正弦定理和余弦定理课件

[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 故 cosA＝－12，又 A∈(0，π)，故 A＝120°. (2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝12. 因为 0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
求 B.
又由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，
故 sin2B＝34，sinB＝ 23或 sinB＝－ 23(舍去)， 于是 B＝π3或 B＝23π. 又由 b2＝ac 知 b≤a 或 b≤c，所以 B＝π3.
在△ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，试根据以 下已知条件解三角形． (1)a＝2 3，b＝ 6，A＝45°； (2)a＝2，b＝2 2，c＝ 6＋ 2； (3)a＝2 2，b＝2 3，C＝15°.
∴B＝45°，C＝180°－A－B＝180°－30°－45°＝105°.
(3)法一：cos15°＝cos(45°－30°)
＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝
6＋ 4
2 .
∵c2＝a2＋b2－2abcosC
＝(2
2)2＋(2
3)2－2×2
2×2
3×
6＋ 4
2
＝8－4 3＝( 6－ 2)2，
(2)若 a＝ 3，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由 2sinA＝ 3cosA两边平方，得 2sin2A＝3cosA，即(2cosA－ 1)(cosA＋2)＝0. 解得 cosA＝12>0，∴0<A<π2，∴A＝60°. 而 a2－c2＝b2－mbc 可以变形为b2＋2cb2c－a2＝m2 ， 即 cosA＝m2 ＝12，∴m＝1.
22－2 6－ 2
22＝ 22，
又∵0°<A<180°，
∴A＝45°，从而 B＝120°.
考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状
(2010·辽宁高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
[自主解答] (1)因为 cos2C＝1－2sin2C＝－14，及 0<C<π，所以 sinC
＝
10 4.
(2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，由正弦定理sinaA＝sincC，得 c＝4.
由 cos2C＝2cos2C－1＝－14，及 0<C<π 得
cosC＝±
6 4.
由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC，得 b2± 6b－12＝0， 解得 b＝ 6或 2 6， 所以bc＝＝4.6， 或bc＝＝42. 6，
大小为
()
2π A. 3
5π B. 6
3π
π
C. 4
D.3
解析：由余弦定理得 cos∠BAC＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝522＋×352×－372 ＝－12，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝23π.
答案： A
3．在△ABC 中，已知 sin2B－sin2C－sin2A＝ 3sinAsinC，则角 B
即 sinBcosA＝2sinAcosA.
当
cosA＝0
时，A＝π2，B＝π6，a＝4
3
3，b＝2 3
3 .
所以△ABC 的面积 S＝12absinC
＝12×433×233× 23＝233；
当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA，由正弦定理得 b＝2a，
联立方程组ab2＝＋2ba2，－ab＝4，
的大小为
()
A．150°
B．30°
C．120°
D．60°
解析：由正弦定理可得 b2－c2－a2＝ 3ac，由余弦定理可得 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝－ 23.故角 B 为 150°.
答案： A
4．△ABC 中，若 a＝3 2，cosC＝13，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 解析：∵cosC＝13，0<C<π，∴sinC＝2 3 2 ∴S△ABC＝12absinC＝4 3
解：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理得
sinB＝bsianA＝ 62×322＝12. ∵a>b，∴A>B，B 必为锐角，
∴B＝30°，C＝105°.
∵sinC＝sin105°＝sin(60°＋45°)
＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°
＝
6＋ 4
2，
∴c＝assiinnAC＝2
∴B＝30°，C＝180°－A－B＝105°.
(2)由余弦定理的推论得
cosA＝b2＋2cb2c－a2
＝22×222＋2×6＋6＋22－222＝
3 2.
又∵0°<A<60°，∴A＝30°.
同理，cosB＝a2＋2ca2c－b2＝22＋2×62＋×
22－2 6＋ 2
22＝
22，
∴4＋ab≥2ab，
即 ab≤4(当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”)， ∴S△ABC＝12absinC≤12×4× 23＝ 3， 即当 a＝b＝2 时，△ABC 的面积取最大值 3.
在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边长，已知 2sinA ＝ 3cosA. (1)若 a2－c2＝b2－mbc，求实数 m 的值；
解：由cosA－C＋cosB＝32及B＝π－
A＋C得cosA－C－cosA＋C＝32， cosAcosC＋sinAsinC－cosAcosC －sinAsinC＝32，sinAsinC＝34.
若将例 1 中“cos2C＝ －14”改为“cos(A－C) ＋cosB＝32，b2＝ac”，
解得a＝2 3 3，
b＝4
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3
3 .
所以△ABC 的面积
S＝12absinC＝12×2 3 3×4 3 3×
23＝2 3
3 .
综上：△ABC
的面积为2
3
3 .
解：由例题易知：a2＋b2－c2＝ab
又∵c＝2， ∴a2＋b2＝4＋ab
保持例题条件不变，求
又∵a2＋b2≥2ab，
△ABC面积的最大值.
