三角Bézier曲线插值及其误差分析1

制顶点与其最近的型值点之间连线的斜率的绝
对值，Ｄ是与岁：对应豹控铡璜点与其最近熬型
值点之间的距离。
。＝望挚ｐｍ一鼽ｌ 由文献【２】可得
因此
∽一‰ｌ《∽＋砸）学肾魏ｌ＝
（ａ） ），＝ｆ３曲线与所取型值点 （ｂ）捅值曲线与弦线
ｏ．２４５７慨＋ｌ一鼽Ｉ＝ｚ
故｜，◇）一魏９）｜≤｜歹◇）一ｐｌ罗；＋；｜＋ ｆ魏ｏ）一ｐｆｎ＋１ｆ≤ｄ＋ｚ
若式（１９）条件满足，则式（１９）显然成立。 ｆ证毕１
５应用实例
分别在，（ｆ）＝ｆ３和厂（ｆ）＝ｓｉｎｆ曲线上取若 于型僖点（如豳ｌ（ａ）和圈２（鑫）），以弦长必 参数分剐构遮３－Ｂ垂ｚｉｅｆ播值麴线（如图ｌ两）
（ｃ）播值曲线与岁＝｝３鎏线的比较 蔫ｌ 岁＝ｆ３
①此处讨论的是２维情形。如果是３维，可以假想将控制顶点和曲线上的点绕麒＋，以轴旋转到某一个平面上。 ②插值曲线与理论曲线基本夔合，为了清晰，将理论曲线整体下移Ｏ．０５。
ｃ哪ｅ．ｒＩ＇Ｉｌｅｎ Ｂ６ｚｉｅｒ
ｍｅ ａｌｇｏｒｉｍｍ ｆｏｒ ｃｕｂｉｃ Ｔｄｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ Ｂ６ｚｉｅｒ ｃｕｎ，ｅ ｉｎｔｅ印ｏｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｄｕｃｅｄ
ｆｂｍ ｃｏｎ石ｎｕｏｕｓ ｆｕｎｃ廿ｏｎ，ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ ａｒｅａ［ａ，ｂ】ｗｉｍ ｐａｒｄｎｏｎｓ么：口＝毛＜ｒ。＜…＜ｆ．一。＜ｆ＾＝６ ａｎｄ
万方数据
’１０８。
基程图学学报
２００７年
（ａ） ｙ＝ｓｉｎｆ曲线与所取型值点
渤捶毽藏线与弦线
６结束语
３警Ｂ包ｉｅｆ莹线其有与三次Ｂ番瘀髅麓线完全 类似的性质，并具有更高的连续阶，即插值时只 要达到ｃ２连续必然达到ｃ３连续。而算法基本一 致，只要将求解三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线插值的方法稍加 改动便霹实现。从葵误差可以看蠢３孓Ｂ垂ｚ玉ｅｒ戆 线熊更好地拟合潦睡线。
【２ ．４ ４＿２
Ｊ
Ｏ Ｏ ２－２
１
矿＠）＝［幽ｆ ００对ｓｉＩ么］ ２ －２ Ｏ Ｏ
一４ ８ ．８ ４
％珥畋喀．％４畋喀 ｊ
２ ３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ曲线性质分析
（１）端点性质
ｐ（ｏ）＝％，
ｐ争呜
ｍ＝＿２皖一珥）， 《）＝＿２幌一喀）
∞＝２＠一弛＋％）， 蠼）＝２他一２哇＋碹）
帕＝２旺卅＝∞ 矿（ｏ）＝２眩一儡）＝邓㈣，
ｔｌｌｅｉｒ ｖａｌｕｅｓ，（ｆ；）（江０，１，…，，１）．Ｍｅａｎｗｌｌｉｌｅ ｍｅ ｈ０１ｉｓｔｉｃ ｅｒｒｏｒ ｆｏｒ ｍｅ ｉｎｔｅ叩ｏｌａｔｉｏｎ ａＪｌｄ ｍｅ ｅｒｒｏｒ ｉｎ
ｐａｎｉｔｉｏｎ［ｔ，ｔ＋ｌ】ａｒｅ ａｌｌａｌｙｚｅｄ．Ａｔ ｌａｓｔ，ｍｅ ｅｘ锄ｐｌｅｓ ｉｓ ｇｉＶｅｎ ｔｏ Ｖｅｒｉｔ），ｍｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔ．
若最（￡）与，在藏和致÷ｌ之闻具有楣阀的 凸凹性，则
ｌ，（ｆ）一只（ｆ）｛≤ｍａＸ｛ｄ，ｚ） （１９）
和图２（ｂ）），并将其与相应的理论曲线进行比 较＠（如图１（ｃ）和图２（ｃ））。
从图１（ｃ）和图２（ｃ）可以看出，３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ 曲线与原睦绫撅合的奄≥常好，两它｛｜、】误差刘分别 属于式（１８）和式（１９）所示的情形。
（４）
垫＝ｚ显：垄：１二箜Ｉ：翌邕氕：盟盟
出
红一。
魄
出
ｆ＝１，…，ｎ一１
（５）
皇：鱼＝；！互！：生．垡：！二圣箜：±垡：！：生．
