高斯消去法的计算步骤

R1
B
E2
C
E1
I1
R4
I2
R2
F
R5
E
I3 R6
D
H
E3
R3
G
(R1 + R4 + R5)I1 - R4I2 – R5I3 = E1
同理, 对环路BCDE及环路FDGH可得方程：
- R4 +（R2 + R4 + R6)I2-R6I3= E2
- R5I1 - R6I2+(R2 + R4 + R6)I3= E3
或写为矩阵形式即得到环路电流I1 ,I2 , I3所满足 的线性方程组：
(R1 + R4 + R5) -R4
- R5
I1
E1
-R4
(R2 + R4 + R6) - R6
I2 = E2
-R5
- R6 (R3 + R5 + R6) I3 E3
解上述线性方程组，即求得环路电流I1 ,I2 , I3 在工程实际问题中产生的线性方程组，其系数
第3章 解线性方程组的直接方法
3.1 引言 在工程技术、自然科学和社会科学中，经常
遇到的许多问题最终都可归结为解线性方程组， 如电学中网络问题、用最小二乘法求实验数据的 曲线拟合问题，工程中的三次样条函数的插值问 题，经济运行中的投入产出问题以及大地测量、 机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为 求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因 此线性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。
A~
A
b
4
2
5
1 2 0
1
4
7
r2 (2)r1
2
r3 (12)r1
0 0
1 3
1
4 1 2
5 2
3 2
13 2
同样可得到与原方程 组等价的方程组 ⑥
2 r3
(
5 8
)
Fra Baidu bibliotek
r2
0
0
1 3
1
4 1 2
0
7 8
21 4
由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设
法通消常去把方按程照组的先系消数元矩,阵后A回的代主两对个角线步下骤的求元解素线,而性 将方A程x=组b化的为方等法价称的上为三高角斯形（方G程a组us,s然）后消再去通法过。回
3.2.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
两个方程相加减,逐步减少方程中的未知数,最终使
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。
整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程 第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将 方程 ①乘上 1 加到方程 ③上去,这样就消去
2
了第2、3个方程的 x1 项,于是就得到等价方程 组
2
x1
矩阵大致有两种：一种是低阶稠密矩阵（这种矩阵 元素都存储在计算机的存储器中);另一类是大型稀 疏矩阵(此类矩阵阶数高,零元素较多,压缩存储）。
一第般3章b≠解0,线当性系方数程矩组阵的A直非接奇法异(即detA≠0) 时，常方见程的组线（性3.方1）程有组惟是一方解程。个数和未知量个 数相同的n阶线性方程组，一般形式为
引例: 设有电源及一些电阻组成的简单电路，求各环
路电流。
A
解: 设I1 ,I2 , I3为图示的 环路电流, E1
R1 I1
B
E2
C
R4
I2 R2
对每一个环
路,利用克 F
R5
希霍夫定律
E
R6
D
I3
在任何一个 H
E3
R3
G
闭合回路中, 各电动势的代数和等于各电阻上电压降 的代数和
对环路ABEF： UAB+ UBE+ UEF= E1
, X
x2
,
B
b2
......
...
...
an1an2 ...ann
xn
bn
线性方程组的数值解法一般有两类： 1. 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得
方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍 入误差），如克莱姆法则就是一种直接法， 直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss) 消去法。 2. 迭代法: ( 第四章介绍）就是用某种极限过 程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。 也就是从解的某个近似值出发，通过构造一 个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有 限步内得不到精确解)
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2 ...... an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn
简记为 Ax=b，其中
( 3.1 )
a11a12 ...a1n
x1
b1
A
a21a22 ...a2n
代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩 阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形 矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较 简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出 未知变量 xn , xn1 , , x1 这种求解上三角方程组的 方法称为回代, 通过一个方程乘或除以某个常数,以 及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最 终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为 消元,然后再回代求解。
x2
3x3
1
4x2 x3 2
7 8
x3
21 4
⑥
这样，消元过程就是把原方程组化为上三角 形方程组，其系数矩阵是上三角矩阵。
前述的消元过程相当于对原方程组
2 1 3 4 2 5 1 2 0
x1 1
x
2
4
x3 7
的增广矩阵进行下列变换( ri 表示增广矩阵的第 i 行）
2 1 3
3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法）
3.2.1 高斯消去法的基本思想
先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想
例3.1 解线性方程组
2x1 x2 3x3 1
①
4x1 2x2 5x3 4
②
x1
2x2
7
③
解: 该方程组的求解过程实际上是将中学学过的消
元法标准化,将一个方程乘或除以某个常数,然后将
①
A
R1
B
E2
C
E1
I1
R4
I2 R2
利用欧姆 F 定律①式
R5
E
R6
D
I3
为
H
E3
R3
G
R1 IAB+ R4 IBE+ R5 IEF= E1
②
再用环路电流代替支路电流，即
IAB=I1，IBE= I1- I2， IEF= I1- I3
③
将③式代入②, 即得环路电流I1,I2,I3所满足的代数方程
A
x2
3x3
1
4x2 x3 2
④
5 2
x2
3 2
13 2
⑤
第（22步）回：代将过方程程 ④乘上 5 加到方程 ⑤上去， 回代过程是将上述三角形8方 程组自下而上求 这解样，就从而消去求得了第原方3个程方组程的的解：x2 项，于是就得
到等价x1方程9组, x2 1, x3 6
2
x1