第九章 矩阵位移法

ui 1 vi 1 i 1
EA l

0

0
[K
e
]



EA
l
0

0
0
12EI
l3 6EI
l2
0

12E l3
I
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0

6E l2
I
2EI
l
uj 1 v j 1 j 1
EA l 0
0 EA l 0
0
0
0
12EI l3
•集零为整 ------ 整体分析
e
结点外力 单元杆端力 结点外力 单元杆端位移
(杆端位移=结点位移)
结点外力 结点位移
§9-2 单元刚度矩阵
1. 建立单元杆端力与杆端位移之间的关系
截面直杆单元e , 其杆端位移列向量与杆端力列向
量分别为
{δ
e}


uie
vie
{F
e}


Fxei
（“搭成”结构，建立结点平衡方程和层间平衡方程）
单元 分析
整体 分析
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程
用矩阵形式表示位 移法基本方程
§9-1 概述
四、基本概念
1. 结点和单元
6E l2
I

6EI l2 4EI
l


u
e j



v
e j



e j

——单元在局部坐标系中的单元刚度方程。
它可记为 {Fe} [K e ]{δe} （9-6a）
§9-2 单元刚度矩阵
其中 ui 1 vi 1 i 1 u j 1 v j 1 j 1
与结点力向量对应的是结点位移向量，是矩阵 位移法的基本未知量。
注意：结点力和结点位移都是相对于整体坐标系的。
§9-1 概述
5. 正负号规定（强调）
杆端位移和杆端力的正负号： 凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值， 反之为负值。 力矩和转角以逆时针方向为正，反之为负。
作用在结点上的外力和结点位移的正负号： 与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，
l
0 0
12EI
l3 6EI l2

6EI
l2 4EI

l 66
单刚阵 [K e ] 中某一列的六个元素表示当某个秆端位移
分量等于1时所引起的六个杆端力分量。
第1列的六个元素就是当 uie 1 (即端点i沿 x 正方向发
生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。
§9-2 单元刚度矩阵
§9-1 概述
一、手算与电算比较：
手算：小型、简单问题，讲究技巧。
超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。
电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、 通用性。
结构力学中的电算方法 —结构矩阵分析方法 (杆件有限元法)
结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、 以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手 段大规模的计算方法。
2EI l
ie

6EI l2
v
e j

4EI l


e j


F
e yi

12EI l3
vie

6EI l2
ie
12EI l3
v
e j

6EI l2

e j
e
F yj


12E l3
I
vie

6EI l2
ie

12E l3
I
v
e j

6EI l2

e j



（b）

§9-2 单元刚度矩阵


EA l
(u
e j
uie )

EA l
uie

EA l

u
e j

Fxej

EA l
(u
e j
uie )


EA l
uie

EA l


u
e j

（a）
§9-2 单元刚度矩阵
杆端横向位移△ij正负
号规定:使杆的j 端绕 i 端 作顺时针转时为正值。
Δij

(v
e j
vie)
由两端固定等截面直 杆的转角位移方程有
M
e i

4ii e

2i
e j

6i

(v
e j

lwenku.baidu.com
vie )

6EI l2
vie

4EI l
ie

6EI l2
v
e j

2EI l

e j

M
e j

2ii e

4i
e j
6i

(v
e j

vie )
l

6EI l2
vie

结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等
整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。
6
5（13,14,15） 6（16,17,18）
2 3
3（7,8,9）
1
5
4（10,11,12）
4
坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系.
Y
1
2
（1,2,3） （4,5,6）
X

曲杆结构:以直代曲.

6EI
l2 4EI


6E l2
I
6EI
l2 2EI
l

0
0

12EI
l3 6EI
l2

6EI l2 4EI
l
66
任一元素 kije表示当j号位移为一单位时引起杆端沿i 号
位移方向的反力。
§9-2 单元刚度矩阵
ui 1 vi 1 i 1 u j 1 v j 1 j 1
对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。
理论基础：位移法 ；分析工具：矩阵 ； 计算手段：计算机
§9-1 概述
三、矩阵位移法的思路 （与位移法思路对照）：
1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。
（加约束，“拆分”结构为三个典型杆件的组合，建立转角位移方程）
2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。
反之为负。 以逆时针转的结点力矩和结点转角为正值,反之为负
值。
§9-1 概述
重点：矩阵位移法基本思想
5
6
6
•化整为零 ------ 结构离散化
将结构拆成杆件，杆件称作单元。
2 3
3
5
4
单元的连接点称作结点。
1
4
对单元和结点编码.
1
基本未知量:结点位移
2
----- 单元分析
单元杆端力 单元杆端位移

