数学高等代数第五版精品PPT课件
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设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那 么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 A （B 读作Ａ属于Ｂ），或 记作 B A（读作Ｂ包含Ａ）. 根据这个定义，Ａ是Ｂ的 的子集必要且只要对于每一个元素x，如果 x A，就
有xB . 例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而 后者又是一切实数的集合的子集.
空集是任意集合的子集.
运算性质:
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : (A B) C A (B C) Leabharlann Baidu (A B) C A (B C)
分配律 : A B C A B A C A B C A B A C
我们选取一个来证明.
例1 证明 A B C A B A C
A是B的子集，记作：
( A B) (对于一切x : x A x B)
如果A不是B的子集，就记作：A B 或 A B . 因此，A 不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B，
即： ( A B) (存在一个元素x : x A但x B)
例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一 切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后 者. 集合{1，2，3}不是{2，3，4，5}的子集.
教学目的
掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法
重点、难点
集合概念、证明集合相等
1.1.1 集合的描述性定义
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如 “一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫 这个集合的元素.
我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小 写拉丁字母a，b，c，…表示元素.
第一章 基本概念
1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域
课外学习1: 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村
jpkc.hzu.edu.cn/maths/PDF/1.htm
在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术 更为重要。 ――康托尔（Cantor,集合论的奠基人，1845－1918）
全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等 等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元 素组成的，就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；
全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都 是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
1.1.2 集合的表示方法
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限
根据定义，一个集合A总是它自己的子集，即：A A
如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就 说A与B相等，记作：A=B. 我们有
( A B) (对于一切x : x A x B)
例如，设A={1，2}，B是二次方程 x2 3x 2 0 的根 的集合，则A=B.
( A B且B c) ( A C)
素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质
来表示. 例如
A {x | x R,1 x 1}表示一切大于-1且小于1的实数 的所组成的集合. 常用的数集：
全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表示为C
1.1.3 集合的包含和相等
又例如，A是(x一 切A 有B理) 数的(x 集A合或，x B是B)一切无理数的集
合，则
A (A
A
B)
或B(是xA一A(切A实BB)数)的(集x 合A.且显x然，B)
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作：A B ，如图2所示.
A B
显然，A B A ， A B B
( A B且B A) ( A B)
1.1.4 集合的运算及其性质
并运算 设A，B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切
元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B.
如图1所示.
A
AB B
例根如据，定A义={，1，我2，们3有}，B ={1，2，3，4}，则 A B {1,2,3,4}
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
A B {2,3,4}
我们有 (x A B) (x A且x B)
(x A B) (x A或x B)
两个集合A与B不一定有公共元素，我们就说它们的交
集是空集.
例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集
合，那么 A B 就是空集. 又如方程 x2 1 0 的实数根 的集合为空集.
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
有xB . 例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而 后者又是一切实数的集合的子集.
空集是任意集合的子集.
运算性质:
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : (A B) C A (B C) Leabharlann Baidu (A B) C A (B C)
分配律 : A B C A B A C A B C A B A C
我们选取一个来证明.
例1 证明 A B C A B A C
A是B的子集，记作：
( A B) (对于一切x : x A x B)
如果A不是B的子集，就记作：A B 或 A B . 因此，A 不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B，
即： ( A B) (存在一个元素x : x A但x B)
例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一 切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后 者. 集合{1，2，3}不是{2，3，4，5}的子集.
教学目的
掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法
重点、难点
集合概念、证明集合相等
1.1.1 集合的描述性定义
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如 “一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫 这个集合的元素.
我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小 写拉丁字母a，b，c，…表示元素.
第一章 基本概念
1.1 集合 1.2 映射 1.3 数学归纳法 1.4 整数的一些整除性质 1.5 数环和数域
课外学习1: 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村
jpkc.hzu.edu.cn/maths/PDF/1.htm
在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术 更为重要。 ――康托尔（Cantor,集合论的奠基人，1845－1918）
全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等 等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元 素组成的，就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；
全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都 是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
1.1.2 集合的表示方法
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限
根据定义，一个集合A总是它自己的子集，即：A A
如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就 说A与B相等，记作：A=B. 我们有
( A B) (对于一切x : x A x B)
例如，设A={1，2}，B是二次方程 x2 3x 2 0 的根 的集合，则A=B.
( A B且B c) ( A C)
素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质
来表示. 例如
A {x | x R,1 x 1}表示一切大于-1且小于1的实数 的所组成的集合. 常用的数集：
全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表示为C
1.1.3 集合的包含和相等
又例如，A是(x一 切A 有B理) 数的(x 集A合或，x B是B)一切无理数的集
合，则
A (A
A
B)
或B(是xA一A(切A实BB)数)的(集x 合A.且显x然，B)
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作：A B ，如图2所示.
A B
显然，A B A ， A B B
( A B且B A) ( A B)
1.1.4 集合的运算及其性质
并运算 设A，B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切
元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B.
如图1所示.
A
AB B
例根如据，定A义={，1，我2，们3有}，B ={1，2，3，4}，则 A B {1,2,3,4}
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
A B {2,3,4}
我们有 (x A B) (x A且x B)
(x A B) (x A或x B)
两个集合A与B不一定有公共元素，我们就说它们的交
集是空集.
例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集
合，那么 A B 就是空集. 又如方程 x2 1 0 的实数根 的集合为空集.
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .