有限字长效应和量化误差-哈工大
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而保证滤波b3器工作z稳1 定。
级联型：
为维持级联结构的稳定，
x只k需 维持3个一阶节稳
定，b只需要用6个二进 制数表示b01.9z9即1 可b。2 z1
yk
z 1 b3
结论： A. 系数量化对滤波器的影响，不仅与字长有关，还与滤波器的结构有关。 B. 与直接型相比，系统级联时，系数量化对滤波器的稳定性影响较小。
M
b$k zk
µH z
k0 N
1 a$k zk
M
1 z$i z1
i 1 N
1 µpi z1
Bµ z µA z
k0
i 1
系统的极点是 µpi , i 1, 2,L , N
µpi pi Vpi , i 1, 2,L , N Vpi 为极点位置的偏差值，是由各系数偏差 Va引k 起的。
N
µA(z) 1 ak zk Var zr A(z) Var zr k0
反推：
假设有一个极点移到单位圆上，即 z=1
µA(1) A(1) Var 0
N
N
N
Var A(1) 1 ak 1 pi z1 1 pi
k0 z1 i1
z1 i1
Vpi = 1 或 pi 1
Var = 1
M
b$k zk
µH z
k0 N
1 a$k zk
M
1 z$i z1
i 1 N
1 µpi z1
Bµ z µA z
k0
i 1
系统的零极点受到影响
系统的稳定性受到影响
5
5
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
系数量化
系统的零极点受到影响 系统的结构
系统的稳定性受到影响
直
直
接
接
I
II
三阶IIR数字滤波器，为使滤波器保持稳定，对滤波器系数进行舍
入量化处理时，至少应采用几位字长？：
1 H (z) (1 0.99z1 )3
在z=0.99处有一个三阶 极点，且在z=1附近。
直接型：
当x系k数用b位定点y二k进 制
小则系数数表的示，舍b1 若入b误选差z 为1绝1对9，
值将不会超b2过 22z0，1 从
极点聚集 在z=1附近
只要有一个系数发生很微小的变化，系统就可能失去稳定。
结论： ✓ 反馈回路的阶次N越高，滤波器的系数量化误差的绝对值越小，
滤波器越容易变得不稳定。
10
10
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
IIR滤波器
？ 系统结构不同，系数量化又是如何影响滤波器的稳定性。
举例 说明：
A(z) zk ak
A(z)
pi
zN
N l 1
(z
pl )
li
极点位置 灵敏度：
pi
ak
pN k i N
( pi pl )
l 1
li
极点 pi 的偏差量：
N
Vpi
k 1
N
pN k i
a$r ar Var
“舍入”量化
系统函数的分母多项式变为：
N
N
µA(z) 1 ak zk Var zr A(z) Var zr
1 µpi z1
？ k0
i 1
判断：系数量化后的系统极点是否在单位圆上或单位圆外。
9
9
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
IIR滤波器
11
11
数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
极点（零点）位置灵敏度指每个极点（零点）位置对各系数偏差的敏感程度。
极点灵敏度分析方法同样适用于零点，但是极点对系统影响更大，直接影响 到系统的稳定性。零点作用只是用来调整极点所引起的滤波器特性，且取决于它 与极点的相对位置。因此，主要分析极点变化的影响。
均为无限精度；但在实际实现时，滤波器的所有系数 是以有限长的二进制码形式存放在存储器中。因此，必须 对理想的系数加以量化。
M
M
bk zk
滤波器系统函数：H z
k0 N
1 ak zk
1 zi z1
i 1
N
1 pi z1
Bz Az
k0
i 1
必须对 ak , bk 进行量化处理
型
型
级
并
联Βιβλιοθήκη Baidu
联
结
结
构
构
6
6
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响 2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
7
7
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
稳定性 极点
FIR滤波器
√ IIR滤波器
在z=0处有高阶极点 系数量化误差影响零点位置 不影响滤波器的稳定性
