概率论第六章(浙大第四版)

计. （假设总体各阶矩存在）
13

总体方差的估计可以用 S 也可以 B2 ,
2
主要的区别是 S 作为
2
总体方差估计是无偏估计, 但 B2 作为总体方差的估计是有偏的 (关于估计的无偏性将在下一节讨论).
14
§6.2 2 分 布 t 分 布 F 分 布
统计量的分布称为抽样分布. 在数理统计中,
3

例：现要研究某一个公司员工工资水平 及其影响工资水平的因素. 这个公司的
每个员工就是"个体", 而所有的员工构
成一个"总体". 由于公司的员工总数是 有限的, 因此, 是一个有限总体. 每个员 工都附着有年龄, 性别, 工种, 工资, 受 教育程度等指标(变量).
4
总体的某个指标X,
对于不同的个
n n
n
k 1, 2, k 1, 2,
11
k 1 k阶中心矩： Bk ( X i X ) n i 1
[思考题]：
对于总体X , X 1 , , X n是来自总体的样本, 设下列数字特征存在， E ( X ) , D( X ) ，E ( X )，E[( X ) ],
Probability=0.9.
（4） Deg\_freedom1=9, Deg\_freedom2=10点击 “确定” 即在单元格中出现 “2.347”.
33
§6.3正态总体下的抽样分布
定理 6.3.1 设 X1 , X 2 ,, X n 为来自正态总体
N ( , )
2
2
的简单随机样本, X 是样本均值,
本(X1,X2,„,Xn)称为容量是n的简单随机样本。 1. 每个Xi与X同分布； 2. X1,X2,„,Xn是相互独立的随机变量。
7
[说明]：后面提到的样本均指简单随机样本。
由概率论知，若总体X具有概率密度f(x)，则
样本（X1,X2,„,Xn）具有联合密度函数：
f n x1 , x2 , xn f xi
第六章 数理统计的基本概念
关键词：
总
体，个 体，样 本， 统 计 量
2

分布 t 分 布 F 分布
1

数理统计学 是一门以数据为基础的科学, 可以定义为
收集数据, 分析数据和由数据得出结论的一组概念、 原则和方法。

例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定 次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批
2 k k
问：（1）X 与，（2）S 与 ，
2 2
（3）Ak 与E ( X )，（4）Bk 与E[( X ) ]
k k
是一回事吗？
答：不是。前者是随机变量，观察两次得到的统计 值可能不一样；后者是数，可能已知也可能未知。
12
当总体数字特征未知时
一般, 用样本均值 X 作为总体均值 E ( X ) 的估计; 用样本方差 S 2 作为总体方差 2 E( X )2 的估计; 用样本的原点矩 Ak 作为总体原点矩 k E( X k ) 的估计； 用样本的中心矩 Bk 作为总体中心矩 k E( X )k 的估
例：设总体X N , 2 , , 2 已知。
X 1 , X 2 , , X n 是取自总体X 的样本
求(1)统计量 2 12
i 1 （2）设n 5,若a(X 1 X 2 ) 2 b(2 X 3 X 4 X 5 ) 2 ~ 2 ( k ),
性质2称为 2分布的可加性，可推广到有限个的情形：
Yi ~ 2 ni , i 1,2,m ,并假设 Y1 , Y2 ,Ym 相互独立，
m 2 则 Yi ~ ni i 1 i 1 m
19
对给定的概率 , 0 1, 称满足条件

（3）在选择类别的下拉式菜单中选择“统计” 选择 “CHIINV” 点击“确定”在函数参数表单中输入 Probability=0.9. （注意：Probability输入的应该是1-0.1=0.9）
（4） Deg\_freedom=25, 点击''确定" 即在单元格中出 现 ''34.382".
21
（4） Deg\_freedom=25, 点击“确定” 即在单元格中
出现 “1.708”.
28
F分布
2
定义： 设 X 且 n,2Y独立，则 , 且 X , Y 独立， X 设 X n1 , Yn , Y n 1 2 ,
2
2
2
记为F ~ F n1 , n2
体来说有不同的取值, 这些取值可 以构成一个分布, 因此X可以看成
一个随机变量. 有时候就把X称为 总体. 假设X的分布函数为F(x), 也
称F(x)为总体.
5
数理统计主要任务是从总体中抽取
一部分个体, 根据这部分个体的数
据对总体分布给出推断. 被抽取的
部分个体叫做总体的一个 样本.
6
随机样本：从总体中随机地取n个个体, 称为 一个随机样本。 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样
最重要的三个分布
分别为:
分布 t 分 布 F 分布
2
15
分布
2
定义：设随机变量X 1 , X 2 , X n 相互独立， X i N 0,1 i 1, 2, , n 则称 X
2 n i 1 n 2 i
1
服从自由度为n 的 2分布，记为 2 2 n 自由度指 1 式右端包含的独立变量的个数.
灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，
以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的 问题之一。
2
§6.1随机样本与统计量


