，且na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)． 令n ＝1，得a 2＝S 1＋1×2＝a 1＋2＝2＋2＝4，令n ＝2，得2a 3＝S 2＋2×3＝a 1＋a 2＋6＝2＋4＋6＝12，于是a 3＝6，令n ＝3，得3a 4＝S 3＋3×4＝a 1＋a 2＋a 3＋12＝2＋4＋6＋12＝24，于是a 4＝8， 由此可以归纳得到数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N ＋)． 反思感悟 归纳推理的一般策略(1)寻找关系：从已知的个别情形中寻找变化关系．(2)探究规律：从个别情形中探究一般规律，关键是条件发生变化时结论发生了怎样的变化． (3)归纳结论：根据探究所得规律，归纳一般性结论．跟踪训练1 (1)1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，照此规律，第五个不等式为____________________________． 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边＝2(n ＋1)－1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________． 答案 6n ＋2解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一个以首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝8＋(n －1)×6＝6n ＋2.二、类比推理例4 (1)若数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn(n ∈N ＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝________(n ∈N ＋)也是等比数列． 答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N ＋)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N ＋)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n (n ∈N ＋)时，数列{d n }也是等比数列．(2)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 答案 C解析 将△ABC 的三条边长a ，b ，c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1，S 2，S 3，S 4，将三角形面积公式中的系数12，类比到三棱锥体积公式中的系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ， 所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，故r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.反思感悟 进行类比推理时，要注意比较两个对象的相同点和不同点，找到可以进行类比的两个量，然后加以推测，得到类比结果，最好能够结合相关的知识进行证明，以确保类比结果的合理性．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明． 解 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p ＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1q p －1，b r ＝b 1q r －1，于是b m b n b p ＝b 1q m －1·b 1q n －1·b 1q p －1＝b 31q m ＋n ＋p －3＝b 31q 3r －3＝(b 1q r －1)3＝b 3r，故结论成立．1．数列2,5,11,20，x ,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析 由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12，…，故x ＝20＋12＝32.2．已知不等式1>12，1＋122>23，1＋122＋132>34，1＋122＋132＋142>45，由此可猜测：若1＋122＋132＋…＋1122>m ，则m 等于( ) A.1112 B.2425 C.1213 D.1314 答案 C解析 由已知不等式可猜测1＋122＋132＋…＋1122>1213，因此m ＝1213.3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22C.lr 2 D ．不可类比答案 C解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr2.4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．答案 40解析 图1中的点数为4＝1×4， 图2中的点数为8＝2×4， 图3中的点数为12＝3×4，…， 所以图10中的点数为10×4＝40.1．知识清单：(1)归纳推理的定义、特征． (2)类比推理的定义、特征． 2．方法归纳：归纳、类比．3．常见误区：误以为合情推理的结论都正确．1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误 答案 B2．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，猜想得到1＋3＋…＋(2n －1)等于( )A ．nB ．2n －1C ．n 2D ．(n －1)2 答案 C3．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 答案 C解析 显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．4.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A.B.C. D.答案 A解析观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．5.如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案 A解析由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据36÷5＝7余1，可得第36颗与第1颗珠子的颜色相同，即白色．6．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是___________________________．答案表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大解析平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．7．观察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…照此规律，第n个等式为_____________________________________．答案n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)28．如图所示，由火柴拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：第4个图形中，有________根火柴；第n个图形中，有________根火柴．答案133n＋19．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，满足S n＝6－2a n＋1(n∈N＋)．(1)求a 2，a 3，a 4的值； (2)猜想a n 的表达式．解 (1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N ＋)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N ＋)．10．在圆x 2＋y 2＝r 2中，若AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1，用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？解 设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则点A 关于中心对称的点B 的坐标为(－x 0，－y 0)， 点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点， 则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.因为A ，B ，P 三点都在椭圆上，所以⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1，两式相减有x 2－x 20a 2＋y 2－y 2b2＝0，故y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a2.故椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中过中心的一条弦的两个端点A ，B ，P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AP ·k BP ＝－b 2a2.11．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.12．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于() A．28 B．76 C．123 D．199答案 C解析利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．13．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b8答案 A解析在等差数列{a n}中，因为当4＋6＝3＋7时有a4·a6>a3·a7，在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7.14．在三角形内，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点距离的两倍，类比上述结论：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线段称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条中线的交点称为它的“重心”，则棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的________倍．答案 3解析 如图，在四面体A －BCD 中，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，且M ，N 分别为△ACD ，△BCD 的重心，AN ，BM 交于点G .在△ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点， 则EM AE ＝EN BE ＝13， 所以MN ∥AB ，AB ＝3MN ，所以AG ＝3GN ，故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍．15．正整数按下表的规律排列，则上起第2 020行，左起第2 021列的数应为( )A ．2 017×2 018B ．2 018×2 019C ．2 019×2 020D ．2 020×2 021答案 D解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 021列的第一个数为2 0202＋1，由连线规律可知，上起第2 020行，左起第2 021列的数应为2 0202＋2 020＝2 020×2 021.16．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由．解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 猜想正确．理由如下：如图所示，连接BE ，并延长交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ACD .而AF 平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．。
归纳与类比课件
• 由类比推理知：体积比是棱长比的立方．
• 即可得它们的体积比为1∶8.
