1-2 数列极限

对任意给定正数
如果数列{an}在n无限 增大的过程中，

能找到自然数N,当n>N时
数列an的值无限接近于常数a.
关键是如何寻找 N！
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不妨以数列
为例:
事实上，对于给定
要使
1 1 0 0.1, n n
只需 n 10. 于是，取“充分大” N=10， 从此之后 1 0 0.1 n 恒成立.
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芝诺：古希腊的数学家，哲学家.
思考
用极限思想解释阿基里斯追乌龟问题
10m 1m
100m
1km
若假设阿基里斯在乌龟之后1km处两者 同时出发，且
阿基里斯悖论：
阿基里斯追不上乌龟。
阿基里斯
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二、收敛数列限的性质
1. 有界性
例如,
有界
无界
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表示要多小有多小的正数 两者差的绝对值要小于任意给定的正数
用字母
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无限接近
两者差的绝对值要小于任意给定的正 数

无限增大
找到充分大的正整数 N，n>N 时
n变化到某一程度之后
用“充分大”的正整数 N 表示
当n>N（充分大）时
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无限接近 无限增大
两者差的绝对值要小于任意给定的正数 找到充分大的正整数N，n>N时
2 0.5 1.333333 0.75 1.2 0.833333 1.142857 0.875 1.111111 0.9 1.090909 0.916667 1.076923 0.928571
2.5
2
1.5
1
0.5
0 0 5 10 15 20 25
.
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例1 证明:
证明 对于任意给定的正数 ，要使 an 1 由 ，
取
因 lim x n a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
n
从而
xn
ab 2
.
(1)
x n b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 同理, 因 lim n
从而 x n
b (2) a 2 . 取 N max N 1 , N 2 , 则当 n > N 时, xn 满足不等式 ba ba a b a b
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二千多年前中国古人运用了无限的思想
引例2. “一尺之棰，日取其半，万世不竭”
放大
这12个字实际上给出了一个数列,第一项是1（一尺之棰）, 从第二项开始每一项都是前一项的一半（日取其半）. 将这个数列写出来就是
1.2 1
数列
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
f (n)
2.数列是整标函数
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n
3
2.极限概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣.”
——刘徽
(中国，约225 – 295年)
定理1(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界.
证
由定义,
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
推论
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无界数列必定发散.
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例4
证
由定义,
区间长度为1/2.
不可能同时位于长度为1/2的开区间内.
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2. 唯一性
定理2. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 及 且 a b.
第一章
第二节
数列的极限
• 一、数列极限的定义 • 二、收敛数列的性质 • 三、小结、思考题
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1
一、数列极限的定义
1.数列的概念
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列 , 简称数列 . 其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
x
a n 对应的点 任意给定 ,都存在一个N，当n>N时， 都落在数轴上 的 邻域中 .
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例1 证明:
分析 定性分析 （几何）
n An
定量分析
依照定义，需要证明对于任意给定的正数 ,去找正整数N，
满足：当n >N 时恒有
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 1 1 因此，只要 ，即 n . 为此取 N ， n 当n>N时,就有 an 1 恒成立.
所以 .
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小结
数列{an}在n无限增大的过程中以a为极限
1.描述性定义：
如果数列{an}在n无限增大的过程中，数列an的 值无限接近于常数a .
例如
2 ,4 ,8 , , 2 n , ;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
{2 }
1 { n} 2
2
n
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1, 1,1, , ( 1)
n1
,;
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , , ; 2 3 n
3 , 3 3 , , 3 3 3 ,
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（2）定量定义
对数列{an},若存在常数a ，对任意给定的 0, 总存在正 整数N, 当n>N时，an a 恒成立, 则称{an}以a 为极限.
an a . 记作 an a n 或 lim n
此时也称数列{an}收敛于常数a，或简称数列收敛.
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播放
4
圆内接正六边形的面积 A1
圆内接正十二边形的面积 A2
R
圆内接正二十四边形的面积


A1 , A2 , A3 , , An ,
正 6 2 n 1 形的面积 An 面积值构成一列有次序的数
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内接正多边形与圆的差别越小,
内接正多边形无
1.数列
随着n的无限增大，对应的值与常数0将要多接近
有多接近. 2.是不是所有的数列都有如此性质呢？
1.5
1
0.5
0 0 5 10 15 20 25
3
2
1
0 0 5 10 15 20 25
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3.数列的极限定义
（1） 描述性定义
如果数列{an}在n无限增大的过程中，数列an的
值无限接近于常数a ，就称该数列{an}在n无限增大 的过程中以a为极限.
在n无限增大的过程中以0为极限； 在n无限增大的过程中以1为极限； 在n无限增大的过程中不存在极限； 在n无限增大的过程中不存在极限.
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“无限增大”，“无限 接近”是描述性语言， 如何用数学的语言刻画 呢？ 无限接近 接近程度可以通过两者距离表示（差的绝对值） 两者差的绝对值将要多小有多小
an
a a a
O
a an a (n N )
1 2 3 4
N
N 1
a n 对应的点 任意给定 ,都存在一个N，当n>N时， ( n, an ) 都落在以直线 y a 为中心,宽为 2 的带形区域里.
a a2 a1 a N 1
2
a
a3
a a N 2
例如：
注来自百度文库：
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证：
注：此定理的逆命题也成立，即命题的条件是 充要的.
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三、本节小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性、唯一性、局部保号性.
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课堂练习： P26 : 1(1)(3)(5)(7)、 3(1).
15
这个N唯 一吗？
显然从第15项起也小于0.1.
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1 1 1 , 只要 n 1000. 给定 , 要使 0 n 1000 1000
1 给定 , 要使 1 0 1 , 只要 n 10000. 10000 n 10000
1.充分大的正整数N的选取依赖于任意给定 的正数 ，且 越小N越大； 2.充分大的正整数N是通过要满足的不等式 找到的.
2.定量定义： “ N ” 语言
当 n > N 时, 总有 3.几何表示
a a2 a1 a N 1
2
a
a3
a a N 2
x
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注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例2 证
所以, 说明:常数列的极限等于同一常数.
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例3
证
可作为 公式用
(1)、(2),矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
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a x b ba b a n 2 2 2
3a b 3b a x x nn 2 2 22
3. 保号性
证明：
推论：
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4. 收敛数列与其子列间的关系：
子数列的概念：
本节作业： P26 : 1(2)(4)(6)(8)、 *5(4)、*7.
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反之，则称数列{an}没有极限，或称它是发散的.
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注
当 n > N 时, 总有
语言
a an a (n N )
2.
的两重性（任意，给定）！ 3. 此处的N不唯一，且N依赖于 ！
4. 数列的极限与它的前有限项无关！
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3.几何意义
限接近于圆.
极限思想---- “用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”
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名言
《庄子· 杂篇· 天下》 惠施的一句名言
“ 一尺之棰，日取 其半，万世不竭。”
庄子（公元前369－公元前286），姓庄，名周，战国 中期宋国蒙（今河南省商丘市东北梁园区蒙墙寺村） 人，先秦战国时期伟大的思想家、哲学家、文学家、 辩论家，道家学说的主要创始人之一。