总体：研究对象的全体； 个体：总体中的成员； 总体的容量：总体中包含的个体数；


有限总体：容量有限的总体；
无限总体：容量无限的总体，通常将容量非 常大的总体也按无限总体处理。
X / n1 X / n1 n1 , n2 的F 分布， 称随机变量 F 服从自由度 则称随机变量 服 从自由度 n1 , Y / nF 2
Y / n2

其中 n1称为第一自由度， n2 称为第二自 其中 n1称为第一自由度， n2 称为第二自由度
性质：F ~ F (n1, n2 ), 则F 1~ F (n2 , n1 )
2
x
18
2分 布 的 一 些 重 要 性 质 ： 1. 设 n , 则 有 E n , D 2 n
2 2 2 2
2. 设 Y1 2 n1 , Y 2 2 n 2 , 且 Y1 , Y 2 相 互 独 立 ， 则 有 Y1 Y 2 2 n1 n 2
S 是样本方差, 则有:
2 n
2 f n y dy 的点 n为
2 2 n 分布的上 分位数, 上 分位数 n 的值可查 2分布表
20
例：求

2
0.1
25
通过Excel给出.
（1）具体如下: 在Excel表单的任一单元格输入“=” ；
（2）在主菜单中点击“插入”，点击“函数(F)” ；
i 1
n
8
[注意]：一个容量为n的样本
X1 , X 2 , X n
是指n个独立与总体分布相同的随机变量。 一旦对样本进行观察，得到实际数值
x1 , x2 , xn
称为样本观察值（或样本值）。
两次观察，样本值可能是不同的。
9

பைடு நூலகம்
如何取得的样本才称是简单随机样本? 对于有限总体, 采用放回抽样就能得到简单随 机样本. 但当总体容量很大的时候,放回抽样有时候很 不方便, 因此在实际中当总体容量比较大时,通常 将不放回抽样所得到的样本近似当作简单随机样 本来处理. 对于无限总体, 一般采取不放回抽样.
1 n2
n n 2
率密度为：f t , n
n
n 1 2
1 t n n 2
2
1 n2
, t
25
t n 分布概率密度函数
26
t 分布
对给定的 , 0 1, 称满足条件
2 2 i 1
n
2
n
23
(2)
X1 X 2 ~ N (0, 2 ),
2
X1 X 2 ~ N (0, 1) 2
2 X 3 X 4 X 5 ~ N (0, 6 ),
2
2X3 X4 X5 6
~ N (0, 1)
X1 X 2 2 X 3 X 4 X 5 与 相互独立， 2 6 ( X 1 X 2 )2 (2 X 3 X 4 X 5 ) 2 2 故 ~ (2) 2 2 2 6
2 1 b , 2 6 k 2.
2
a
1
,
24
t 分布
设 X ~ N (0,1) ，Y ~ 则称随机变量 T
2 n ，并且假设 X , Y 相互独立，
服从自由度为 n 的 t 分布。
X Y /n
记为 T ~ t (n)
t n 分布的概率密度为：f t , n
F1 (n1, n2 ) [ F (n2 , n1 )]1
32
例：求 F0.1 9,10

通过Excel给出.
（1）具体如下: 在Excel表单的任一单元格输入“=” ；
（2）在主菜单中点击“插入”，点击“函数(F)” ；
（3）在选择类别的下拉式菜单中选择“统计” 选择
“FINV” 点击“确定”在函数参数表单中输入
10
统计量：样本的不含任何未知参数的函数。 常用统计量：设（X1,X2,„,Xn）为取自总体X 的样本。常用的统计量如下：
1. 样本均值 X 1 X i n i 1
n
2. 样本方差 S 2 1 ( X i X ) 2 , S 为样 本标准差 n 1 i 1
3. 样本矩 k阶矩： Ak 1 X ik n i 1
29
.5： F n1 , n2 分布的概率密度为：
n1 n2 n n n 1 2 1 1 1 2 2 2 n n x n2 n1 x 2 1 2 B n1 , n2 f x; n1 , n2 2 2 0 1 a b b 1 1 其中B a, b x 1 x dx 0 a b
t n
f t , n dt 的点t n
为t n 分布的上 分位数。t分布的上 分位数可查t分布表
t1 (n) t (n)
27
例：求 t0.05 25

通过Excel给出.
（1）具体如下: 在Excel表单的任一单元格输入 “=” ； （2）在主菜单中点击“插入”，点击“函数(F)” ； （3）在选择类别的下拉式菜单中选择“统计” 选择 “TINV” 点击“确定“在函数参数表单中输入 Probability=0.95.
x0 x0
30
F 5,10 分布概率密度函数
31
对于给定的 , 0 1, 称满足条件


F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx
的点F n1 , n2 为F n1 , n2 分布的上 分位数。 F n1 , n2 的值可查F 分布表
16
分布
2

2
n 分布的概率密度为：
n 1 2
y 1 2 f n y 2 n 2 0 其中
0
e
y 2
y0 y0
x
1 x
e dx
17
f ( x)
n 1 n4 n 10
0
分布的概率密度函数
则a, b, k 各为多少？
2 ( X ) 的分布； i
n
22
Xi 解：(1)作变换 Yi i 1,2,, n
显然Y1, Y2 ,, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1,2,, n
于是 (
2 i 1
n
Xi

) Yi