EA
l
0

0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
0
0 EA l 0
0

12E l3
I

6E l2
I
6EI
l2
2EI
l


vie



i
e


00
12EI
l3

12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
uj 1 v j 1 j 1
EA l 0
0 EA l 0
0
0
0

12EI l3
6EI l2

6EI l2
2EI
l

0
0

12EI
l3 6EI l2
变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆
§9-1 概述
3. 杆端位移和杆端力
不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结 点都有3个独立的位移（2个独立线位移、1个角位 移），每一个铰结点则有2个独立线位移。
平面刚架单元的杆力列向量为
{Fe} FNi FSi Mi FNj FSj M j T
将上述（a）和（b）两式合在一起，写成矩阵形式（“翻译”），
有
Fxei
EA
0
0 EA
00


u
e i

l
l


Fyei



M
e i

=

Fxej



Fyej



M
e j



0

0

i
e
u
e j
v
e j

e j
T
Fyei
M
e i

Fxej
Fyej
T
M
e j

§9-2 单元刚度矩阵
在线性小位移范 围内，忽略轴向受力 状态与弯曲向受力状 态之间的影响。
当杆端轴向位移为
u
e i
、u
e j
时，Δlij

u
e j

uie
，由胡克
定律得杆件轴向变形的刚度方程为
Fxei
§9-1 概述
二、结构矩阵分析方法特点与分类：
(1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。
(2) 各种情况可统一处理，通用性强。
(3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。
矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。 矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基 本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种 杆系结构受力、变形等计算的方法。
第 9 章 矩阵位移法
数学 是解决工程尖端问题的必备武器
本次培训主要内容
一、基本部分 几何组成分析； 静定结构内力及位移计算； 超静定结构力法、位移法、力矩分配法； 影响线。
二、专题部分 结构动力学、结构稳定性、结构极限荷载。
第9章 矩阵位移法
§9-1 概述 §9-2 单元刚度矩阵 §9-3 单元刚度矩阵的坐标转换 §9-4 结构的原始刚度矩阵 §9-5 支承条件的引入 §9-6 非结点荷载的处理 §9-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 §9-8 几点补充说明
F25
§9-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F26

6EI l2
6

F56
F66

4EI l
6
F36

2EI l
6
§9-2 单元刚度矩阵
2. 单元刚度矩阵的特性
ui 1 vi 1 i 1
EA l

0

0
[K e
]



EA
l
0

0
0
平面刚架单元的杆端位移列向量为
(10-1)
{δe} (ui vi i u j vj j )T
(10-2）
注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有 几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。
§9-1 概述
平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对 应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但 实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有

6EI l2
2

F62
§9-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F23

6EI l2
3

F53
F33

4EI l
3
F63

2EI l
3
§9-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F14


EA l

4
F44

EA l

4
F35


6EI l2
5

F65
F55

12EI l3
5

FN 1 1
e
FN 2 杆端力向量
2
{Fe} FNi 0 FNj 0 T
u1
1
v1
e
u 2 杆端位移向量
2
v2
{δe} ui vi u j v j T
其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对 应的关系。
§9-1 概述
4. 结点力和结点位移
作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方向 分解为三个分量, 构成该结点的结点力向量。
EA l

0

0
[K e
]



EA
l
0

0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2 2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
0
0


12E l3
I
6EI l2

6EI l2
2EI
单元——最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。
梁单元——受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元（梁、刚架）。 轴力单元——只受轴力作用的单元（桁架）。
单元与单元之间通过结点联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。 构造结点:杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。 非构造结点:一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点。
§9-1 概述
2. 坐标系
结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量——结 点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。
单元局部坐标系固定在单元上， 轴x 与杆轴重合,自 轴x逆 时针旋转900时的方向为 轴正y 向。用于描述单元的杆端力
和杆端位移等。
2
3
2
3
1
4
1
4
2
3
§9-1 概述
离散化
将结构离散成单元的分割点称作结点.
从单刚元素的物理意义出发得到单刚矩阵
单元杆端位移示意
3 2
6 5
1
4
图示量均是正的
§9-2 单元刚度矩阵
单元杆端力示意
F1
F2
F3
F5 F4
F6
图示量均是正的
§9-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F11

EA l

1
F14


EA l
1
F22
12EI l3
2

F52
F32
l

（9-7）
0
0

12EI
l3

6EI l2
6EI

l2 4EI
l
66
[K e]称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。
[K e] 的行数等于杆端力向量的分量数, 列数等于杆端位移 向量的分量数，
[K e] 的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。
§9-2 单元刚度矩阵
EA l

0

0
[K e
]



EA
l
0
12EI l3 6EI l2
0
0 EA 0
0
l

6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
4EI l 0
0

6E l2
I
EA
0
2EI
l

0
l

0 0

12E l3
I
6EI
l2

6EI l2
2EI