出２
２
磋。
２
生等堡：粤粤江１＇２’．．＂一１
。’
’
彬
ｍ２
（６）
Ｒ：令掣：华汪１，２’．．～硼一１
‘
红一，
红
（７）
由式（钔、（５）、（７）得
矗：＝Ｒ绣＋Ｑｆ，ｄｆｌ＝Ｑｆ—Ｒ红一。 （８）
证瞬以藏鸯坐标添点，馥÷ｌ魏尧撰辘，
向右为正方向建立直角坐标系∞。Ａ（ｆ）是肛和
见＋１之间的３Ｔ＿Ｂ６ｚｉｅｒ插值曲线，则
ｌ魏ｏ）一只魏＋ｌｌ—ｌ熊９）ｌ
由ｉ◇＝ｏ，可求得忍＠≤心＋列２）ｌ西ｌ，
则
陬ｆ）一ｐｉｐＭＩ＝陬ｆ）Ｉ≤（一２十２扼）蚓＝
（之＋２√２）意（露２＋１）ｍ５Ｄ＜（以＋２√２）Ｄ 式中 ｌ并ｋ ｍａＸ｛ｌ露ｌ，ｌ并ｌ｝，对和霄分别是 控制顶点耐和《的纵坐标，七是与ｙ？对应的控
她锄盯ｒ
姗笔～ 蛾擞州雅鬻一 ＿虾撕缄ｑ蛐斟。线Ｌ，．、粤＿ 线扯靠玎
数易魏
３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ曲线插值。
（１） ｐ（ｆ）是３－Ｂ６ｚｉｅｒ多项式，在子区间
［ｔ，ｔ＋１］表示为鼽（ｆ）ｆ＝ｏ，１，２，…，，ｚ一１；
（２）ｐ（ｔ）＝，（ｔ）＝Ｑｆ江ｏ，１，２，…，，ｌ；
（３） ｐｆ一１（ｔ）ｉ既（‘）ｆ＝１，２，…，，ｚ一１；
插值问题。文献【３】给出了Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的三角多项 式形式，在此基础上，该文给出三次三角Ｂ６ｚｉｅｒ 曲线的插值算法及其误差分析（注：文中三次三 角Ｂ６ｚｉｅｒ，记作３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ）。
收稿日期：２００６一１２—２２ 基金项目：甘肃省自然科学基金资助项目（ｚＳ０３１．Ａ２５．００８－ｚ）；兰州交通大学首批“青蓝”人才工程资助项目 作者简介：邱泽阳（１９６６一），男，江苏沭阳人，教授，博士，主要研究方向为计算机图形学、计算机辅助设计和逆向工程。
曲线，一般有
ｌ，（ｆ）一只（ｆ）ｌ＜Ｄ（庇６）
式中 矗＝ｍａ）【魂，红＝０ｌ一‘，Ｏ≤ｆ≤，ｚ一１。
文献【２】对见（ｆ）是三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的情形进 行了证明，由于３Ｔ．Ｂ色ｚｉｅｒ曲线可转换成三次 Ｂ６ｚｉｅｒ曲线，故定理１成立。
定理２ 对于曲率连续曲线．厂，在［以，纠上
给定型值点列｛（‘，，（‘）））ｆ＝ｏ，１，２，…，，ｚ，如
Ｋｅｙ ｗＯｒｄｓ：ｃｏＩｎｐｕｔｅｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｃｕｒｖｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ ｐｏｌｙｎｏＩＩｌｉａｌ；Ｂ６ｚｉｅｒ
ＣＵｒ、，ｅ
Ｂ６ｚｉｅｒ曲线是计算机辅助几何设计中的一 类重要曲线，文献【１】介绍了三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线插 值，文献［２］介绍了三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的保凸插值， 但难以解决一端曲率为０，另一端曲率比较大的
（４）以。（ｔ）＝ｐ；（ｔ）ｉ＝１，２，…，，ｌ一１；
（５） ｐ：ｌ（‘）＝ｐ又‘）ｆ＝１，２，…，ｎ一１；
（６）边界条件
１） ｐ’（气）＝ｐ’（乙）＝ｏ（自由边界条件）；
２）ｐ７（乇）＝，７（气）＝常数，ｐ’（乙）＝，７（乙）＝
常数（固支边界条件）。 由上述定义，则在［‘，“】上的３Ｔ＿Ｂ６ｚｉｅｒ曲
ｐｏｌｙｎｏＩＩｌｉａｌ Ｂ６ｚｉｅｒ，ｔｌｌｅ ｃｈａｆａｃｔｅｒｓ ｏｆ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ ｐｏｌｙｎｏＩｌｌｉａｌ Ｂ６ｚｉｅｒ ｃｕｒｖｅ ｉｓ ａＩｌａｌｙｚｅｄ，ａｎｄ
