第八章 期权及其二叉树模型

第四节 n期欧式期权的定价模型 一、二项式及二项分布 二项式试验 (Binomial trials)：称试验结果只有两 个的试验为二项式试验。 如在抛硬币试验中，可能出 现的结果只有两个：正面和反面。硬币可以是均匀的， 也可以不是均匀的。设抛硬币时出现正面的概率为p，
出现反面的概率为1-p. 二项分布告诉我们在n次试验中,
C=
S 1 r u mCu m 1 r
将m的值代入时,有 (m称为套期保值率hedge ratio)
1 r d u (1 r ) Cu u d Cd u d C 1 r
出现k次正面的概率为
C p (1 p)
k n k
n k
记为Pr(k|n)。例如，试验次数为3，则出现两次正面 的概率为Pr（2|3）。当试验次数不多时，Pr(k|n ）的系 数可以借助帕斯卡三角形（Pascal’s triangle）。每一 n 行的数据都是由前行相邻的两数之和。 试验次数
0 1 2 3 4 帕斯卡三角形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 4 6 4 1
在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。
购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购
买权利的期权称为看涨期权，具有出售权利的期权称为看
跌期权。
这一章，首先讨论欧式期权及其组合的损益，并以简 明的图象表示出来。 第二，介绍期权定价的二叉树模型。
第三，介绍以债券为标的资产的期权。
第四，讨论n期二叉树模型。
注2. 此套期保值的证券组合为,买一份股票,卖一份 看涨期权. 注3. 投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r.
注4. 由上面推导期权定价的过程可知,期权的价值依赖 于存在一个套期保值的证券组合,以及期权的定价 是要使此套期保值组合获得无风险回报率,即债券 的回报率. 如果期权价格高了(或者低了),则套期保值证券组合 的收益率比无风险收益率高(或低)的回报,无风险套利机 会就存在.
p Cuu p 1 p Cud p 1 p Cdu 1 p Cdd C=
2 2
pCu 1 p Cd C
1 r
2
C=
p 2Cuu p 1 p Cud p 1 p Cdu 1 p Cdd
Cud max(0, udS X ) 2 Cdd max(0, d S X )
从另一个角度看, 上式表明:期权价值等于在风险中 性概率下二期收益的期望值折现。
第三节 以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型 一、债券价格的二叉树模型 概述
1. 就债券支付状态的变化规律而言,与股票支付状态 的变化规律相反.股票支付状态随着时间的推移逐渐地分 叉，如: 图 8-35 2. 债券支付(收益)在到期日收敛于它的面值,此外多数 债券有票息支付 , 如: 图 8-36 及 图 8-37
Xl X m Xu
11. W型 以例子说明该证券组合：
第二节 期权定价的二叉树模型
一、期权定价的一期模型
Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型： 设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在 无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的
股票价格只取两种可能的值。
3. 股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。
二、期权定价的二期模型 为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型 设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投 资到二期后有(1+r)2元，设股票的初始价格为S，
与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套期 保值证券组合,从而得到：
1 r 由一期模型得到的Cu, Cd,代入上式有:
对此期权如何定价是合理的? 为了解决此问题, 构造一个无风险套期保值的证券组合：
购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：
由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期 末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合 条件，我们有：
uS mCu dS Cd
由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有： （1+r)(S-mC）=uS-mCU
8. 叠做期权（Straps）： 购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与 到期日都相同。
9. 逆叠做期权（Strip）： 购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行价 和到期日。 10. 三明治买卖（sandwich ）期权：买两份执行价格为 中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为XL的较低价格的看 涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即
二、以债券为标的资产的期权定价 设以例[8-8]中的债券 为标的资产、执行价X=100的
看涨期权, 在t时期市场上价格为Ct，它的收益如下：
图 8-48
Cd ,1 max( Bd ,1 票息-X,0) =13.77
？
Cu ,1 max( Bu ,1 票息-X,0) =15.22
为了达到期权定价的目的。与以股票为标的看涨期
最后，讨论存在交易费用条件下的二叉树模型。
第一节
(欧式)期权及其组合的损益
一、（欧式）期权交易到期的损益分析
设执行价为X，在期权到期时刻T,股票价格为ST
（一）看涨期权到期日的损益分析 1. 看涨期权多头（买），（赋予权力）
2.