可能存在多个极点 系数量化误差影响极点位置 影响滤波器的稳定性
有限字长效应和量化误差
目录
数字运算的有限字长效应 A/D采样的量化效应
数字滤波器的系数量化效应 定点运算的有限字长效应
2
2
数字滤波器的系数量化效应
数字滤波器系统函数中的系数量化影响零极 点位置，从而影响系统稳定性
3
3
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
理论设计出的理想数字滤波器系统函数各系数 ak , bk
8
8
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
IIR滤波器
假设：稳定的因果的IIR数字滤波器，具有窄带低通频率特性
极点都在单位圆内且聚集在z=1附近
第 i 个极点 pi，它与点z 1 的距离用 Vpi 表示，有 pi 1 Vpi ，其中，Vpi = 1
ak 存在于系统函数的 A z 中，假设某系数 ar由于量化引入误差 Var 后变为 a$r 。
值越大，Vak 对 Vpi 的影响越大； 值越小，Vak 对 Vpi 的影响越小；
复合函数的 微分法则：
A(z) pi A(z)
pi z pi ak
ak z pi
M
M
bk zk
H z
k0 N
1 ak zk
1 zi z1
i 1
N
1 pi z1
Bz Az
k0
i 1
pi A(z) ak ak A(z) pi z pi
Vpi
N k 1
pi ak
Vak
,
i
1, 2,L
,N
pi 关系式中，a表k 示极点
对pi系数 变a化k 的灵敏度。
12
12
数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
Vpi
N k 1
pi ak
Vak
,i
1, 2,L
,N
？ pi 决定系数 ak 的偏差Vak 对极 ak 点位置偏差 Vpi 的影响程度。
4
4
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
系统函数：
M
M
bk zk
H z
k0 N
1 ak zk
1 zi z1
i 1
N
1 pi z1
Bz Az
k0
i 1
系数 ak , bk 量化后，得到 a$k , b$k
a$k
b$k
ak bk
Vak Vbk
系数量化误差
量化后的 系统函数：
级联型：
为维持级联结构的稳定，
x只k需 维持3个一阶节稳
定，b只需要用6个二进 制数表示b01.9z9即1 可b。2 z1
yk
z 1 b3
结论： A. 系数量化对滤波器的影响，不仅与字长有关，还与滤波器的结构有关。 B. 与直接型相比，系统级联时，系数量化对滤波器的稳定性影响较小。
M
b$k zk
µH z
k0 N
1 a$k zk
M
1 z$i z1
i 1 N
1 µpi z1
Bµ z µA z
k0
i 1
系统的极点是 µpi , i 1, 2,L , N
µpi pi Vpi , i 1, 2,L , N Vpi 为极点位置的偏差值，是由各系数偏差 Va引k 起的。
N
µA(z) 1 ak zk Var zr A(z) Var zr k0
反推：
假设有一个极点移到单位圆上，即 z=1
µA(1) A(1) Var 0
N
N
N
Var A(1) 1 ak 1 pi z1 1 pi
k0 z1 i1
z1 i1
Vpi = 1 或 pi 1
Var = 1
M
b$k zk
µH z
k0 N
1 a$k zk
M
1 z$i z1
i 1 N
1 µpi z1
Bµ z µA z
k0
i 1
系统的零极点受到影响
系统的稳定性受到影响
5
5
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
系数量化
系统的零极点受到影响 系统的结构
系统的稳定性受到影响
直
直
接
接
I
II
三阶IIR数字滤波器，为使滤波器保持稳定，对滤波器系数进行舍
入量化处理时，至少应采用几位字长？：
1 H (z) (1 0.99z1 )3
在z=0.99处有一个三阶 极点，且在z=1附近。
直接型：
当x系k数用b位定点y二k进 制
小则系数数表的示，舍b1 若入b误选差z 为1绝1对9，
值将不会超b2过 22z0，1 从
极点聚集 在z=1附近
只要有一个系数发生很微小的变化，系统就可能失去稳定。
结论： ✓ 反馈回路的阶次N越高，滤波器的系数量化误差的绝对值越小，
滤波器越容易变得不稳定。
10
10
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