ｄｅｄｕｃｅｄ ｍａｔ ｃｕｂｉｃ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ ｐｏｌｙｎｏＩＩｌｉａｌ Ｂ６ｚｉｅｒ ｃｕｒｖｅ ｉｓ ｍｏｒｅห้องสมุดไป่ตู้ｓｍｏｏｍ ｍａＩｌ ｃｕｂｉｃ ｐｏｌｙｎｏＩＩｌｉａｌ
线为
万方数据
·１０６·
工程图 学学报
２００７年
ｐ如）秀嘣寻·夥阍‰
ｉ＝Ｏ，ｌ，２，…，，ｚ一１
（３）
式中 吃＝ｔ＋。一ｔ，ｄ；表示【‘，ｔ＋。】上第歹个
控制顶点，Ｂ『，３为３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ基，歹＝Ｏ，１，２，３。
在［以，易】中，ｚ一１个内节点处应满足以下公 式
Ｂ一。（彳）＝《一＝饯＝见（矿）＝Ｑ ｉ＝１，２，…，，ｌ一１
（ｃ）插值曲线与ｙ＝ｓｉｎｆ曲线的比较 图２ ｙ＝ｓｉｎｆ
万方数据
Ｂ６ｚｉｅｒ曲线更光滑。然后，由连续函数，在给定区间【日，６］上的分割么：口＝乇＜‘＜…＜０＜乞＝６
和函数值．厂（ｔ），导出了三次三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线插值算法，并对插值的整体误差和节点区间
∽ｔ＋。】内的误差进行了分析估计；最后给出的应用实例验证了上述结论。
关键词：计算机应用；曲线插值；三角多项式；Ｂ６ｚｉｅｒ曲线
（２）光滑性 由式（２）可知，两段３■Ｂ６ｚｉｅｒ曲线之间，如 果达到产连续，则必然达到ｃ３连续。因此， ３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ曲线比三次Ｂ６ｚｉｅｒ曲线更光滑。 （３）对称性
由ｊ５ｉ邸（ｆ）＝色屯３（詈一ｆ）可知。 ‘ （４）凸包不变性
由３Ｔ．Ｂ６ｚｉｅｒ基的规范性与正则性可知。 （５）几何不变性 由３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ基的规范性可知。
１）自由边界条件
由ｐ’（气）＝ｏ得簖一２钟＋ｄ？＝ｏ（１２） 仿式（８）得钟＝Ｒ％＋Ｑ，霹＝Ｑ一墨％，
代入式（１２）得
砜哗警＝＆…）
生誉出堂：鲨；玩签兀：，。，”（７气）。由于１ 砰：～Ｒ％～＋Ｑ
［三章耋。薹。乏。］［委。］＝［喜。］
４误差分析
定理１对于曲率连续曲线．厂，由型值点列
｛（‘，厂（‘）））ｉ＝ｏ，１，２，…，，ｚ生成的３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ
中图分类号：ＴＰ ３９１．７２；Ｏ ２４１．３
文献标识码：Ａ
文章编号：１００３—０１５８（２００７）０２一０１０４—０５
ＴｒＩｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃ Ｐｏ崎ｎｏＩｌｌｉａｌ Ｂ６ｚｉｅｒ ＣｕｒＶｅ Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｉｔｓ Ｅｒｒｏｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ
ＱＩＵ ｚｅ—ｙａＩｌｇ，ＦＡＮＧ Ｙｂｎｇ—ｆｅｎｇ
２∞７年 第２期
工程图学学报
ＪｏＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＧＲＡＰＨＩＣＳ
２∞７
Ｎｏ．２
三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线插值及其误差分析
邱泽阳，方永锋
（兰州交通大学工业设计研究所，甘肃兰州７３００７０）
摘
要：Ｂ６ｚｉｅｒ曲线是计算机辅助几何设计中的一类重要曲线，以三次三角Ｂ６ｚｉｅｒ