∴c＝ 6－ 2.
由正弦定理得
sinA＝asicnC＝2
2×
6－ 4
6－ 2
2
＝
2 2.
∵a<b，∴A<B.
又∵0°<A<180°，∴A 必为锐角．
∴A＝45°，从而得 B＝120°.
法二：求 c(同法一)，
由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2
＝2
32＋ 6－ 2×2 3×
1．(2010·湖北高考)在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cosB
＝
()
A．－2 3 2
22 B. 3
C．－
6 3
6 D. 3
解析：依题意得 0°<B<60°，sinaA＝sinbB，sinB＝bsianA＝ 33，cosB
＝
1－sin2B＝
6 3.
答案： D
2．在三角形 ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC 的
法二：利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB＝sinC 可化为 2a·a2＋2ca2c－b2＝c，即 a2＋c2－b2＝c2，即 a2－b2＝0， 即 a2＝b2，故 a＝b.所以△ABC 是等腰三角形．
答案：等腰三角形
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容 sinaA＝sinbB＝sincC= 2R
又由正弦定理得 2RsinA＝a,2RsinB＝b， ∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB， 即 sin2A＝sin2B. ∵A≠B，∴2A＝π－2B， ∴A＋B＝π2. ∴△ABC 是直角三角形．
考点三 与三角形面积有关的问题
在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c， 已知 c＝2，C＝π3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC 的面积．
∴b＝a8sin3C＝ 3
83 2×2
3
2＝2
3.
答案： 2 3
5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC的形 状是________． 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)． 由2sinAcosB＝sinC， 得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0. 又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形．
(2)由(1)知 cosA＝12，则 sinA＝ 23. 又b2＋2cb2c－a2＝12， 所以 bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即 bc≤a2. 故 S△ABC＝b2csinA≤a22·23＝34 3.
a2＝ b2＋c2－2bccosA ； b2＝ a2＋c2－2accosB ； c2＝ a2＋b2－2abcosC .
定 正弦定理
理
①a＝ 2RsinA，b＝ 2RsinB，
c＝ 2RsinC；
变 ②sinA＝ a ，sinB＝ b ，sinC
形 ＝ c ； 2R
2R
2R
形 (其中R是△ABC外接圆半径)
3×
6＋ 4
2
2 ＝3＋
3.
2
法二：在△ABC 中，由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，
得 12＝6＋c2－2c× 6× 22， 即 c2－2 3c－6＝0， 解得 c＝ 3±3(舍负)，即 c＝3＋ 3. ∵c>a>b，∴C>A>B， 由正弦定理得
sinB＝basinA＝2
6× 3
22＝12，
在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边． 如果(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，且A≠B，试 判断△ABC的形状．
解：由已知得： a2[sin(A＋B)－sin(A－B)] ＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]． 利用两角和、差的三角函数公式可得 2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB. 由正弦定理得asinB＝bsinA， ∴acosA＝bcosB.
①已知三边，求 各角； ②已知两边和它 们的夹角，求第 三边和其他两个 角.
2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的 个数
a＝bsinA
一解
bsinA＜a＜b
两解
a≥b
一解
a＞b a≤b
一解 无解
考点一 利用正、余弦定理解三角形
(2010·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c，已知 cos2C＝－14. (1)求 sinC 的值； (2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，求 b 及 c 的长．
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a＝b或a2＋b2＝c2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
法二：由ab＝ccoossBA，得ssiinnAB＝ccoossBA， ∴sinAcosA＝cosBsinB， ∴sin2A＝sin2B. ∵A、B 为△ABC 的内角， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， ∴A＝B 或 A＋B＝π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
式 ③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，
asinC＝csinA.
余弦定理
cosA＝ b2＋c2－a2； 2bc
cosB＝ a2＋c2－b2； 2ac
cosC＝ a2＋b2－c2 . 2ab
定理
正弦定理
余弦定理
解决解斜三 角形的问题
①已知两角和任一边， 求另一角和其他两条 边．②已知两边和其中 一边的对角，求另一边 和其他两角.
[自主解答] (1)由余弦定理及已知条件，得 a2＋b2－ab＝4， 又因为△ABC 的面积等于 3，所以12absinC＝ 3， 得 ab＝4. 联立方程组aa2b＋＝b42，－ab＝4， 解得ab＝ ＝22， .
(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
解：法一：由ab＝ccoossBA，得acosA＝bcosB，
∴a·b2＋2cb2c－a2 ＝b·a2＋2ca2c－b2，
若将条件“2asinA＝(2b＋c) sinB＋(2c＋b)sinC” 改为“ab＝ccoossBA”，
∴a2b2＋c2－a2＝b2a2＋c2－b2，试确定△ABC 的形状．