• 答案： 1∶8
• 【变式训练】 2.给出下列三个类比结论 ．
• ①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n ＝an＋bn；
• ②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比 ，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
• 2．类比推理的关键是找到合适的类比对象 ．平面几何中的一些定理、公式、结论等 ，可以类比到立体几何中，得到类似的结 论．
• (2009·江苏卷)在平面上，若两个正三角形 的边长的比为1∶2，则它们的面积比为 1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体 的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ________．
• 答案： C
• 2．下列说法正确的是( ) • A．合情推理就是归纳推理 • B．合情推理的结论不一定正确，有待证明 • C．演绎推理的结论一定正确，不需证明 • D．类比推理是从特殊到一般的推理 • 答案： B
• 3．下面几种推理是合情推理的是( ) • ①由圆的性质类比出球的有关性质； • ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角
• 解析： 本题根据已知猜想n条直线的交点
个数，可将n取几个特殊值时的交点个数列
出来，根据规律去猜想.
n的取值
交点个数
2
1
3
3
4
6
5
10
由以上数据可看出如下规律： 3＝1＋2；6＝1＋2＋3；10＝1＋2＋3＋4. 故猜想 n 条直线的交点个数为 1＋2＋3＋…＋(n－1)＝nn－ 2 1.当 n ＝6 时，交点个数为6×2 5＝15.
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18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有7 座桥，将河中的两个岛和河岸连结， 城 中的居民经常沿河过桥散步，于是提出 了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每 座桥只许通过一次，最后仍回到起始地 点。这就是七桥问题，一个著名的图论
问题。
欧拉
推出该类事物的 全部对象都具有这些特征
的推理,或者由个别事实 概括出 一般结论
的推理,称为归纳推理(简称归纳).
但是，利用归纳推理得出的结论不一 定是正确的
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如 的数都是质数 这就是著名的"费马猜想"
近百年后的1732年，瑞士 数学家欧拉发现
费马
•
宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作 为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发 现
200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想 由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。 1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
………
………
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966 年证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem).“任何 充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和， 而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个 结果为大偶数可表示为 “1+2”的形式。
4 5 5 4 5 6 6 8 9
立方体
正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
猜想：
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
2
1
3
设 a n 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n
a ＝1 ＝1时，
1
第1个圆环从1到3.
2
1
3
设 a n 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n
a ＝1 ＝1时，
1
第1个圆环从1到3. 前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
n ＝2时，a 2＝3
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质：
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a 2 b 2 ;等等.
且
a n 1 an 1 an
(
n
＝1，2，3，· · · )，
an 1
请归纳出这个数列的通项公式为________. n
2.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条 线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部 分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆 分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 1 6 条线段? 同时将圆分割成 1 1 部分?
陈氏定理 (Chen‘s Theorem) 任何充分大的偶数都是一 个质数与一个自然数之和， 而后者仅仅是两个质数的乘 积, 简称为 “1 + 2 ” 。
例1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
注意 类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
小结
☞
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
归纳推理和类比推理的过程
n
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
类比推理的结论不一定成立.
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
A Ｂ
c2=a2+b2
c
a
Ｃ
s1 o s2 s3
b
Ａ
B
C
2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
世界近代三大数学难题之一
2
1
3
设 a n 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则 n ＝1时， a 1 ＝1 第1个圆环从1到3.
n
＝2时， a ＝3
2
前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.
n ＝3时， a 3
＝7
前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
2
1
3
• 哥尼斯堡七桥问题
F+V-E=2
欧拉公式
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 10 6 8 9 10 12 12
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔7 7915 15
16
10 9
归纳推理的过程： 哥德巴赫猜想的过程：
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论
由某类事物的 部分对象具有某些特征,
统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观 测或试验，进而对整体做出推断.
成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落，知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体.
合情推理 推理
演绎推理 推理与证明
直接证明 证明 间接证明
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
不是质数.至今这样的反例共找到了46个, 却还没有找到第6个正面的例子,也就是说 目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是 质数.
大胆猜想 小心求证
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n
2n 1 个数是_______.
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
1.已知数列｛a n｝的第一项 a 1 =1,
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中
一类对象的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理.
我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.
你是否想过“等和数列”、“等积数列” ？
(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分 割成 n 条线段?同时将圆分割成 2
f ( 2 ) f (1 ) 2
2
1
(n n 2)
2
部分?
f (3) f (2) 3 f (4) f (3) 4
………
f (n ) f (n 1) n
累加得: f ( n ) f (1 ) 2 3 4
从具体问 题出发
归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 n 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?
哥德巴赫猜想
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小 于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除 的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想 (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇 质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇 质数之和。
有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验 算，哥德巴赫猜想(a)都成立。