朱慈勉结构力学 静定结构(课堂PPT)

§3-2 静定梁和静定平面刚架 ⑴单跨静定梁：
简支梁 悬臂梁
⑵多跨静定梁：
伸臂梁
一端为滑动支座， 一端为简支的梁
27
⑵多跨静定梁：
28
⑶静定刚架：
29
3-2-1 刚架式杆件的内力以及与荷载的关系
内力正负号规定： ﹡轴力以拉力为正，压力为负； ﹡剪力以使微段隔离体顺时针方向转动为正， 逆时针方向转动为负； ﹡弯矩的正负号不作硬性规定，弯矩图应画在 受拉一侧。
↓↓
NA MA QA
↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
QB
NB MB
MA
↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓↓ ↓
q
MB
↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓
➢对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静
YA°
定的；不论是等截面杆或
是变截面杆；不论该杆段 MA
M'
内各相邻截面间是连续的
M°
还是定向联结还是铰联结
弯矩叠加法均适用。
30
3-2-1 刚架式杆件的内力以及与荷载的关系
应用静力平衡条件， 并略去高阶微量，可 得以下关系式：
dFN dx
qx
d FQ dx
qy
dM dx
FQ
d 2M dx2
qy
由这些微分关系可知：
31
⑴ 在无横向荷载(qy = 0)的区段，杆件剪力保持为常数, 对应的剪 力图形为与杆件轴线平行的直线, 弯矩图形为倾斜的直线，其 斜率就等于杆中的剪力。
40kN/m
40kN
1m 1m 2m 130kN
130
30 斜率相等
4m
2m
310kN
120
190
Q图(kN)
130 340
210
Q图 M图
内力图形状特征
无何载区段 均布荷载区段 集中力作用处 集中力偶作用处
平行轴线 斜直线
↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓
＋ －
二次抛物线 凸向即q指向
发生突变
＋P －
出现尖点
尖点指向即P的指向
无变化 发生突变
m
两直线平行
备 Q=0区段M图 Q=0处，M 注 平行于轴线 达到极值
集中力作用截 集中力偶作用面
加，而不是指图形的拼合，竖
MA
MB
标M °，如同M、M′一样垂
MA
直杆轴AB，而不是垂直虚线。
M'
＋
MB
➢利用叠加法绘制弯矩图可以
q
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓
少求一些控制截面的弯矩值，
M°
少求甚至不求支座反力。而且
对以后利用图乘法求位移，也
提供了把复杂图形分解为简单 MA 图形的方法。
dM dx FQ 微分关系给出了内力图的形状特征
2） 增量关系
ΔN=－FX ΔQ=－Fy
Q
N
m
Fx
M
Fy
Q+ΔQ
N+ΔN M+ ΔM
ΔM=m
增量关系说明了内力图的突变特征
3） 积分关系
FNB FN A Aq Bx(x)dx
F Q BF Q AAq By(x)dx
MBMAAB FQdx
由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去该 段qy的合力； 右端弯矩等于左端弯矩加上该 段剪力图的面积。
dFN dx
qx
d FQ dx
qy
dM dx
FQ
d 2M dx2
qy
由这些微分关系可知：
32
例如：
33
区段叠加法做弯矩图
熟记简支梁弯矩图
FP
q
Pl
ql 2
4
8
Hale Waihona Puke Baidu
M
M 2
M 2
1）简支梁情况
几点注意：
MA
q
MB
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓
➢弯矩图叠加，是指竖标相
dx
q(x)
FS ( x)
M(x)
dM(x) dx
FS(x)
q0
FS 常数
FS 0
FS 0 FS 0
q0
q0
12
• 荷载与内力之间的关系：
qy
Q ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Q+dQ
1 ） 微分关系
N
qx
→→→→→
N+dN x
M
M+dM
dFN dx
qx
dx y
dFQ dx
qy
qy向下为正
1m
2m
＝2m36.1（kN1.mm) 1m
RB=7kN
17 ＋ 9
H
16
Q图（kN） x
－
7
7
26
28
7
30
23
4
M图（kN.m） 8 36.1
CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！
FN
FQ
MM
FQ
FN
FN
FQ FQ
M
M
结构力学与材料力学内力规定的异同
• 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同 • 内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明
