《高二数学等比数列》PPT课件

• 友情提示：关于等比数列中项的理解应注 意体会以下几点：
• (1)在a、b同号时，a、b的等比中项有两个； ⑫________时，没有等比中项；
• (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的⑬________；
• (3)“a、G、b成等比数列”等价于⑭________， 可以用它来判断或证明三数成等比数列．
• (2)等比数列的单调性
• 在等比数列{an}中，若设首项为a1，公比 为q，根据等比数列的定义，有
• ①若a1>0，q>1或a1<0,0<q<1，则数列递增； • ②若a1>0,0<q<1或a1<0，q>1，则数列递减； • ③若q＝1，则数列为常数列；
• ④若q<0，则数列为摆动数列．
所以由此我们不可误以为等比数列的公比 q>0 时，是 递增数列，这是因为当等比数列的公比 q>0 时，数列不一 定是递增数列，如 1，12，14，18，…就是递减数列．也不可 误认为若数列{an}为常数列，则此数列为等比数列，这是因 为如 0,0,0，…就不是等比数列，但一定是等差数列．只有 当常数列{an}的项不为 0 时，常数列{an}既是等差数列，又 是等比数列．
(2)方法 1：因为aa23＋＋aa56＝＝aa11qq＋2＋aa1q1q4＝5＝198
③ ④
④ 由③得
q＝12，从而
a1＝32.
又 an＝1，所以 32(12)n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
方法 2：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
(5)若{an}和{bn}分别是公比为 q 和 p 的等比数列， 则数列{an·bn}，{abnn}仍是等比数列，它们的公比分别为 ○ 23________.
答案： ①同一常数 ②公比 ③均不为 0 ④前一项 ⑤aan＋n 1 ⑥不是等比数列 ⑦不是等比数列 ⑧等比 数列 ⑨aan＋n 1＝q(n∈N*) ⑩等比中项 ⑪Ga ＝Gb ⑫异 号 ⑬等比中项 ⑭G2＝ab(ab>0) ⑮an＝a1qn－1(q≠0， a1≠0) ⑯a1 与 q ⑰amqn－m ⑱一些孤立的点 ⑲减 ⑳ 非增非减 ○ 21a2p ○ 22q，|q| ○ 23pq，qp
• (8)在现实生活及国民经济建设中，常出现 增长率(降低率)、复利率等问题，多与等 比数列有联系，应用广泛．
• 2．与等差中项的概念类似，如果在a与b 中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列， 我们称G为a，b的⑩________且G＝± (ab>0)，即⑪________.在等比数列中，首 末两项除外，每一项都是它的前一项与后 一项的等比中项．
• 同时还要注意到“a、G、b成等比数列”与“G ＝ ”是不等价的．
• 二、等比数列的通项公式 • 1．通项公式：首项是a1，公比是q的等比
数列的通项公式是⑮________. • 2．通项公式及其变式的应用 • (1)由通项公式an＝a1qn－1可知，已知⑯
________就可求出等比数列中的任意一项； • (2)等比数列通项公式an＝a1qn－1中有a1，n，
则am·an＝ap·aq(反之不一定成立，例如常 数列)．特别地，当m＋n＝2p时，有am·an ＝________；
• 在有穷等比数列中，与首末两项等距离的 二项的积等于首末两项的积；
• (3)等比数列中每隔一定项取出一项按原来
(4){λan}(λ≠0)，{|an|}皆为等比数列，公比分别为○ 22 ________；
• ①an＝an－1q(n≥2，n∈N*，q为不等于零的 常数)⇔{an}是公比为q的等比数列．
• ② ＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*，an、an－1、an ＋1均不为0)⇔{an}是等比数列．
• ③an＝cqn(c、q均为不等于0的常数)⇔{an} 是等比数列．
• 由上可知判断一个数列是否成等比数列的 方法：定义法、中项法、通项公式法．
• 1.对等比数列概念与通项公式分别应如何 理解？
• (1)一般地，如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示．我们要强调一点：“公比q≠0”．等比 数列的首项不为0，等比数列的每一项都 不为0，即an≠0；另外，我们还强调“从第2 项起”，这是为了保证每一项的前一项存
• ④在等比数列{an}中的任意两项可以互相表 示为an＝amqn－m.这也是通项公式的另一种 形式．
• 证明：∵an＝a1qn－1，amqn－m＝a1qm－1qn－m ＝a1qn－1，∴an＝amqn－m.
• 2．等比数列的判定方法有哪些？应如何 区分等比数列的单调性？
• (1)等比数列的判定方法有：
• (2)对于通项公式应从以下几个方面入手：
• ①在公式an＝a1qn－1(n∈N＋)中有四个基本 量an、a1、q、n，若知道其中任意的三个 量，就可以求出另一个量．
• ②此公式成立的条件是，n∈N＋，q≠0，且 对n取1,2,3，…的一切正整数都成立．
• ③由于an＝a1qn－1＝ ·qn，当q>0且q≠1时， qn对应于指数函数qx，所以有时可以把等 比数列的通项公式看作是函数y＝kqx(x∈N ＋)(或自然数从1起始的某个子集)这样的一 个函数．
当然了，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我 们应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列，从而利用等差(或 等比)数列的通项公式求其通项.
• 等比数列的通项公式涉及首项a1，末项an， 公比q以及项数n共四个量，已知其中三个 量就可求出其他一个量．
• [例1] 在等比数列中：
• (1)若a4＝27，q＝－3，求a7； • (2)若a2＝18，a4＝8，求a1与q； • (3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
3．如何灵活地处理求通项公式问题？
(1)如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差
(或等比)数列的通项公式，求得 a1，d(或 q)，我们直接套公 式即可．
(2)若已知数列的前 n 项和求通项时，通常用公式 an＝
S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2.