曲线为例，对三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的性质进行了分析，并由此推出三次三角Ｂ６ｚｉｅｒ曲线比三次
果只（ｆ）是在［‘，ｔ＋ｌ】的３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ插值曲线，则
在【ｔ，‘＋，】上有
ｌ，（ｆ）一ｐｆ＠）ｌ≤ｄ＋ｚ
（１８）
万方数据
第２襄
邱泽疆等：三角嚣６ ｚｉｅｆ薅线籀谯及其误差分橱
’１０７‘
式中 ｄ＝ｍａ）【ｆ，Ｏ）一肛职＋１ｆ，ｆ∈［毫，ｔ＋ｌ】，
ｎｐｉ＋１为过点ｐｌ和魏＋ｌ的一条直线；
ｆ＝ｏ。２４５７｜热十ｌ一娥｜。
参考文献
【ｌ】 粼姥鑫越Ｌ Ｂ戮酗蕤，Ｉ＆珏ｇｌａｓ Ｆ采糌ｓ。№ｍｅ蠡ｅ曩董 粕ａｌｙｓｉｓ ＥＭ】＋溉ｏｍｓｏｎ Ｌｅａｎｌｉｎ绺ｌｎｃ． （Ｓｅｖｅｎ蠊
Ｅｄｉｔｉｏｎ），２００１．１６卜１６２．
ｇｅ啪ｅ拄ｉｃ铡￡ｉ熊颦畦蕊ｏｎ翻．ＣＡＧＤ， 【２】 ｄｅ Ｂｏｏｆ Ｃ，Ｋ Ｈ Ｏ ｌｈ舀Ｓａｂｉｎ Ｍ．Ｈｉｇｈ ａｃｃ啪ｃｙ １９８７， ‘｜（４）：２６８—２７８。
（ＩｎｓｔｉｔＩｌｔｅ ｏｆ Ｉｎｄｕｓｍａｌ Ｄｅｓｉｇｎ，Ｌａｎｚｈｏｕ Ｊｉａｏｔｏｎｇ ＵｌｌｉＶｅｒｓｉｔｙ＇Ｌ蛆ｚｌｌｏｕ Ｇａｎｓｕ ７３００３０，ｃｌｌｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂ６ｚｉｅｒ ｃｌｌｌⅣｅ ｉｓ ａＩｌ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｏｎｅ ｉｎ ＣＡＧＤ．Ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｏ ｃｕｂｉｃ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｍｃ
三 ．１ 。１ 二
２
２磊
ｐＯ）＝［１
ｓｉｎｆ∞ｓｆ
＿２
ｏｏｓ２幻
２
０
Ｏ
４
０ Ｏ ２＿２ 吃
．三 １ —１ 三 吃
２
２
对式（１）连续进行３次求导得
ｒＯ
比）＝【咖ｆ ｃ０８ｆ血丑］ｌ－２
Ｉ１
Ｏ －２ ２
２ ｏｏ
＿２ ２．１
磊吗畋吃
１
ｆ ２ 一２ Ｏ Ｏ
以ｆ）＝【茹ｆ ｃｏｓｆ ｃｏｓ刎ｌ ｏ ０ －２ ２
万方数据
第２期
邱泽阳等：三角Ｂ ６ ｚｉｅｒ曲线插值及其误差分析
１ ３Ｔ．Ｂ６ｚｉｅｒ曲线
给定４个控制顶点成、吐、ｄ：和吃，定 义３Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ曲线的方程‘３１为
ｐ∽＝『私＿０ 嘣吐０＜《垩‘
其中 哆，３（ｆ）为Ｔ－Ｂ６ｚｉｅｒ基函数，ｄＪ（歹＝ｏ，１，
２，３）为控制顶点。 其矩阵表示形式为
【３】苏本跃，黄有度． 一类Ｂ６ｚｉｅｒ越三角多项式曲 线【Ｊ】．高等学校计算数学学报，２００５，２７（３）：
２０２—２０８．
鞠施法孛。诗募橇辘懿凡｛莓设诗与嚣殇匀有理Ｂ祥 条ｆＭ】．北京：高等教育出版社，２００１．７９—８７．
【５】 Ｈｏｉｓ、ｌｂⅪｍ，Ｓｅｕｎ嚣切淑ｏｈ，Ｊｉｎ＿Ｗｈ黼Ｙｉｍ．Ｓｍｌ∞栅 ｓｕ蠼ａｃｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｗｉｍ ｃｕｒｖａｔＩｌｒｅ ｂｏｕｎｄ阴．ＣＡＧＤ， 瓣。５，２２ｆ１）：２７—４３。
将式（８）、式（４）代入式（６）可得 红Ｒ一。＋２（魄一。＋红）Ｒ＋红一。Ｒ＋。＝
等（Ｑ：ｆ＋ｌ删＋卺（Ｑ训 ④’
令
等（Ｑ：ｆ＋１删十鲁（Ｑｉ也。）《（１０）
由式（９）、（１０）得
庇ｆ尺ｆ—ｌ＋２（＾ｆ—ｌ＋吃）尺ｌ＋九ｆ—ｌ尺ｆ＋ｌ＝Ｓｆ
ｆ＝１，２，…，，ｌ—ｌ
（１１）
要确定２，ｚ个控制顶点，应有，ｌ＋１个方程， 而式（１１）中只有，ｚ一１个方程，需要利用边界条件 增加两个方程。