AB杆的A端弯矩 • 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧
4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
【例4-2】
图示简支梁受均布载荷q作用， 求 (1)剪力方程和弯矩方程； (2)画剪力图和弯矩图。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓
FN2=50－141×cos45o =－50kN
1
1
50kN
FQ2= －141×sin45°＝－100kN 2
2
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m +
45° 141kN
M2＝375kN.m （左拉）
FN1=141×0.707=100kN
• 绘控制截面间内力 图（弯矩图、剪力 图）
• 确定弯矩最大点位 置及最大值
A ql
ql B
ql2/4
q
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ F
E
ql2/2
ql2/8
ql
l/2
l/2
l
M图 ql
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/4
ql2/8
qL
＋
－
qL
YB°
MB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN·m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN·m
（2）集中力偶作用下
4kN·m 2kN·m
（3）叠加得弯矩图
2m
1m 1m
RB=7kN
17 ＋ 9
H
16
Q图（kN） x
－
7
7
26
28
30
4
M图（kN.m） 8 36.1
7 23
8
4
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
8
8
A
1m RA=17kN
8kN
B
↓C↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓D↓↓↓4↓由↓kM↓N↓↓H＝/↓Qx＝m↓＝↓H2↓M=↓6Q↓+QC↓C↓9+↓C/E×q(↓－↓C＝2Hq.9x2段/=15406÷Q＝Fk图N22可..的2m5得面(m：积G) ）
5m
FQ1=50 +5×5－141×0.707
=－25kN
M1=125 +141×0.707×10－50×5－5/2×5²
=812.5kNm
(下拉）
125kN.m 5m
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
如图所示受任意载荷的直梁 建立坐标系
y
F1 F2
取其中一微段 dx q(x)为连续函数，规定向上为正
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第3章 静定结构的受力分析
Chapter 3 Statically Determinate Structure
➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢ ➢
基本要求
静三组静静多截
掌握结构的支座反力的计算，结构的 定 铰 合 定 定 跨 面
剪力和轴力计算的两种方法，内力图 结 拱 结 平 刚 静 内
dx
x
q(x)
x
dx
FS M
M+dM
将该微段取出，加以受力分析
FS+dFS q
9
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系
4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dx
Fy 0
FS(x) M(x)
M(x)+dM(x)
F S x q x d x F S x d F S x 0( 1 )
⑵ 在杆件剪力为零处, 弯矩图的切线与杆件轴线平行, 此时弯矩取 得极值; 在无剪力的区段, 杆件的弯矩保持为常数, 对应的弯矩 图为与杆件轴线平行的直线。
⑶ 在有横向均布荷载的区段, 剪力图为倾斜的直线, 弯矩图为二次 抛物线。
⑷ 在无轴向荷载(qx = 0)的区段, 杆件的轴力保持为常数; 在有轴向 均布荷载的区段, 轴力图为倾斜直线。
10
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dFS(x) q(x) 剪力图上某点的斜率等于分布载荷的数值 dx
dM(x) dx
FS(x)
弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值
在剪力图无突变(无集中力作用)的某段梁上，有
FS x 2 FS x1
x2 qxd x
Q图
10kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2m
2m
60kN.m 2m