用此公式时我们应当注意结论有两种可
能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为
• (5)如果一个数列从第2项起，每一项与它 前一项的比尽管是一个与n无关的常数， 但却是不同的常数，这时此数列⑦ ________；
• (6)常数列都是等差数列，但却不一定是⑧ ________.若常数列是各项都为0的数列， 它就不是等比数列；当常数列各项不为0 时，是等比数列；
• (7)证明一个数列为等比数列，其依据是⑨ ________，利用这种形式来判定，就便于 操作了．
定义．
解析：(1)∵a1＝S1，an＋Sn＝n， ∴a1＋S1＝1，得 a1＝12. 又 an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ∴2(an＋1－1)＝an－1，即aan＋n－1－11＝12，(n∈N*) 也即ccn＋n 1＝12，故数列{cn}是等比数列．
(2)∵c1＝a1－1＝－12，∴cn＝－21n. an＝cn＋1＝1－21n，an＋1＝1－2n1＋1， 故当 n≥2 时，bn＝an－an－1＝2n1－1－21n＝21n. 又 b1＝a1＝12，即 bn＝21n(n∈N＋)．
等比数列与等差数列一样，是一类特殊的数列，是中学数 学的一个重要内容，因此必须熟练掌握证明等比数列的方法．证 明一个数列是等比数列常用的方法有：
(1)定义法：aan－n 1＝常数 q(n∈N*，q≠0，n≥2)⇔{an}为等比 数列，或aan＋n 1＝常数 q(n∈N*，q≠0)⇔{an}为等比数列；
• (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故 每一项③________，因此q也不能是0；
• (2)“从第2项起”是因为首项没有④________；
• (3)⑤________均为同一常数，即比值相等， 由此体现了公比的意义，同时还要注意公 比是每一项与其前一项之比，防止前后次 序颠倒；
• (4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3 项或第4项起每一项与它前一项的比都是 同一个常数，此数列⑥________，这时可 以说此数列从第2项起或第3项起是一个等 比数列；
等比数列中的某些量之间的关系，求其他
的量．解答本题可将条件转化为关于基本 元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示 其他量．
解析：(1)方法 1：因为aa47＝＝aa11qq36 ，
所以aa11qq36＝ ＝28
① ②
② 由①得
q3＝4，从而
q＝3
4，而
a1q3＝2，
于是 a1＝q23＝12，所以 a10＝a1q9＝12×43＝32. 方法 2：因为 a7＝a4q3，所以 q3＝4. 所以 a10＝a4q10－4＝a4q6＝2×42＝32.
一”，即 a1 和 an(n≥2)合为一个表达式．这叫做公式法．
• (3)对于形如an＋1＝an＋f(n)型或形如an＋1＝ f(n)an型的数列，其中f(n)又是等差数列或等 比数列，可以根据递推公式，写出n从1到n通项公式．
(4)有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变 形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求 其通项公式．这叫做构造法．例如：在数列{an}中，a1＝1，a2＝2， an＋2＝23an＋1＋13an，我们在上式的两边减去 an＋1，得 an＋2－an＋1＝－13(an ＋1－an)，即可构造另一个等比数列来解决问题．
• 等比数列的单调性如下表：
a1
a1>0
a1<0
q的 范 围
0<q< q＝ 11
q>1
0<q< 1
q＝ 1
q>1
{an} 的 单 调 性
⑲
非 增
___ 非
增
_减
⑳ 增 __ 减
__
• 三、等比数列的简单性质
• 设{an}是公比为q的等比数列，那么 • (1)an＝am·qn－m； • (2)如果m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，
q，an共四个元素，知三可求一； • (3)若an，am是等比数列{an}的任意两项，
则an＝⑰________.
3．用函数的观点看等比数列的通项公式 等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1，还可以改写为 an＝aq1qn，且 q>0，且 q≠1 时，y＝qx 是一个指数函数， 而 y＝aq1·qn 是一个不为 0 的常数与指数函数的积．因此等 比数列{an}的图像是函数 y＝aq1·qx 的图像上⑱________.
(2)等比中项法：a2n＝an－1·an＋1(n∈N*且 n≥2)⇔{an}为等比 数列，或 a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)⇔{an}为等比数列．
• [例2] 数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn} 中b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝ n.
• (1)设cn＝an－1，求证数列{cn}是等比数列； • (2)求数列{bn}的通项公式． • 分析：证明一个数列是等比数列通常使用
• 3．1 等比数列
• 一、等比数列的概念
• 1．一般地，如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的比等于①________， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫 做等比数列的②________，公比通常用字 母q表示(q≠0)．
• 友情提示：关于等比数列概念的理解应注 意以下几点事项：
解析：(1)解法 1：由 a4＝a1·q3 得 27＝a1·(－3)3，得 a1＝－1， ∴a7＝a1·q6＝(－1)·(－3)6＝－729.
解法 2：∵a7＝a1q6，a4＝a1q3， ∴a7＝a4·q3＝27·(－3)3＝－729.
(2)由已知得aa11qq＝3＝188.，
a1＝27， 得q＝23
a1＝－27， 或q＝－23.
(3)由已知得aa11qq43－－aa11＝q＝156，.
① ②
由① ②得q2＋q 1＝52，∴q＝12或 q＝2.
当 q＝12时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 当 q＝2 时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.
• [变式训练1] 在等比数列{an}中， • (1)a4＝2，a7＝8，求a10； • (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. • 分析：由题目可获取以下主要信息：已知