第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点

第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点 ㈠本课的基本要求
讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。

理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间 上连续的概念。

了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

㈡本课的重点、难点
重点是利用等价无穷小求极限，难点是对连续概念的理解及间断点类型的判断。

㈢教学内容
第七节 无穷小量的比较 讨论两个无穷小的商的情况 如：
02cos 11sin sin lim
lim
lim
2
=-=∞=→→→x
x
x
x
x x
x x x 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于0的“快、慢”程度。

差不多与快，而比x x x x sin sin 02→。

另根据常识，当x 很小时（1<<x ），计算1002)(x x x f +=的函数值，可以忽略100
x
而用
2x 的值来近似它，这是因为当x 很小时，100x 值比2x 的值小的多，可以“忽略不计”。

换
句话说，当x 趋于零时，100
x
趋于零要比2
x 趋于零的“速度”快得多。

这个简单的例子说
明，研究无穷小趋于零的“快慢”程度是必要的，无穷小趋于零的“快慢”可用无穷小之比的极限来衡量。

定义 设α和β为)(0∞→→x x x 或时的两个无穷小量，
如果)(0lim
αβαβαβ
==高阶的无穷小，记作是比，则称 如果低阶的无穷小是比，则称αβαβ
∞=lim
如果)(0(0lim αβαβα
β
=≠=是同阶的无穷小，记作与为常数），则称c c ，特别地c=1，
则称β与α是等价无穷小，记作β～α。

如果0,0lim
>≠=k c k
αβ
，就说β是关于α的k 阶无穷小。

例 是同阶无穷小与x x x
x
x x 5sin 55sin 0
lim
=→→，2)1()1tan(23
31
lim
=--→x x x ，3
)
1tan(2-x 是当1→x 时1-x 的三阶无穷小。

x
x x
x e x x x x x x x x ~sin 2
,11,1,2),1ln(,cos 1,tan ,sin ,02都是无穷小量，且时，-+-+-→)0(~11,2~11,~1,~)1ln(,2~cos 1,~tan 2→-+-+-+-x m
x
x x x x e x x x x x x m x *
等价无穷小在理论和应用上都很重要，等价无穷小有下列性质：
定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ +=。

（证略）
由定理1，当βα~时，由β代替α引起的误差很小。

因此，当)1(<<x x 记为很小时上式＊的误差很小。

例如，当0→x 时，x x sin ~，有)(sin x x x +=，所以当很小时x ，可用x 近似代替x sin 。

定理2 设在自变量的同一变化过程中，αβαβαβββαα'
'=∞∃''''lim lim ),(lim ,~,~则或且 证：αβαααβββαβ'
'
='⋅''⋅'=lim )lim(lim
对于“
”的极限问题，可以施行等价无穷小替换来计算极限。

例 1
21)1l n (.
2c o s 1s i n .
120
lim
lim
-++-→→x x x
x x x
注：作等价无穷小替换时，在分子或分母为和式时，通常不能将和式中的某一项或若干项以
其等价无穷小替换，而应将分子或分母整个地加以替换，若分子或分母为n 个因子之积，则可将其中某个或某些因子以等价无穷小替换。

简言之，因子方可作等价无穷小替换。

例
11
11
11
1
1lim
+=-+∞
→n n n n n n 代替
不能用 例 x x x x x x x x
x x
e e 2
cot 20
)1(.
53tan 11.
4)
1(.
3lim
lim
lim
+-+∆-→→∆→∆
第八节 函数的连续性与间断点
由极限的特殊情况即极限值等于函数值引出连续及间断。

“连续”和“间断”是一对矛盾。

世界上很多量的变化，例如气温的变化。

动植物的生长以及水的流动等，一般都认为是连续的变化。

尤其是后者，“抽刀断水水更流”，相信在每个人的心目中都有一幅清晰的图画。

那么空间什么是“连续”呢？简言之，函数连续就是它所表示的曲线没有断点。

当自变量趋于某个点时，函数值变化的趋势应该是无限接近于该点的函数值。

因此，只有在极限的基础上才能科学地刻画“连续”这一概念。

一．函数的连续性
由极限引连续。

设且令的某个邻域内有定义，在00)(x x x x x f y -=∆=称之为自变量x 的改变量或增量，其中x 称为终值，)()()()(0000x f x x f y x f x f y x -∆+=∆-=∆或为初值。