55 30
20 30 5 m/2 m
m/2
15kN 2m
30 M 图 (kN.m)
A
1m RA=17kN
8kN
4kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
BC
D
E
16kN.m
G F
1m
2m
C
MC 0
FS(x)+dFS(x) M x d M x q x d x d 2 x F S x d x M x 0( 2 )
q(x) 由（1）式可得:
dFS (x) q(x) dx
（2）式中略去高阶微量
qx dx
2
dx
dM (x) dx FS (x)
注意 在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立
ql/2
x
5
q
A x
FA q
l M(x)
x
FA FS ql/2
+
FS(x)
M
ql2+/8
B FB
－
x
ql/2
x
• 求内力的基本方法：
截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利 用平衡方程求解）
截开、代替、平衡
• 内力的叠加与分解：
假设：材料满足线弹性、小变形。
5m
例：求截面1、截面2的内力
5kN/m
按几何构造特点求解
几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：
有些静定结构的几何构造可区分为基本部分和附属部分 由附属部分向基本部分推进
组成静定结构的构件主要有二力杆和受弯杆。二力杆仅承受 轴向力的作用；受弯杆一般同时承受弯矩、剪力和轴力的作用。
如何求解？从构建联结、制作特征找突破
先对整体取矩M(Ⅰ,Ⅲ)，再对局部取矩
4kN·m
4kN·m
8kN·m
2kN/m
3m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
2kN·m
4kN·m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图
6kN·m
4kN·m
2kN·m
q
l/2
FAy q
FAy
l/2
M0 FOy
M0
分析步骤
• 确定控制点 • 分析各段内力图走势 FBy （利用微分关系） • 求控制截面内力
M M' M°
MB
M
FP
MA
Pl
4
MB
做法：
M
先在梁端绘弯矩竖标
过竖标顶点连直虚线
MB
以虚线为基础叠加相应
简支梁弯矩图
注意:合成内力图是
M B 竖标相加,不是图形 的简单拼合。
2）直杆情况
1、首先求出两杆端 弯矩，连一虚线；
q
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓ ↓ ↓
A
B
2、然后以该虚线为 基 线，叠加上简支梁 在跨间荷载作用下的 弯矩图。
的形状特征和绘制内力图的叠加法。 构 计 构 面 架 定 力
熟练掌握弯矩图绘制，能迅速绘制弯 总 算 桁 内 梁 计
矩图。
论
架力内算
理解恰当选取脱离体和平衡方程计算
内图力
静定结构内力的方法与技巧。会根据
力图
几何组成寻找求解途径。
图
回顾和补充
材料力学内容回顾
杆件内力分析要点： • 内力正负号规定：
FN
力偶不影响剪力
18kN.m 12kN
8kN/m
22kN.m
10kN
K
1m 1m 不 可 29kN
4m
1m 1m 2m
25kN
简
剪力等于零处弯矩为极值点
称 K 29 截
17
x=17/8
10
Q图(kN)
面
剪 18 力
11 28
相切 斜率相等 15 20 5
46.0625
17
32
M图(kN·m)
160kN 80kN.m
A x
FA q
l
解 (1)求约束力
FA
FB
ql 2
x
(2)列剪力方程和弯矩方程
F S xF Aq xq 2 lqx 0xl
FA ql/2
FS
+
M(x) FS(x)
M xqxlqx2 0xl
22
MmaxM2l q8l2 (3)画出剪力图和弯矩图
M
ql2/8
+
剪力图 斜直线 弯矩图二次抛物线
B FB
－
x
x1
q图的面积
在弯矩图无突变(无集中外力偶作用)的某段梁上，有
M x2 M x1
x2
x1
FS
x
dx
Fs图的面积
上述积分关系有时可简化控制截面的内力计算。
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4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dFS(x) q(x) 若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格
面剪力无定义
弯矩无定义
等于在零自q，、由有零qQ端、集、、、中平QqM铰、力、、支偶M斜qQ座、作、、、Q用抛M铰、，结M截点面处弯，矩无等集于中集力中偶力作偶用的，值截。面弯矩
第3章 静定结构 §3-1 概述
按几何构造特点求解 几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：
又如：
第3章 静定结构 §3-1 概述