z变换的基本知识

z 变换基本知识

1 z 变换定义

连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号()f t 的拉普拉斯变换()F s 是复变量s 的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s 的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z 变换。

连续信号()f t 通过采样周期为T 的理想采样开关采样后，采样信号*()f t 的表达式为

0*()()()(0)()()()(2)(2)k f t f kT t kT f t f T t T f T t T δδδδ∞

==-=+-+-+∑

(3)(3)f T t T δ-+ （1）

对式（1）作拉普拉斯变换

23*()[*()](0)()(2)(3)sT sT sT F s L f t f f T e f T e f T e ---==++++

()e ksT k f kT ∞

-==∑

（2）

从式（2）可以看出，*()F s 是s 的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z ”，令

e sT z =

（3）

代入式（2）并令1

ln *()

()s z T

F x F z ==，得

12

()(0)()(2)()k k F z F f T z f T z f kT z ∞

---==+++

=∑

（4）

式（4）定义为采样信号*()f t 的z 变换，它是变量z 的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常以()[*()]F z L f t =表示。

由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作e sT z =的变量置换。

*()f t 的z 变换的符号写法有多种，如

[*()],[()],[()],[*()],()Z f t Z f t Z f k Z F s F z 等，不管括号内写的是连续信号、

离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变换。

式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、s 域和z 域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是()f kT ，并且时域中的()t kT s δ-、域中的

e ksT -及z 域中的k z -均表示信号延迟了k 拍，体现了信号的定时关系。

在实际应用中，采样信号的z 变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z 的有理分式

11101110

()

()m m m n n n K z d z d z d F z z C z C z C ----++++=

++＋＋ m n ≤ （5）

或1z -的有理分式

1111011110(1)

()1l m m m n n

n Kz d z d z d z F z C z C z C z ---+----+--++=

++++＋＋ l n m =- （6）

其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z 变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）

11()()

()()()()()

m n K z z z z KN z F z D z z p z p --=

=-- m n ≤ （7）

2 求z 变换的方法

1）级数求和法

根据z 变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。 例1 求指数函数()e t f t -=的z 变换。 解 连续函数()f t 的采样信号表达式为

*

20()e ()()e ()e (2)kT T T k f t t kT t t T t T δδδδ∞

---==-=+-+-+

∑

对应的z 变换式为

1220()()1k T T k F z f kT z e z e z ∞

-----===+++

∑

上式为等比级数，当公比1e 1T z --<时，级数收敛，可写出和式为

11()1e e

T T

z

F z z z ---=

=--。 例2 求单位脉冲函数()t δ的z 变换。 解 因为采样信号的表达式为

*()(0)()()()(2)(2)f t f t f T t T f T t T δδδ=+-+-

+

对()()f t t δ=函数，它意味着*()f t 仅由一项组成，即*()(0)()f t f t δ=，且

(0)1f =。所以

00()[()]()(0)1k k F z Z t f kT z f z δ∞

--=====∑

2）部分分式展开法

最实用的求z 变换的方法是利用时域函数()f t 或其对应的拉普拉斯变换式

()F s 查z 变换表（见教材附录），对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应

的拉普拉斯变换式()F s 进行部分分式分解后再查表。

()F s 的一般式为

1011111()()()m m m m

n n n n

b s b s b s b B s F s A s s a s a s a ----++++==

++

+

（8）

（1）当()0A s =无重根，则()F s 可写为n 个分式之和，即