记称为函数0)(x x f y 在=处的增量。

图
定义 1 设000)(x x x x x x f y -=∆=处当自变量的改变量如果在的某个邻域内有定义，
在趋于0时，对应的函数改变量0)]()([000
lim lim =-∆+=∆∆→∆→∆x f x x
f y y x x ，即
也趋于，则
称函数0)(x x f y 在=处是连续的，的连续点称为函数)(0x f x 。

定义 2 )()()(00lim
x f x f x x f y x x ==→且成立
的某个邻域内有定义，在,则称函数
0)(x x f y 在=处是连续的，的连续点称为函数)(0x f x 。

如果00)()()(lim
x x f x f x f x x 在，称=-
→左连续 如果
00)()()(lim
x x f x f x f x x 在，称=+
→右连续
由此可知，0)(x x f y 在=处连续⇔
)()(0lim
0x f x f x x =-
→)(lim
0x f x x +
→=
分段函数在分段点的连续性常用上式来进行判断 说明连续与极限定义的异同
如内连续，且在在内连续，如在内每一点连续，则称
在),()(),()(),()(b a x f b a x f b a x f x=a 处右连续，在x=b 处左连续，则称],[)(b a x f 在上连续。

几何意义 ),()())(,()(000b a x f y x f x x x f y 在处不断开，处连续，其图形在
在==内连续，其图形在(a,b)内连绵不断。

证处连续在0)(x x f y =，通常是证明
)]()([0)]()([0)()(00
0lim lim lim lim
=-∆+=-=∆=→∆→→∆→x f x x
f x f x f y x f x f x x x x x x 或即或证
若)(x f y =为分段函数，且0x 为分段点，则应通过考察它在0x 处的左、右连续性再加以确定。

例证x x f cos )(=的连续性：对任意点0x 有02
sin 2sin 2cos cos 0
00→-+-=-x x x x x x 故x x f cos )(=在),(+∞-∞内连续。

例1．讨论⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<=0
1sin 000)(1
x x x x x e x f x 在x=0处的连续性
二．函数间断点
如函数0)(x x f 在处不满足连续性定义，则)(0x f x 称为的间断点或不连续点。

0)(x x f 在连续必满足1.0)(x x f 在点处有定义；2. 0)(x x f 在点处有极限；3. 0)(x x f 在点处
的极限值等于0)(x x f 在点处的函数值。

如上述条件有一个不满足，则点)(0x f x 就是函数的间断点。

间断点分类：
⑴．如果0)(x x f 在点处左、右极限存在但不等，称)(0x f x 为的跳跃间断点。

例符号函数在0=x 处。

⑵．若0)(x x f 在点处极限存在，但不等于该点处函数值（或该点无定义），则称)(0x f x 为的可去间断点。

例 处都是可去间断
点在处；在224)(00,10,)(22=--==⎩
⎨⎧=≠=x x x x g x x x x x f 。

⑴、⑵统称为第一类间断点。

⑶．如果函数0)(x x f 在点处在左、右极限至少有一个不存在，则点)(0x f x 为的第二类间断点。

例 也是振荡间断点）在处间断，在(0)/1sin()(2/tan )(====x x x f x x x f π
⎪
⎩⎪⎨⎧⎩⎨
⎧不存在左、右极限至少有一个二类处无定义或极限存在但不等于
可去等左、右极限存在但不相
跳跃一类间断点00)(x x f 例1．讨论⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<=0
ln 00
)(1x x x x x e x f x 的连续性 例2．求函数2
36
32+---=x x x x y 的间断点，指出是哪一类间断点
例3．设连续于为何值时当0)(0,cos 70,tan sin )(=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->=x x f a x x e x x
x
x f x 。

小结
作业：P.59.3(2),4(1)(3)(4),P.64.1(2),2(2),(4),3，第5题请作在书上。