IIR滤波器
？ 系统结构不同，系数量化又是如何影响滤波器的稳定性。
举例 说明：
A(z) zk ak
A(z)
pi
zN
N l 1
(z
pl )
li
极点位置 灵敏度：
pi
ak
pN k i N
( pi pl )
l 1
li
极点 pi 的偏差量：
N
Vpi
k 1
N
pN k i
a$r ar Var
“舍入”量化
系统函数的分母多项式变为：
N
N
µA(z) 1 ak zk Var zr A(z) Var zr
1 µpi z1
？ k0
i 1
判断：系数量化后的系统极点是否在单位圆上或单位圆外。
9
9
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
IIR滤波器
11
11
数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
极点（零点）位置灵敏度指每个极点（零点）位置对各系数偏差的敏感程度。
极点灵敏度分析方法同样适用于零点，但是极点对系统影响更大，直接影响 到系统的稳定性。零点作用只是用来调整极点所引起的滤波器特性，且取决于它 与极点的相对位置。因此，主要分析极点变化的影响。
均为无限精度；但在实际实现时，滤波器的所有系数 是以有限长的二进制码形式存放在存储器中。因此，必须 对理想的系数加以量化。
M
M
bk zk
滤波器系统函数：H z
k0 N
1 ak zk
1 zi z1
i 1
N
1 pi z1
Bz Az
k0
i 1
必须对 ak , bk 进行量化处理
型
型
级
并
联Βιβλιοθήκη Baidu
联
结
结
构
构
6
6
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响 2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
7
7
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
稳定性 极点
FIR滤波器
√ IIR滤波器
在z=0处有高阶极点 系数量化误差影响零点位置 不影响滤波器的稳定性
可能存在多个极点 系数量化误差影响极点位置 影响滤波器的稳定性
有限字长效应和量化误差
目录
数字运算的有限字长效应 A/D采样的量化效应
数字滤波器的系数量化效应 定点运算的有限字长效应
2
2
数字滤波器的系数量化效应
数字滤波器系统函数中的系数量化影响零极 点位置，从而影响系统稳定性
3
3
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
理论设计出的理想数字滤波器系统函数各系数 ak , bk
8
8
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
IIR滤波器
假设：稳定的因果的IIR数字滤波器，具有窄带低通频率特性
极点都在单位圆内且聚集在z=1附近
第 i 个极点 pi，它与点z 1 的距离用 Vpi 表示，有 pi 1 Vpi ，其中，Vpi = 1
ak 存在于系统函数的 A z 中，假设某系数 ar由于量化引入误差 Var 后变为 a$r 。
值越大，Vak 对 Vpi 的影响越大； 值越小，Vak 对 Vpi 的影响越小；
复合函数的 微分法则：
A(z) pi A(z)
pi z pi ak
ak z pi
M
M
bk zk
H z
k0 N
1 ak zk
1 zi z1
i 1
N
1 pi z1
Bz Az
k0
i 1
pi A(z) ak ak A(z) pi z pi
Vpi
N k 1
pi ak
Vak
,
i
1, 2,L
,N
pi 关系式中，a表k 示极点
对pi系数 变a化k 的灵敏度。
12
12
数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
Vpi
N k 1
pi ak
Vak
,i
1, 2,L
,N
？ pi 决定系数 ak 的偏差Vak 对极 ak 点位置偏差 Vpi 的影响程度。
4
4
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
系统函数：
M
M
bk zk
H z
k0 N
1 ak zk
1 zi z1
i 1
N
1 pi z1
Bz Az
k0
i 1
系数 ak , bk 量化后，得到 a$k , b$k
a$k
b$k
ak bk
Vak Vbk
系数量化误差
量化后的 系统函数：