含有耦合电感的电路

第5章 含有耦合电感的电路

内容提要

本章主要介绍耦合电感的基本概念和基本特性，同时介绍同名端的概念及使用方法，重点介绍采用消耦法求解含有耦合电感电路的分析计算方法，最后介绍空心变压器及理想变压器的工作原理，特性方法式及其分析计算方法。

§5.1 互感

当一个线圈通过电流时，在线圈的周围建立磁场，如果这个线圈邻近还有其它线圈，则载流线圈产生的磁通不仅和自身交链，而且也和位于它附近的线圈交链，则称这两线圈之间具有磁的耦合或说存在互感。载流线圈的磁通与自身线圈交链的部分称为自感磁通，与其它线圈交链的部分称为互感磁通。

5.1.1互感及互感电压

如图5-1所示，两组相邻线圈分别为线圈I 和线圈Ⅱ，线圈I 的匝数为1N ，线圈Ⅱ的匝数为2N 。设电流1i 自线圈I 的“1”端流入，按右手螺旋定律确定磁通正方向如图5-1所示，由1i 产生磁通11ϕ全部交链线圈I 的1N 匝线圈，而其中一部分21ϕ，不仅交链线圈I 而且交链线圈Ⅱ的2N 匝线圈，我们定义11ϕ是线圈I 的自感磁通，21ϕ是线圈I 对线圈Ⅱ的互感磁通。这里的线圈I 通过电流1i 产生了磁通，我们将这种通有电流的线圈称为载流线圈或施感线圈，流经线圈的电流称为施感电流。同理如果在线圈Ⅱ中通入电流2i ，由电流2i 也会产生线圈Ⅱ的自感磁通22ϕ和线圈Ⅱ对线圈I 的互感磁通12ϕ。

说明：磁通（链）下标的第一个数字表示该磁通链所在线圈的编号，第二个数字表示产生该磁通（链）的施感电流的编号，接下来研究的使用双下标符号的物理量，其双下标的含义均同上。

当载流线圈中的施感电流随着时间变化时，其产生的磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在载流线圈内将会产生感应电压。

设通过线圈I 的总磁通为1ϕ，则有

12111ϕϕϕ+= (5-1)

其中自感磁通11ϕ与1N 匝线圈交链，对于线性电感则有自感磁通链11ψ为

1111111N L i ψφ== (5-2)

式(5-2)中，1L 称为线圈I 的自感系数，简称自感，单位为亨利简称亨（H ）。

ⅠⅡ

+ -+ -11u 21u 21

ϕ

图 5-1 互感和互感电压

当感应电压与施感电流取关联参考方向时，自感电压与施感电流的关系式为

11111111d dL i di u L dt dt dt

ψ=

== (5-3) 设由2i 产生的磁通中部分磁通12ϕ与线圈I 的1N 匝交链，则有互感磁通链

12112122N M i ψφ== (5-4)

式(5-4)中，12M 称为线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互感系数，简称互感，单位为亨利简称亨（H ）。 当载流线圈的施感电流随着时间变化时，其产生的互感磁通链也随之变化。根据法拉第电磁感应定律，这种时变磁通在与其具有磁耦合的线圈内产生感应电压，称为互感电压。

当互感电压的参考方向与互感磁通满足右手螺旋关系时，则有

1212221212d dM i di

u M dt dt dt

ψ=

== (5-5) 把具有磁耦合的一对线圈理想化，即忽略线圈的电阻和匝间电容，称为耦合电感。

1

i 2

i 11

ϕ21

ϕ22

ϕ12

ϕ1

1'

22'

1

i 2

i 11

ϕ21

ϕ22

ϕ12

ϕ1

1'

22'

(a) (b)

图5-2 耦合电感

同理，设电流2i 自线圈Ⅱ的“2”端流入，如图5-2（a ）所示，设通过线圈Ⅱ的总磁通为2ϕ，有

22212ϕϕϕ=+

其中自感磁通22ϕ与2N 交链，则有自感磁通链

2222222N L i ψφ== (5-6)

式中2L 为线圈Ⅱ的自感系数，单位H (亨利)。

设1i 所产生的磁通中有部分21ϕ与线圈Ⅱ的2N 匝线圈交链，则互感磁通链

21221211N M i ψφ== (5-7)

式(5-7)中21M 为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互感系数，可以证明2112M M M ==。

在图5-2（a ）中自感磁通与互感磁通具有相同的方向，因此每个线圈的总的磁通链分别为自感磁链与互感磁链之和

1111211112112()N L i Mi ψψψφφ=+=+=+ (5-8)

2222122221221()N L i Mi ψψψφφ=+=+=+ (5-9)

当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有

121121111u u dt

di

M dt di L dt d u +=+==

ψ (5-10) 212212222u u dt

di

M dt di L dt d u +=+==

ψ (5-11) 其中11u 、22u 表示自感电压，12u 、21u 表示互感电压，可见端口11'-处的电压1u 和端口22'-处的电压2u 是自感电压与互感电压之和，

在不改变绕线方向的前提下，将电流2i 自线圈Ⅱ的“2'”端流入，如图5-2（b ）所示。 根据右手螺旋定则可以判定自感磁通与互感磁通方向相反，因此每个线圈的总的磁通链分别为自感磁链与互感磁链之差：

111121112112()N L i Mi ψψψφφ=-=-=-

222212221221()N L i Mi ψψψφφ=-=-=-

当施感电流与该线圈的端口电压取关联参考方向时有：

121121111u u dt di

M dt di L dt d u -=-==

ψ (5-12) 212212222u u dt

di

M dt di L dt d u -=-==

ψ (5-13) 其中11u 、22u 表示自感电压，12u 、21u 表示互感电压，可见端口11'-处的电压1u 和端口22'-处的电压2u 是自感电压与互感电压之差，

通过上述分析可知，在磁耦合中互感的作用有两种，一种是互感磁通链与自感磁通链方向一致，同极性迭加使磁场得到了加强，称为同向耦合。一种是互感磁通链总是与自感磁通链方向相反，使得反极性迭加磁场削弱，此时称为反向耦合。互感磁通与自感磁通的方向相同还是相反，不仅与线圈的绕行方向有关，而且与施感电流的方向有关。