看涨期权空头（卖），（承担义务）
（二）看跌期权到期日损益分析 1. 看跌期权多头(买), (赋予权力) 2. 看跌期权空头(卖), (承担义务)
二、 在(S,W)平面上欧式看涨期权和看跌期权的 损益表示 设股票初始价格为S, 期权的执行价格为股票初始价格， 令
S ST S
W为期权的收益 (一) 在(S,W)平面上看涨期权多头和看涨期权空头 的收益 (二) 在(S,W)平面上看跌期权多头和看跌期权空头 的收益 三、在(S,W)平面上, 股票和债券的收益:(为了说
u,t+1
Bdt 1 But 1 m= Cdt 1 Cut 1
由于是无风险债券组合，故有 （Bt- mCt ）（1+rt/2）= Bd
t+1
+票息- mCdt+1
其中rt为无风险利率，将m的值代入上式，我们有：
rt rt [( Bd ,t 1 票息) Bt (1 )]Cu ,t 1 [( Bu ,t 1 票息) Bt (1 )]Cd ,t 1 2 2 Ct rt ( Bd ,t 1 Bu ,t 1 )(1 ) 2
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ， 求C。 注1. 由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22.
S-mC=21-11.869565=19.13
uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
2

1 r
2
实际上,上式是两次应用一期模型定价公式得到的, 括号中是 ( pCu (1 p)Cd )2 的二项展式，只不过
CuCu , CuCd , Cd Cu , Cd Cd
可能取得的三个值
分别用二期之后期权
CuuCud Cdd
2
代替,它们分别是：
Cuu max(0, u S X )
3. 设利率也是取二值的过程：如 :图 8-38 4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若 把此债券看成面值与票息分离的债券，则债券的现金流 相当于2n份面值为Ci和一份面值为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法 1. 一年期债券的价格树 图 8-39 2. 一年半期债券的价格树 图 3-40 （二）利率期限结构模型方法 在（一）中介绍了给定利率期限结构以及半年期利率 变化规律寻找风险中性概率序列并且应用该序列给债券 定价的方法。另一种债券定价的方法，称为利率期限结 构模型方法：先固定半年期利率在下一期以同样的概率 分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期 利率值，从而构成一个利率树。用所得到的利率树对债 券未来的价值折现就可得到债券的价格。如 图 8-45,8-46
期权定价公式三个有趣的性质： 1.期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资 者对股票上升的概率有不同的判断,但他仍然只能接受 与u， d，X，S，r相关联的期权价值，而股票本身是 引起投资者对q的不同判断的根源。
2. 投资者对风险的态度与期权定价公式无关,所得的结 果只假设人们偏好更多的财富。
权定价理论一样,构造一个无风险套期保值债券组合；购
买一份债券，出售m份看涨期权（以该债券为标的的看 涨期权）。 若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付 （收益）是一样的。设看涨期权在t期执行，则此债券组
合在t+1期时两个状态的收益相等 。
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B +票息- mCu,t+1
t 期债券价格:
pBdt 1 1 p But 1 票息 Bt rt 1 2
例 [8-8] 设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概 率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同时假设债 券的面值D=100在一年期半内每半年支付的红利10, 而 每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券 的价格。如图 8-47
4. S+P-C损益的数学表达式： 5. 直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险 证券组合
(四) 其他期权组合的收益 1. 牛市价差买卖(bullish vertical spread) ： 购买一份执行价格为X1的看涨期权，卖出一份执行价格 是X2的看涨期权，其中X2 >X1 2. 熊市价差买卖（bearish vertical spread）： 卖出执行价格为X1的看涨期权，买入一份执行价格是 X2 的看涨期权，其中X2 >X1。
令
1 r d p= ud
u 1 r 1-p= ud
1 r
pCu 1 p Cd C
p称为套期保值概率。
事实上,若投资者是风险中性，则有
(1 r ) S quS (1 q)dS
由此得
1 r d q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
3. 蝶式价差买卖(butterfly spread）： 它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一 份执行价格为 X1和一份执行价格为X2的看涨期权，再卖 出两份执行价格为X3的看涨期权。其中，X2> X3 > X1 ， 且 X1 X 2 X3 2
4. 底部马鞍式组合 （ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X 5. 顶部马鞍组合（top straddle 或卖马鞍式)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X 6. 底部梯形组合（Bottom vertical combination 或买 入梯形组合)： 买入一份看涨期权和一份看跌期权,执行价格分别是 X1和X2，其中X2 >X1。 7. 顶部梯形组合（Top vertical combination 或卖出梯 形组合)： 卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为 X1和X2，其中X2 >X1 。
明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素）
(一) 股票买卖的收益 (二) 债券买卖的收益
(三) 无风险证券组合的构造:
购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权和卖一 份看涨期权
1. 购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。 2. 卖一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益 3. 购入一份股票的收益
先讨论一期模型 ： （一）股票价格的一期变化规律
注: 条件 u > 1 + r > d 必须成立,否则可能出现套利 机会。
（二）以股票为标的期权价格
设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格 为22,则
q
CBaidu Nhomakorabea
Cu max(0, uS X ) 7.4
1-q
Cd max(0, dS S ) 1.1